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2020山东省淄博市中考数学试卷(含答案)

2020年山东省淄博市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）（2020?淄博）若实数a 的相反数是﹣2，则a 等于（） A ．2

B ．﹣2

C ．1

D ．0

2．（4分）（2020?淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（4分）（2020?淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（） A ．4，5

B ．5，4

C ．5，5

D ．5，6

4．（4分）（2020?淄博）如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BC ，若∠B ＝50°，则∠DCA 等于（）

A ．30°

B ．35°

C ．40°

D ．45°

5．（4分）（2020?淄博）下列运算正确的是（） A ．a 2+a 3＝a 5

B ．a 2?a 3＝a 5

C ．a 3÷a 2＝a 5

D ．（a 2）3＝a 5

6．（4分）（2020?淄博）已知sin A ＝0.9816，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是（） A ．

B ．

C ．

D ．

7．（4分）（2020?淄博）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（）

A ．AC ＝DE

B ．∠BAD ＝∠CAE

C ．AB ＝AE

D ．∠ABC ＝∠AED

8．（4分）（2020?淄博）化简a 2+b 2a?b

2ab b?a

的结果是（）

A ．a +b

B ．a ﹣b

C ．

(a+b)2a?b

D ．

(a?b)2a+b

9．（4分）（2020?淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O （0，0），A （0，4），B （3，0）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数y =k

x 的图象上，则k 的值为（）

A ．36

B ．48

C ．49

D ．64

10．（4分）（2020?淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（）

A ．2π+2

B ．3π

C ．

5π2

D ．

5π2

11．（4分）（2020?淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（）

A．12B．24C．36D．48

12．（4分）（2020?淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD ⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）

A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．

3+√16=．

13．（4分）（2020?淄博）计算：√?8

14．（4分）（2020?淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．

15．（4分）（2020?淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

16．（4分）（2020?淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．

17．（4分）（2020?淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（5分）（2020?淄博）解方程组：{3x +1

2y =8，2x ?1

2y =2．

19．（5分）（2020?淄博）已知：如图，E 是?ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ．求证：△ABC ≌△DCE ．

20．（8分）（2020?淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A ．5G 通讯； B ．民法典；C ．北斗导航；D ．数字经济； E ．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

21．（8分）（2020?淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2=k

x（k≠0）

分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知

OC＝3，tan∠ACO=2 3．

（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞k

x的解集．

22．（8分）（2020?淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

23．（9分）（2020?淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O

于点D ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，设⊙O 的半径为R ，AF ＝h ．（1）过点D 作直线MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：AB ?AC ＝2R ?h ；（3）设∠BAC ＝2α，求

AB+AC AD

的值（用含α的代数式表示）．

24．（9分）（2020?淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A （﹣2，0），B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2+bx +8

3（a ＜0）与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知R 是抛物线上的点，使得△ADR 的面积是?OABC 的面积的3

4，求点R 的坐标；

（3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE ＝45°，求点P 的坐标．

2020年山东省淄博市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）（2020?淄博）若实数a 的相反数是﹣2，则a 等于（） A ．2

B ．﹣2

C ．1

D ．0

【解答】解：∵2的相反数是﹣2， ∴a ＝2．故选：A ．

2．（4分）（2020?淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．

B ．5，4

C ．5，5

D ．5，6

【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，

将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．

故选：C．

4．（4分）（2020?淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

【解答】解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

又∵∠B＝50°，

∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，

∵CD∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝40°．

故选：C．

5．（4分）（2020?淄博）下列运算正确的是（）

A．a2+a3＝a5B．a2?a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5

【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；

B．a2?a3＝a5，所以B选项正确；

C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；

D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；

故选：B．

6．（4分）（2020?淄博）已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）

A．B．C．D．

【解答】解：∵已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，

∴按下的第一个键是2ndF．

故选：D．

7．（4分）（2020?淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）

A ．AC ＝DE

B ．∠BAD ＝∠CAE

C ．AB ＝AE

D ．∠ABC ＝∠AED

【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，

∴AC ＝AE ，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，

即∠BAD ＝∠CAE ．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．

8．（4分）（2020?淄博）化简a 2+b 2a?b

2ab b?a

的结果是（）

A ．a +b

B ．a ﹣b

C ．

(a+b)2a?b

D ．

(a?b)2a+b

【解答】解：原式=a 2+b 2

a?b ?2ab a?b =a 2+b 2

?2ab a?b =(a?b)2a?b

＝a ﹣b ．故选：B ．

的图象上，则k 的值为（）

A ．36

B ．48

C ．49

D ．64

【解答】解：过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，

∵A （0，4），B （3，0）， ∴OA ＝4，OB ＝3， ∴AB =√32+42=5，

∵△OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ， ∴PE ＝PC ，PD ＝PC ， ∴PE ＝PC ＝PD ，设P （t ，t ），则PC ＝t ，

∵S △P AE +S △P AB +S △PBD +S △OAB ＝S 矩形PEOD ，

∴1

2×t ×（t ﹣4）+1

×5×t +12

×t ×（t ﹣3）+12

×3×4＝t ×t ，

解得t ＝6， ∴P （6，6），

把P （6，6）代入y =k

得k ＝6×6＝36．故选：A ．

A ．2π+2

B ．3π

C ．

5π2

D ．

5π2

【解答】解：如图，

点O 的运动路径的长=OO 1?的长+O 1O 2+O 2O 3?的长 =

90?π?2180+45?π?2180+90?π?2

180 =5π

2，故选：C ．

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

【解答】解：由图2知，AB ＝BC ＝10，

当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8（即此时BP ＝8），当y ＝8时，PC =√BC 2?BP 2=√102?82=6， △ABC 的面积=1

2×AC ×BP =1

2×8×12＝48，故选：D ．

12．（4分）（2020?淄博）如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（）

A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【解答】解：设EF＝x，DF＝y，

∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，

∴点F为△ABC的重心，AF=1

2AC=

2b，BD=

2a，

∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①

在Rt△AEF中，4x2+y2=1

2，②

在Rt△BFD中，x2+4y2=1

2，③

②+③得5x2+5y2=14（a2+b2），

∴4x2+4y2=1

5（a

2+b2），④

①﹣④得c2?15（a2+b2）＝0，

即a2+b2＝5c2．

故选：A．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）（2020?淄博）计算：√?8

3+√16=2．

【解答】解：√?8

3+√16=?2+4＝2．

故答案为：2

14．（4分）（2020?淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为1．

【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．

∴BE＝CF，

∵EC＝2BE＝2，

∴BE＝1，

∴CF＝1．

故答案为1．

15．（4分）（2020?淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，

则实数m的取值范围是m＜1

8．

【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，

解得m＜1 8，

故答案为m＜1 8．

16．（4分）（2020?淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝5cm．

【解答】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，

∵FM⊥BE，

∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，

∴MN=1

2AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10（cm），

∴MN=1

2AC＝5（cm），

故答案为5．

17．（4分）（2020?淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．

【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，

快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．

根据题意，完成下表：

服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数

1n﹣1

2（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）

32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）

43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）

54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）

……

由上表可得y＝x（n﹣x）．

当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，

当x＝14或15时，y取得最大值210．

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（5分）（2020?淄博）解方程组：{3x +1

2y =8，

2x ?1

2y =2．【解答】解：{3x +1

2y =8①

2x ?1

2y =2②

， ①+②，得：5x ＝10，解得x ＝2，

把x ＝2代入①，得：6+1

y ＝8，解得y ＝4，

所以原方程组的解为{x =2

y =4

．

19．（5分）（2020?淄博）已知：如图，E 是?ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ．求证：△ABC ≌△DCE ．

【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠B ＝∠DCE ，

在△ABC 和△DCE 中，{AB =DC

∠B =∠DCE BC =CE

∴△ABC ≌△DCE （SAS ）．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有200人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝25，话题D所在扇形的圆心角是36度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），

故答案为：200；

（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），

选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），

补全的条形统计图如右图所示；

（3）a%＝50÷200×100%＝25%，

话题D所在扇形的圆心角是：360°×20

200

=36°，

故答案为：25，36；

（4）10000×30%＝3000（人），

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

21．（8分）（2020?淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2=k

x（k≠0）

分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知

OC＝3，tan∠ACO=2 3．

（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞k

x的解集．

【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO=2 3．

∴OD＝2，

即点D（0，2），

把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a=?2 3，

∴直线的关系式为y1=?2

3x+2；

把A（m，4），B（6，n）代入y1=?2

3x+2得，

m＝﹣3，n＝﹣2，

∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函数的关系式为y2=?12 x，

因此y1=?2

3x+2，y2=?

x；

（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，=12×3×4+12×3×2，

＝9．

（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞k

x的解集为x＜﹣3．

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°=CD

BC，BC＝1000千米，

∴CD＝BC?sin30°＝100×1

=50（千米），

BD＝BC?cos30°＝100×√3

=50√3（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），

AC=

sin45°

=50√2（千米），

∴AB＝50+50√3（千米），

∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50√2+100﹣（50+50√3）＝50+50√2?50√3≈35（千米）．

答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x 千米，依题意有，

50+50√3x ?50+50√3

(1+25%)x

=50，解得x =

=0.54，经检验x ＝0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.54千米．

23．（9分）（2020?淄博）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC 交BC 边于点E ，交⊙O 于点D ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，设⊙O 的半径为R ，AF ＝h ．（1）过点D 作直线MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：AB ?AC ＝2R ?h ；（3）设∠BAC ＝2α，求

AB+AC AD

的值（用含α的代数式表示）．

【解答】解：（1）如图1，连接OD ，

∵AD 平分∠BAC ，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴BD

?=CD?，

又∵OD是半径，

∴OD⊥BC，

∵MN∥BC，

∴OD⊥MN，

∴MN是⊙O的切线；

（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，

∵AH是直径，

∴∠ABH＝90°＝∠AFC，

又∵∠AHB＝∠ACF，

∴△ACF∽△AHB，

∴AC

AH =

AF AB

，

∴AB?AC＝AF?AH＝2R?h；

（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝α，