线性空间与子空间
第一讲 线性空间
一、 线性空间的定义及性质 [知识预备]
★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（）
另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．
线性空间的定义：
设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和
x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质
（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；
（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；
（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）
。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =；
（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，
如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质
数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭
性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。
当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。
例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
x y=xy , k k x x =
证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性
唯一性显然
若x>0,y>0, k R ∈，则有
x y=xy R +∈ k k x x =R +∈ 封闭性得证。 ②八条性质
（1）x （y z ）=x(yz)=(xy)z=(x y)z （2） x y=xy ＝yx= y x
（3） 1是零元素 x 1＝1=x x ? [x o=x ——>xo=x －>o=1]
（4）
1x 是x 的负元素 x 1x
＝1
x 1x ?= [x+y=o ]
（5） k （x y ）()k
k k xy x y ===k x k y [数因子分配律] （6） ()k l k l k l x x x x ++===（k x ）（l x ） [分配律] （7） ()()
()k
l kl k
l x x
x kl x === [结合律]
（8） 11x x x == [恒等律] 由此可证，R +是实数域R 上的线性空间。 2．
定理：线性空间具有如下性质
（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。
（2）如下恒等式成立：0x=o，()()
-=-。
1x x
[证明]（1）采用反证法：
①零元素是唯一的。设存在两个零元素o1和o2，则由于o1和o2 均为零元素，按零元律有
[交换律]
o1＋o2＝o1＝o2＋o1＝o2
所以o1＝o2
即o1和o2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。
②任一元素的负元素也是唯一的。假设x V
?∈，存在两个负元素y和z，则根据负元律有
x y+=o＝x z+
()()
=+=++=++=+=
y y o y x z y x z o z z
[零元律] [结合律] [零元律] 即y和z相同，故负元素唯一。
（2）①：设w=0x，则x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故w=o。
[恒等律]
②：设w=(－1)x，则x+w=1x+(－1)x=[1+(－
1)]x=0x=o，
故w=－x。
3．线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类
似。
?线性组合： 12
m 12
m x ,x x V,c ,c c K ?∈∈
m
1122m m
i i
i 1
c x c x c x c x
=++
+∑
称为元素组12
m x ,x x 的一个线性组合。
?线性表示：V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示。
?线性相关性：如果存在一组不全为零的数12m c ,c c K ∈，使得对
于元素12
m x ,x x V ∈有
m
i i
i 1
c x
0==∑
则称元素组12
m x ,x x 线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概
念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。 4．
线性空间的维数
定义：线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为dimV 。
本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。
例2. 全体m ×n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加
法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。
[解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。
令E ij 为这样的一个m ×n 阶矩阵，其（i, j ）元素为1，其余元素为零。
显然，这样的矩阵共有mn 个，构成一个具有mn 个元素的线性无关元素组{}11121n 21222n m1m2mn E ,E ,
E ;E ,E ,E ;;E ,E ,
E 。另一
方面，还需说明元素个数最大。对于任意的()ij m n A a ?=，都可由以上元素组线性表示，
ij ij i,j
A a E =∑ ——>
ij ij
i,j
a E
A 0+=∑
即{}ij E |i 1
m,j 1
n ==构成了最大线性无关元素组，所以该空间
的维数为mn 。
二、 线性空间的基与坐标 1．
基的定义：设V 是数域K 上的线性空间，()
12
r x ,x x r 1≥是属于V 的r 个任意元素，如果它满足 （1）12
r x ,x x 线性无关；
（2）V 中任一向量x 均可由12r x ,x x 线性表示。
则称12
r x ,x x 为V 的一个基，并称12
r x ,x x 为该基的基元素。
?基正是V 中最大线性无关元素组；V 的维数正是基中所含元素的个数。
?基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。
例3 考虑全体复数所形成的集合C 。如果K ＝C （复数域），则该集
合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取K ＝R （实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为2。
2．
坐标的定义：称线性空间n V 的一个基12
n x ,x x 为n V 的一
个坐标系，n x V ?∈，它在该基下的线性表示为： n
i i
i 1
x
=ξ∑ ()i i K,x V,i 1,2,n ξ∈∈=
则称12
n ,ξξξ为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为
()T
12n ,ξξξ
讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的
元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。
（2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。
1 1122n n 1122n n x y (x x x )(x x x )+=ξ+ξ+
+ξ+η+η++η
111222n n n ()x ()x ()x =ξ+η+ξ+η++ξ+η
正对应
()12n 1122n n 12n x (,,
,)x y ,,,y (,,,)=ξξξ?→+=ξ+ηξ+ηξ+η?
=ηηη? 2 ()()()()1122n n 1122n n kx k x x x k x k x k x =ξ+ξ+
+ξ=ξ+ξ+
+ξ
()12n k ,k ,
,k →ξξξ
正对应 12n x (,,,)=ξξξ ()12n kx k ,k ,,k →=ξξξ
（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。
三、 基变换与坐标变换
基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。 设12
n x ,x x 是n V 的旧基，12
n y ,y y 是n V 的新基，由于两者都
是基，所以可以相互线性表示
n
j ij i i 1y c x ==∑ (i 1,2,
n =)
即
[][][]11121n 21
222n 12n 12n 12n n1
n2
nn c c c c c c y ,y y x ,x x x ,x x C c c c ????
??==??????
其中C 称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可逆的。
设n x V ∈，它在旧基下的线性表示为
[]1n
2i i 12n i 1
n x x x ,x ,
x =ξ????ξ??=ξ=????ξ??
∑ 它在新基下的线性表示为
[]12i n ''n
'i 12n i 1
'x y y ,y ,
y =??ξ??ξ??=ξ=??????ξ??
∑ 则 [][]12n '1'212n 12n 'n y ,y ,
y x ,x ,x ??ξξ??????ξξ??
??=????????ξ??ξ??
??
由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系
12n '1'2'n C ??ξξ??????ξξ????=????????ξ??ξ????
→
12n '1'21'n C -??ξξ??????ξξ????=????????
ξ??ξ????
补充：证明对于线性空间的零元素o ，k K ?∈，均有k o ＝o 。
线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质
1. 定义：设V 1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y ∈V 1，则x ＋y ∈V 1； （2） 如果x ∈V 1，k ∈K ，则kx ∈V 1， 则称V 1是V 的一个线性子空间或子空间。
2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。 [证明]（1）0x =0
1x V V ∈?
∴ V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。
（2）1x V ?∈
（－1）x=(－x)1V ∈ 封闭性
∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中
3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间
4. 生成子空间：设x 1、x 2、?·、x m 为V 中的元素，它们的所有线性组
合的集合
m
i i i i 1
k x |k K,i 1,2m =??∈=????
∑ 也是V 的线性子空间，称为由x 1、x 2、·、
x m 生（张）成的子空间，记为L(x 1、x 2、·、x m )或者Span(x 1、x 2、?、x m )。
若x 1、x 2、?·、
x m 线性无关，则 dim{L(x 1、x 2、·、x m )}=m
5. 基扩定理：设V 1是数域K 上的线性空间V n 的一个m 维子空间，
x 1、x 2、?·、x m 是V 1的一个基，则这m 个基向量必可扩充为V n 的一个基；换言之，在V n 中必可找到n-m 个元素x m+1、x m+2、?·、x n ，使得x 1、x 2、·、x n 成为V n 的一个基。这n-m 个元素必不在V 1中。
二、子空间的交与和
1.定义：设V 1、V 2是线性空间V 的两个子空间，则 {}1212V V x |x V ,x V ?=∈∈
{}1212V V x y |x V ,y V +=+∈∈
分别称为V 1和V 2的交与和。
2.定理：若V 1和V 2是线性空间V 的两个子空间，则12V V ?，V 1＋
V 2均为V 的子空间
[证明]（1）1
2x,y V V ?∈
1x y V +∈ 2x y V +∈ 1
2x y V V ∴+∈
1
2x V V ?∈ k K ∈
1kx V ∈ 2kx V ∈ 1
2kx V V ∴∈
1
2V V ∴是V 的一个线性子空间。
（2）121x ,x V ?∈ 122y ,y V ?∈
11(x y )+12V V ∈+ 22(x y )+12V V ∈+ 12(x x )+1V ∈ 12(y y )+2V ∈
1122121212(x y )(x y )(x x )(y y )V V +++=+++∈+
k K ?∈ 11kx V ∈ 12ky V ∈
111112k(x y )kx ky V V +=+∈+
12V V ∴+是V 的子空间。
4. 维数公式：若V 1、V 2是线性空间V 的子空间，则有
dim(V 1+V 2)+ dim(12V V ?)= dimV 1+ dimV 2
[证明] 设dimV 1=n 1, dimV 2=n 2, dim(12V V ?)=m
需要证明dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m
设x 1、x 2、?·、
x m 是12V V ?的一个基，根据基扩定理 存在1）y 1、y 2、?、y n1－m ∈V 1，使x 1、x 2、?、x m 、y 1、y 2、?
、y n1－m 成为V 1的一个基；
2）z 1、z 2、?、z n2－m ∈V 2，使x 1、x 2、?、x m 、z 1、z 2、?
、z n2－m 成为V 2的一个基；
考察x 1、x 2、?、x m 、y 1、y 2、?、y n1－m 、z 1、z 2、?、z n2－m ， 若能证明它为V 1+V 2的一个基，则有dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m 。 成为基的两个条件：
1）
它可以线性表示V 1+V 2中的任意元素
2） 线性无关
显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k 1、k 2、?、k m 、p 1、p 2、?、p n1－m 、q 1、q 2、?
、q n2－m 使 i i
i i
i i
k x p y q z
0++=∑∑∑
令i i 2z q z V =∈∑，则
i i
i i
2
k x p y z V +=-∈∑∑但1
2
V V ? 根据基扩定理 i i k x ∑12V V ∈? i y 12
V V ?， x 1、x 2、?、x m 、
y 1、y 2、?
、y n1－m 成为V 1的一个基 i p 0∴=
同理：i q 0= i k 0=
这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V 1+V 2的一个基。
∴ dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m
三、子空间的直和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的子空间，若其和空间V 1+V 2中
的任一元素只能唯一的表示为V 1的一个元素与V 2的一个元素之和，即12x V V ?∈+，存在唯一的1y V ∈、2z V ∈，使
x y z =+，则称12V V +为V 1与V 2的直和，记为12V V ⊕ 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是
{}1212V V x y |x V ,y V +=+∈∈， 反映的是两个子空间的关系特殊。
2. 定理：如下四种表述等价
（1）12V V +成为直和12V V ⊕ （2）{}12V V 0?=
（3）dim(V 1+V 2)=dimV 1+ dimV 2
（4）x 1、x 2、?、x s 为V 1的基，y 1、y 2、·
、y t 为V 2的基，则x 1、x 2、?、x s 、y 1、y 2、?
、y t 为12V V +的基 [证明]（2）和（3）的等价性显然
采用循环证法：（1）→（2）→（4）→（1） （1）→（2）：已知12V V +＝12V V ⊕ 假定x 0≠且12x V V ∈?，则
000x (x)=+=+-
120V V ∈+，10V ∈，20V ∈，1x V ∈，2x V -∈
说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在12V V ?中只能存在0元素，即{}12V V 0?=
（2）→（4）：已知{}V V 012?=
成为基的两个条件： 1）
可以线性表示V 1+V 2中的任意元素
2）线性无关
1x V ?∈、2y V ∈，存在如下坐标表示式
s i i i 1
x x ==ξ∑ t
i i i 1
y y ==η∑
x y + 可表示V 1+V 2中的任一元素，
∴x 1、x 2、?、x s 、y 1、y 2、?
、y t 可表示V 1+V 2中的任意元素。 假设x 1、x 2、?、x s 、y 1、y 2、?
、y t 线性相关，即存在不全为0的12s 12t ,,
,,,,
,ξξξηηη 使
s i i
i 1
x =ξ∑t
i i
i 1
y =+η∑＝0
而 s i i i 1x x ==ξ∑1V ∈ t
i i i 1
y y ==η∑2V ∈
∴
s
i i
i 1x
=ξ∑＝－y 2V ∈
∴
s
i i
i 1x
=ξ∑1
2V V ∈
∴
s
i i
i 1
x
=ξ∑＝0
∴12s 0ξ=ξ=
=ξ= 同理12t 0η=η=
=η=
这与其线性相关性矛盾，x 1、x 2、?、x s 、y 1、y 2、?
、y t 线性无关 ∴ x 1、x 2、?、x s 、y 1、y 2、?
、y t 可作为12V V +的基 （4）→（1）：已知（4）成立
在x 1、x 2、?、x s 、y 1、y 2、?
、y t 这组基下 12x V V ?∈+存在唯一的坐标12s 12t ,,
,,,,
,ξξξηηη使
x ＝s i i i 1
x =ξ∑1t
i i i y η=+∑
s
i i
i 1
x
=ξ∑1V ∈
t
i i
2
i 1
y V =η∈∑
∴ 12V V +成为直和 作业：P25－26 7，9，12
子空间的基本内容
线性子空间的研究 数学与应用数学专业学生：罗柏平 指导老师：周绍杰 摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果. 关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数 Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra，and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition，and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given. Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions 0引言 线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间. 线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.
线性空间与子空间
第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合:笼统的说就是指一些事物(或者对象)组成的整体 集合的表示:枚举、表达式 集合的运算:并(U),交(I) 另外,集合的“与”(＋):并不就是严格意义上集合的运算,因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零)。比如有理数域、实数域(R)与复数域(C)。实数域与复数域就是工程上较常用的两个数域。 线性空间就是线性代数最基本的概念之一,也就是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念就是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义: 设V就是一个非空集合,其元素用x,y,z等表示;K就是一个数域,其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质,分两类] (I)在V中定义一个“加法”运算,即当x,y V ∈时,有唯一的与+∈(封闭性),且加法运算满足下列性质 x y V (1)结合律()() ++=++; x y z x y z (2)交换律x y y x +=+; (3)零元律存在零元素o,使x+o x =;
(4)负元律 对于任一元素x V ∈,存在一元素y V ∈,使x y +=o,且称y 为x 的负元素,记为(x -)。则有()x x +-= o 。 (II)在V 中定义一个“数乘”运算,即当x V ∈,k K ∈时,有唯一的kx V ∈(封闭性),且数乘运算满足下列性质 (5)数因子分配律 ()k x y kx ky +=+; (6)分配律 ()k l x kx lx +=+; (7)结合律 ()()k lx kl x =; (8)恒等律 1x x =; [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意:1)线性空间不能离开某一数域来定义,因为同一个集合,如果 数域不同,该集合构成的线性空间也不同。 (2)两种运算、八条性质 数域K 中的运算就是具体的四则运算,而V 中所定义的加法 运算与数乘运算则可以十分抽象。 (3)除了两种运算与八条性质外,还应注意唯一性、封闭性。 唯一性一般较显然,封闭性还需要证明,出现不封闭的情况:集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时,V 就称为实线性空间;K 为复数域,V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明:R +就是实数域R 上的线性空间。
矩阵论习题一
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()|0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 4.设111213315A ?? ? = ? ??? ，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。 5.讨论线性空间 P 4[x ]中向量3 2 11P x x x =+++，3 2 223P x x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。 6.设m n A R ?∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。 7.设113021211152A -?? ? =-- ? ?--?? ，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。 8.在22 R ?中，已知两组基 11000E ??= ???，20100E ??= ???，30010E ??= ???，40001E ?? = ??? 10111G ?? = ? ?? ，21011G ??= ???，31101G ??= ???，41110G ??= ???
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数 结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则 ，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关： 设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故
假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则 得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得 又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关： 设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即 其中
而 . 用左乘(4)两端，得 这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明 证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在， 使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样 ，故 例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删 去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在 令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .
线性空间与子空间
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；
（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
08矩阵论
2008年硕士生《矩阵论》试卷 任课教师 . 学院专业 学号 姓名 . 一、填空题（共20分） 1. （4分） n 阶实对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间， 其维数等于 ，其一组基为 。 n 阶实反对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间， 其维数等于 ，其一组基为 。 2.（3分） 设A 是线性空间n V 到线性空间m V 的线性算子，则A 在不同基偶下对应的矩阵是 关系；B 为线性空间n V 上的线性变换，则B 在不同基下对应的矩阵是 关系；设n V 是欧氏空间，则两组不同基的度量矩阵是 关系。 3. （3分） 如果n 阶矩阵A 的特征多项式和最小多项式相同，则A 的Smith 标准形 为 。 4. （3分）设(1,,0,1)T X i =-，则1||||X = ，2||||X = ， ||||X ∞= 。 5. （4分）设122212221A ?? ?= ? ??? ，1||||A = ，||||A ∞= ， ()A ρ= ，2()cond A = 。 6. (3分) 设A=0.10.30.70.6?? ??? ，则矩阵幂级数2k E A A A +++++ 是否绝对收敛？ 。若是，其级数的和是 。 二、是否题（每题2分，共10分） 1.所有n 阶实对称矩阵与反对称矩阵的全体构成线性空间。 ( ) 2.线性变换A 是正交变换的充要条件是保持任意两个向量的夹角不变。 （ ）
3.设(),()[]m n A B P λλλ?∈，则()A B λλ和（） 相抵的充分必要条件是它们有相同的初等因子。 ( ) 4. 单位矩阵的算子范数是所有与向量范数||||x 相容的矩阵范数||||I 中值最小的一个。 （ ） 5.设矩阵序列{()k A }：2,,,,k I A A A ，则lim 0k k A →∞ =的充要条件为()1A ρ<。 三、计算题（共50分） 1. (10分) 在22R ?中, 求由基(I) : 11000A ??= ???, 20100A ??= ???,30010A ??= ???,40 00 1A ??= ??? 到基(II): 11100B ??= ???, 20110B ??= ???, 30011B ??= ???, 42001B ?? = ??? 的过渡矩阵及 1234x x x x α?? = ??? 在基（II ）:1B , 2B , 3B , 4B 下的坐标. 2.（10分）在3R 中，设α=123向量（x ,x ,x ）,线性变换定义为 A 23123123()(22,23,23)x x x x x x x x α=---+---+。 求3R 中的一组基，使A 在该基下的矩阵为对角阵。
01 线性空间与子空间
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使
x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性
线性空间--子空间
线性空间子空间 子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而span{ v1,v2...,vn }表示由v1,v2...,vn 张成的子空间，即v1,v2...,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。子空间是空间，从而子空间存在着基底，子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。综上：子空间可以看成一些向量张成的空间，而由一些向量v1,v2...,vn 张成的空间span{ v1,v2...,vn }一定是一个子空间。 2、R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。按照子空间的判断方法，只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。这里的加法是向量加法，数乘是数和向量的数乘。 易知，对于过原点的直线来说，其上任意两点对应的两个向量（原点为起点，直线上的点为终点对应的向量）必共线，从而可知相加之后，起点仍选为原点，终点必落在原来的直线上，因此，对加法封闭。其次，对于数乘，很容易验证也封闭。 故，R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。 对于不过原点的直线，构不成子空间。 3、请用Rn空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。 这里关键是理解子空间的概念以及其判定方法： 只需要所给线性空间的非空子集合对于线性空间本身的两个运算：加法和数乘封闭即可！ 比如：向量（0，0，。。。，0）本身构成Rn的一个零维子空间， 因为这个集合只有一个元素0,0+0=0，k0=0，所以对加法和数乘封闭。 向量（1,0，。。。，0）的倍数的全体就构成Rn的一个一维子空间， 因为这个集合的元素都是（1,0，。。。，0），易知 （1,0，。。。，0）的倍数相加仍是它的倍数，且任何一个数k乘以它的倍数仍是它的倍数， 即k*d（1,0，...，0）=kd*（1,0， 0 所以对加法数乘封闭。 向量（1,0,...，0）和（0,1,0，...，0）的所有线性组合构成Rn的一个2维子空间等。 同样道理，可知对加法数乘都封闭。
第三章线性方程组与线性子空间
第三章 线性方程组 §1 §2消元法和线性方程组解的情况 1 线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组 11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????++ += ? 其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，m 是方程的个数，(1,2,,;1,2,,)ij a i m j n ==称为 线性方程组的系数，(1,2, ,)j b j m =称为常数项.方程组中未知量的个数n 与方程的个数 m 不一定相等.系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系 数. 所谓方程组的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组),,,(21n k k k ，当 n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，方程组中每个等式都变成恒等式. 方程组解的全 体称为解集合. 解方程组实际上就是找出它全部的解，即：求出它的解集合. 如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 11121121222212 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ??? 来表示. 例如，解方程组 ??? ??=++=++=+-. 522,4524,132321 321321x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
#研究生矩阵论第1讲 线性空间
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
矩阵论 01线性空间hg
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时（48 Lectures） 教材：矩阵论（第2版，杨明、刘先忠编著）， 华中科技大学出版社，2005 考核方式：课程结束统一考试，卷面成绩为最终成绩。 任课教师：张志飞（zhangzf0325@https://www.wendangku.net/doc/6a8132015.html,） 前言： 1, 为什么要学习矩阵理论？(why) ★ 向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具——其“有力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上。 ★ 学习基础知识→专业课程中进一步认知→科学研究中应用 2, 课程的主要内容（what） ★ 矩阵与线性空间, 线性变换（ch1） ★ 矩阵在各种意义下的化简与分解(ch2, ch3) ★ 矩阵的分析理论(ch5) ★ 矩阵的运算(ch4, ch6) 3, how: 心到，眼到，手到（exercise） 4, 教学参考书： ★ 余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 ★ 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 ★Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 ★Denis Serre， Matrices Theory and Applications，Springer，2002。
第一讲 线性空间 一、线性空间的定义及性质 [回顾] ★ 集合：笼统地说是指一些事物（或者对象，称为元素）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式，如 集合的运算：并（），交（） ∪∩集合的“和”（）：并不是严格意义上集合的运算，限定元素须有可加性，与集合并的区别。 +★ 数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零） 。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ） ★ N 维向量空间n R 线性空间 推广的思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。 [引入] 一. 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，元素；F 是一个数域。如果V 满足 （I ）在V 中定义一个“加法”运算，封闭性，且加法运算满足下列性质 （1）结合律 （2）交换律 （3）存在零元 （4）存在负元 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，封闭性，且数乘运算满足下列性质
向量空间概念和矩阵理论的认识及应用
向量空间概念和矩阵理论的认识及应用 摘要：本文对线性代数的发展以及线性代数论发展中诞生的重要理论作了一个总结，这些理论至今对我们的生活产生重要影响，是现在科技进步的基础。本文还进一步对向量空间概念应用和矩阵理论的应用作了探索。最后，提出了一些自己的看法。 关键词：线性代数，矩阵理论，向量空间，信息安全，通信领域，搜索引擎 正文： 线性代数在我们的学习和工程中有巨大的作用。线性代数里面很多概念都对以后的学习产生巨大的影响。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹。1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的克莱姆法则）。1764年, Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n 个未知量的n 个齐次线性方程, Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace 在1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中, 证明了Vandermonde 的一些规则, 并推广了他的展开行列式的方法, 用r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi）也于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855 年矩阵代数得到了Arthur Cayley 的工作培育。Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST 的系数矩阵变为矩阵S 和矩阵T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由Cayley 在1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既v x w 不等于w x v ）的向量代数是由Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（Die lineale Ausdehnungslehre ）一书中提出的。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1 的矩阵，或简单矩阵。在19 世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》的