《组合数学》教案 1章(排列组合基础)

第1章组合数学基础

1.1绪论

（一）背景

起源：数学游戏

幻方问题：给定自然数1, 2, …, n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。这样的n阶方阵称为n阶幻方。每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。

例：3阶幻方，幻和＝(1＋2＋3＋…＋9)/3＝15。

关心的问题

（1）存在性问题：即n阶幻方是否存在？

（2）计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？

（3）构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。

奇数阶幻方的生成方法：

一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，

上边出格往下填，右边出格往左填，

右上有数往下填，右上出格往下填。

例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方：

【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？

本问题的答案是否定的。

A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6

B2 C3 D4 E5 F6 A1B3 C4 D5 E6 F1 A2

C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4

D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1

E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3

F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6

【例1.1.2】（计数——图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。求本质上不同的染色方案。

举例：

形式总数：43＝81种。 实际总数（见第6章）：L ＝

()32334

124

?++＝24 【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。

注意：不改变原来的相对顺序。

（二） 研究内容

算法分类：

● 第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、

解方程组、求积分等，其数学基础是《高等数学》与《线性代数》（解决建模问题，《数值分析》或称《计算方法》解决离散化问题，即在计算机上的求解方法问题）。 ● 第二类：组合算法。解决搜索、排序、组合优化等问题，其数学基础为《组合数学》。 按所研究问题的类型，研究内容： ● 组合计数理论 ● 组合设计 ● 组合矩阵论 ● 组合优化

本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。

（三） 研究方法

分类：

第一类：从组合学基本概念、基本原理出发解题的所谓常规方法（利用容斥原理、二项式定理、P ólya 定理解计数问题；解递推关系的特征根方法、母函数方法；解存在性问题的抽屉原理等）。

第二类：通常与问题所涉及的组合学概念无关，而对多种问

题均可使用。例如：

（1） 数学归纳法：前提是已知问题的结果。 （2） 迭代法

【例】已知数列{}n h 满足关系???=+=-1

,

1211h h h n n ，求n h 的解析表

达式。

（解）直接迭代即得：

121+=-n n h h

＝()1222+-n h ＋1＝12222++-n h ＝()1212232+++-n h ＝1222233+++-n h

＝12222223211++++++--- n n n h ＝12-n

（3） 一一对应技术

原理：建立两类事物之间的一一对应关系，把一个较复杂的组合计数问题A 转化成另一个容易计数的问题B ，从而利用对B 的计数运算达到对A 的各种不同方案的计数。

思路：将未解决问题的模式转化为一种已经解决的问题模式。

（4） 殊途同归方法

原理：从不同角度讨论计数问题，以建立组合等式。 应用：组合恒等式的证明（也称组合意义法）。 （5） 数论方法

特别是利用整数的奇偶性、整除性等数论性质进行分析推理的方法。

组合数学用的较多的方法：（3）与（4）。

【例1.1.4】有100名选手参加羽毛球比赛，如果采用单循环淘汰制，问要产生冠军共需要进行多少场比赛？

（解）常规思路：50＋25＋12＋6＋3＋2＋1＝99场

10000名选手：5000＋2500＋1250＋625＋312＋…＋1

采用一一对应方法：每场比赛产生一个失败者，且每个失败者只能失败一次（场次→失败者）。反之，要淘汰一个选手，必须恰好经过一场比赛（失败者→场次）。

结论：失败者?比赛场次。

应该比赛99场。

一般情况：单循环淘汰制，n个选手，比赛n－1场。

【例1.1.5】设某地的街道将城市分割成矩形方格，某人在其住处()0,0

B处工A的向东7个街道、向北5个街道的大厦()5,7

作（见图1.1.3），按照最短路径（即只能向东或向北走），他每次上班必须经过某12个街段，问共有多少种不同的上班路线？

（解）（1）将街道抽象为等长的。

)5,7

B

()0,0

A

（2）对应为（元素可重复的）排列问题：

路径（蓝色）→排列ｘｙｙｘｘｙｙｘｘｘｘｙ

排列ｙｘｘｙｙｙｙｘｘｘｘｘ→路径（红色）

结论：最短路径?7个x和5个y的排列

（3）求解：再对应为（元素不重复的）排列问题

!

7!5!12?=

N ＝5

5

7+C ＝512C ＝792 （4）一般情形：从（0，0）点到达（m ，n ）点的不同的最短路径数为

n

n m m n m C C N ++==

1.2 两个基本法则

1. 2. 1 加法法则

（一） 加法法则

● 常规描述：如果完成一件事情有两个方案，而第一个方案

有m 种方法，第二个方案有n 种方法可以实现。只要选择任何方案中的某一种方法，就可以完成这件事情，并且这些方法两两互不相同。则完成这件事情共有m ＋n 种方法。 ● 集合描述：设有限集合A 有m 个元素，B 有n 个元素，且A 与B 不相交，则A 与B 的并共有m ＋n 个元素。 ● 概率角度描述：设事件A 有m 种产生方式，事件B 有n 种产生方式，则事件“A 或B ”有m ＋n 种产生方式。当然A 与B 各自所含的基本事件是互相不同的。

（二） 应用

【例1.2.1】某班又男生18人，女生12人，从中选出一名代表参加会议，问共有多少种选法？

（解）（1）两个选择方案：男生（18种选法）或女生（12种选法）。由加法法则，有18＋12＝30选法。 （2）设集合：A ——男生，B ——女生。该班中的学生要么属于A ，要么属于B ，且AB ＝φ，故B A +＝18＋12＝30。 （3）事件A ——选男生（18种可能），事件B ——选女生（12种可能）。事件“A 或B ”——选男生或女生，由加法法则，有

18＋12＝30种可能。

【例1.2.2】用一个小写英文字母或一个阿拉伯数字给一批机器编号，问总共可能编出多少种号码？ （解）26＋10＝36个。

其中英文字母共有26个，数字0～9共10个。 1. 2. 2 乘法法则

（一） 乘法法则

● 常规描述：如果完成一件事情需要两个步骤，而第一步有m 种方法、第二步有n 种方法去实现。则完成该件事情共有m ·n 种方法。 ● 集合描述：设有限集合A 有m 个元素，B 有n 个元素，且A 与B 不相交，B b A a ∈∈,，记()b a ,为一有序对。所有有序对构成的集合称为A 和B 的积集（或笛卡儿乘积），记作B A ?。那么，B A ?共有n m ?个元素。

(){}B b A a b a B A ∈∈=?,, ● 概率角度描述：设离散型随机变量X 有m 个取值，Y 有n 个取值，则离散型随机向量（X ，Y ）有n m ?种可能的取值。

（二） 应用

【例1.2.3】仍设某班有男生18人，女生12人，现要求从中分别选出男女生各一名代表全班参加比赛，问共有多少种选法？ （解）（1）分两步挑选，先选女生（12种选法），再选男生（18种选法）。由乘法法则，有12×18＝216种选法。 （2）设集合：A ——男生，B ——女生。由乘法法则，A ×B ＝18×12＝216。

（3）变量X ——男生（18种取值），变量Y ——女生（12种取值）。由乘法法则，随机向量（X ，Y ）有18×12＝216种可能的值。

【例1.2.4】给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z ，后两个要求用数字1~9，问最多可以给多少种程序命名？

（解）首字符选法：7＋6＝13种（加法法则）。

总数： 13×9×9＝1053种（数字可重复使用）（乘法法则）。 【例1.2.5】从A 地到B 地有1n 条不同的道路，从A 地到C 地有2n 条不同的道路，从B 地到D 地有1m 条不同的道路，从C 地到D 地有2m 条不同的道路，那么，从A 地经B 或C 到达目的地D 共有多少种不同的走法?

（解）路线A →B →D ：1n ×1m 种走法（乘法法则） 路线A →C →D ：2n ×2m 种走法（乘法法则） 总数：1n 1m ＋2n 2m 种走法（加法法则）

2×3＋3×4＝18

1.3 排列与组合

1. 3. 1 相异元素不允许重复的排列数和组合数

（一） 计算公式

从n 个相异元素中不重复地取r 个元素的排列数和组合数：

（1）排列： ()()()()!

!

11,r n n r n n n r n P P r n -=+--==

推导：反复利用加法法则与乘法法则

（2）组合： ()()!!!

!,r r n n r P r n r n C C r n r n

-==???

? ??==

推导：利用组合与排列的异同

（3）例：n ＝5，r ＝3，即元素为1，2，3，4，5

排列：134，143，314，341，413，431；254，425，…… 组合：134，245，…… （4）特点：排列考虑顺序，组合不然。

（二） 数学模型

（1）排列问题：将r 个有区别的球放入n 个不同的盒子，每盒

不超过一个，则总的放法数为P (n ，r )。 （2）组合问题：将r 个无区别的球放入n 个不同的盒子，每盒

不超过一个，则总的放法数为C (n ，r )。

1. 3. 2 相异元素允许重复的排列

（一） 问题

从n 个不同元素中允许重复地选r 个元素的排列，简称r 元

重复排列，排列数记为RP(∞，r )。

（二） 模型

将r 个不相同的球放入n 个有区别的盒子，每个盒子中的球数不加限制而且同盒的球不分次序。

（三） 计算公式

RP(∞，r )＝r n

（四） 集合描述方式

设无穷集合{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21 ，从S 中取r 个元素

的排列数即为RP(∞，r )。

不重复排列：S ＝{}n e e e ???1,,1,121 ＝{}n e e e ,,,21 。 1. 3. 3 不尽相异元素的全排列

（一） 问题

有限重复排列（或部分排列）：设{}t t e n e n e n S ???=,,,2211 （n n n n t =+++ 21），从S 中任取r 个元素，求其排列数RP(n ，r )。

（二） 模型

将r 个有区别的球放入t 个不同的盒子，每个盒子的容量有限，其中第i 个盒子最多只能放入i n 个球，求分配方案数。 例： S ＝{2·1，4·2，1·3，3·4，2·5}

＝{1，1，2，2，2，2，3，4，4，4，5，5}

说明：

（1）极端情形：相异元素不重复的排列强调的是不重复，即盒子的容量为1；

（2）极端情形：相异元素允许重复的排列强调的是无限重复，即盒子的容量无限；

（3）一般情形：不尽相异元素的排列强调的是有限重复，即盒子的容量有限，介于两者之间。

（三） 特例

（1）r ＝1：RP(n, 1)＝t （2）r ＝n （全排列）

()!

!!!

,21t n n n n n n RP =

例 2121321c c b b a a a 与21121321c c b b a a a a

2312211c a c b a b a 与2312112c a c b a b a

（3）t ＝2，()???

? ??==121!!!

,n n n n n n n RP （4）i n ＝1，即不重复的排列 （5）∞=i n ，即重复排列

1. 3. 4 相异元素不允许重复的圆排列

（一） 圆排列

【例1.3.1】把n 个有标号的珠子排成一个圆圈，共有多少种不同的排法？

（解）称为圆排列（相对于线排列）。 条件：元素同时按同一方向旋转，绝对位置变化，相对位置未变，即元素间的相邻关系未变，视为同一圆排列。

结论：1个圆排列对应n 个线排列。

()()n

n n n n CP ,P ,=

＝(n －

1)!

32541 25413 54132 41325 13254

【例1.3.2】从n 个相异元素中不重复地取r 个围成圆排列，求不同的排列总数CP(n ，r )。

（解） CP(n ，r )＝r

r

n P ＝()!!r n r n -

（二） 项链排列

【例1.3.3】将5个标有不同序号的珠子穿成一环，共有多少

种不同的穿法？

（解）称为项链排列。

条件：可以翻转的圆排列。即同一项链不用剪断重穿，翻过来仍是原项链。

结论：两个圆排列对应一个项链排列，故有24/2＝12种。

（a ） （b ）

图1.3.1 项链排列

一般情形：从n 个相异珠子中取r 个的项链排列数：

r r n 2P ＝ ()!

2!r n r n - 允许重复的圆排列：情况复杂，参见反演公式（第四章）。 1. 3. 5 相异元素允许重复的组合

（一） 问题

设{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21 ，从S 中允许重复地取r 个

元素构成组合，称为r 可重组合，其组合数记为RC(∞，r )。

（二） 抽象

记S 为{}n S ?∞?∞?∞=,,2,1 。 例：n ＝5，r ＝4： 1111，1122，1345，5555

（三） 计算公式

设所选r 个元素为：1≤a 1≤a 2≤…≤a r ≤n 令 ()1-+=i a b i i ， i ＝1，2，…，r 则 1≤b 1＜b 2＜…＜b r ≤n ＋(r －1) 反之 ()1--=i b a i i

结论：与从n ＋r －1个相异元素中不重复地取r 个元素的组

合方案一一对应。

∴

()()()()!

1!!

1,1,--+=

-+=∞n r r n r r n C r RC 例： n ＝5，r ＝4

（四） 模型

将r 个无区别的球放入n 个不同的盒子，每个盒子的球数不受限制。

（五） 应用

【例1.3.4】不同的5个字母通过通信线路被传送，每两个相邻字母之间至少插入3个空格，但要求空格的总数必须等于15，问共有多少种不同的传送方式？ （解）三步求解：

（1）先排列5个字母，排列数 P (5，5)＝5!。

（2）两个字母间各插入3个空格，将12个空格均匀地放入4个间隔内，有1种方案。

c △△△ b △△△

d △△△

e △△△ a

（3）将余下的3个空格插入4个间隔：

分析：将3个相同的球放入4个不同的盒子，盒子的容量不限。 方案1：c △△△▲▲ b △△△ d △△△▲ e △△△ a 方案2：c △△△b △△△ d △△△e △△△▲▲▲ a 归纳：从4个相异元素中可重复地取3个元素的组合数

()()203,1343,RC =-+=∞C 。

（4）总方案数： L ＝5！·1·20＝2400

1. 3. 6 不尽相异元素任取r 个的组合问题

（一） 问题

设集合{}t t e n e n e n S ???=,,,2211 （n n n n t =+++ 21），从S 中任取r 个，求其组合数RC(n ，r )。

（二） 组合数

中间工具：组合问题的母函数：

∏∑==t

i n j j

i

x 10＝(

)∏=++++t

i n i

x

x x 1

2

1 ＝∑=n

r r

r x

a 0

答案：RC(n ，r )＝r a

（三） 应用

【例1.3.5】整数360有几个正约数？

（解）（1）标准素因数分解：360＝23×32×5 （2）正约数及其条件

1＝20×30×50，2＝2×30×50，3＝20×3×50， 5＝20×30×5，22＝22×30×50，6＝2×3×50＝3×2，

…

90＝2×32×5，180＝22×32×5，360＝23×32×5

结论：正整数d 是360的正约数?d ＝c b a 532且0≤a ≤

3，0≤b ≤2，0≤c ≤1。

故14不是约数，16＝42也不是约数。

（3）问题转化：求{}51,32,23???=S 的所有组合数之和。 （4）求解：构造多项式

P 6 (x)＝(1＋x ＋x 2＋x 3)(1＋x ＋x 2)(1＋x )

＝1＋3x ＋5x 2＋6x 3＋5x 4＋3x 5＋x 6

系数求和： ()∑==6

0,6i i RC τ＝1＋3＋5＋6＋5＋3＋1＝24

方法化简：求P 6(1)＝()∑=6

,6i i RC ＝4×3×2＝24

（5）一般规律：设正整数n 分解为k k

p p p n ααα 2

121=，则 ()()()11121+++=k ααατ

习题：18，21

小结：课程任务；技巧性。

1.4 组合等式及其组合意义

组合等式的证明方法： （1 归纳法

（2 组合意义法：借助于阐明等号两端的不同表达式实质

殊途同归法），或者虽是两个不同组合问题的方案数，但二者的组合方案之间存在着一一对应关系，因此等式两端必须相等，从而达到证明等式成立的目的。对于恒等式的实质揭露得更为深刻。 （3 母函数法：利用无穷级数（包括有限时的多项式）证

法。 （4 其它方法：二项式展开、反演公式等 【等式1】对称关系式

r

n n r n -=C C

组合意义：{}n a a a ,,, 21的r 组合?n －r 组合 【等式2】加法公式

1

11C C C ---+=r n r n r n

（一）组合意义：{}n a a a ,,,21 的r 组合，分为两类：

（1） 取出的元素中含有1a ：组合数为1

1C --r n 。

（2） 不含元素1a ，组合数为r n 1C -。

总数：111C C ---+r n r n

注意：①无第三种情形；②两类情况互不重复；③用加法法

（二）例：从{1，2，3，4，5}中取3个的组合情况： 第一类（包含元素“1”）： 123，124，125，134，135，145 第二类（不包含“1”）： 234，235，245，345 （三）路径问题：等价形式

1

11--+-+++=m n m m n m m n m C C C

组合意义：从（0，0）点到（m ，n ）点的路径数等于从（0，0）

点分别到（m ，n －1）点和（m －1，n ）点的路径数之和。 ()n m ,

()0,0 【等式3】乘法公式

r k r n r n r k k n C C C C --=

等式变形： r

k r k k n r n r n r r r k k k n n C C C C C C ------=

组合意义

（1） 左端：“将n 个元素分为3堆：第一堆k n -个，第二堆

r k -个，则第三堆为r 个”，求组合方案数。 （2） 右端：“将n 个元素分为3堆：第三堆r 个，第二堆k n -个，第一堆r k -个”，求组合方案数。 （3） 两个组合问题等价。

举例：n ＝20＝5＋7＋8＝7＋8＋5，88715520C C C ＝5

5

813720C C C 推广：n 个元素分为t 堆，且可以若干堆个数相等

n ＝20＝4＋2＋5＋9＝2＋9＋4＋5，516218420C C C ＝4

9

918220C C C 【等式4】C (n ＋r ＋1，r)＝()∑=+r

i i i n C 0

,

＝C (n ＋r ，r )＋C (n ＋r －1，r －1)＋C (n ＋r －2，r －2)

＋C (n ＋r －3，r －3)＋…＋C (n ，0)

或 C (n ＋r ＋1，r )＝()∑=+r

i n i n C 0,

＝ C (n ＋r ，n )＋C (n ＋r －1，n )＋C (n ＋r －2，n )

＋…＋C (n ，n )

（一）组合意义：

（二）说明：等式2的推广。

r r n 1C ++＝1

-+++r r n r r n C C

＝()

2

111--+--++++r r n r r n r r n C C C

＝()

3

22211--+--+--+++++r r n r r n r r n r r n C C C C

＝……

＝()

1112211++--+--+++++++n n r r n r r n r r n C C C C C ＝0112211n n r r n r r n r r n C C C C C ++++++--+--++

（三）相应的路径问题：

()1,+n r

()0,0

【等式5】Vandermonde （范德蒙）恒等式

???? ??+r n m ＝∑=???? ??-???? ??r

i i r m i n 0 ＝???

? ?????? ??++???? ??-???? ??+???? ?????? ??0110m r n r m n r m n , r ≤min(m ，n ) 组合意义 n 个相异的红球，m 个相异的蓝球，选r 个的组合。

分类统计：i 个红球，r －i 个蓝球的选法为i r m i n -C C 。

特例：m ＝r

???? ??+r r n ＝???? ?????? ??++???? ?

?-???? ??+???? ??????

??0110r r n r r n r r n ， r ≤n ＝???? ?????? ??++???? ?????? ??+???? ?????? ??r r r n r n r n 1100 ＝∑=???

? ?????? ??r

i i r i n 0 【等式6】和式公式：

()n

n

i i n C 2,0=∑= 组合意义：n 个相异元素选i 个的组合?两类元素的n 可重

排列

【等式7】()01210=???

? ??-+-???? ??+???? ??-???? ??n n n n n n 组合意义：等式变形

++=++3

120n n n n C C C C

奇组合数＝偶组合数。 启发：存在一一对应关系。 例：n ＝4 【等式8】()()()1122

2

22

1

2--=+++n n n n n n

nC C n C C 组合意义：从n 名先生、n 名太太中选出n 人，其中一人担任主席，且必须为太太，求选法数。

选法1：①选一名太太任主席；②再选n －1人。选法总数为1

121121----=n n n n n nC C C 。 选法2：①从n 名太太中选k 人；②从此k 人中选一人任主席；③再从n 名先生中选n －k 人（1≤k ≤n ）。

()2

1C C C C k n k n n k k n k =- 选法总数＝()∑=n

k k n

C k 12

【等式9】设r ，M 都是自然数，M ≥r 则有

2

111-?---?-+-?-+M r M r M M r M M r M r M M r

[超全]排列组合二十种经典解法!

超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A

排列组合教案

数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排

列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？

高中排列组合基础题

排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）. 例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？. 分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2 种方法.则共有52 54A A ＝440种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种. 分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个 排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共15 45A A ＝480种排法.还可以优先排两端 （位置优先）. 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ×××× 一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列 对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和. 例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） （A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个 分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13 33A A 个，合计300个，所以选B 例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种， 其中0居首位的有314 544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314 555544C C A C C A ＝11040个. 【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的. ①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325 545C C A 个； ②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法， 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有3141 5444C C A A 种排法. 综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋3141 5444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3

超全排列组合二十种经典解法

超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A

高中数学排列组合教学设计

高中数学《排列组合》教学设计 【教学目标】 1．知识目标 （1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题； （2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能； （3）熟练应用排列组合问题常见解题方法； （4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。 2．能力目标 认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。 3．德育目标 （1）用联系的观点看问题； （2）认识事物在一定条件下的相互转化； （3）解决问题能抓住问题的本质。 【教学重点】：排列数与组合数公式的应用 【教学难点】：解题思路的分析 【教学策略】：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。 【媒体选用】：学生在计算机网络教室通过专题学习网站，利用网络资源（如在线测度等）进行自主探索和研究。 【教学过程】 一、知识要点精析 （一）基本原理 1.分类计数原理 2.分步计数原理 3.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”： （1）对于加法原理有以下三点： ①“斥”——互斥独立事件； ②模式：“做事”——“分类”——“加法” ③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。 （2）对于乘法原理有以下三点： ①“联”——相依事件； ②模式：“做事”——“分步”——“乘法” ③关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。 （二）排列 1．排列定义 2．排列数定义 3．排列数公式 （三）组合 1．组合定义 2．组合数定义

排列组合应用教学设计教案

●课题 排列组合应用（二） ●教学目标 （一）教学知识点 排列、组合、排列数、组合数、捆绑法、插空法. （二）能力训练要求 1.能够判断所研究问题是否是排列或组合问题. 2.进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能. 3.熟练应用排列组合问题常见的解题方法. 4.进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力. （三）德育渗透目标 1.用联系的观点看问题. 2.认识事物在一定条件下的相互转化. 3.解决问题能抓住问题的本质. ●教学重点 排列数、组合数公式的应用. ●教学难点 解题思路的分析. ●教学方法 启发式、引导式 启发学生认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，引导学生注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要求学生注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力. ●教具准备 投影片. 第一张：排列数、组合数公式（记作10.3.4 A） 第二张：本节例题（记作10.3.4 B） 第三张：补充练习题（记作10.3.4 C） ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上一节我们一起研究学习了排列组合的实际应用题，逐步熟悉了排列数与组合数公式，并总结了相邻问题与不相邻问题的常用方法.下面，我们作一简要回顾. ［生甲］排列数公式： 组合数公式： ［生乙］相邻问题常用捆绑法；不相邻问题常用插空法. ［师］这一节，我们通过例题进一步研究排列组合知识在实际中的应用，并关注转化思想在解题中的应用. Ⅱ.讲授新课

［师］大家在审读题目内容后可以畅谈自己的看法. ［生甲］连结A1B2,则A2B1,A3B1,A4B1分别与A1B2各有一交点，共有3个交点，再考虑各点与B2连结后交点的增加情况…… ［生乙］我也按照甲同学的思路考虑，但情形较为复杂，不易确定所求. ［生丙］为了避免遗漏和重复，根据四边形对角形交点唯一，可以考虑构成不同四边形 个数的多少.可分两步完成：第一步，从l1上A1~A4四点中任取两点，有C2 4种不同取法；第

排列组合教案

排列组合教案 教材分析 间隔排列在日常生活中经常能够看到，几乎每个学生都曾经接触过，但一般不会关注和研究它。两种物体一一间隔排列，是最简单的间隔排列，其中的要素不多，规律比较明显，适合三年级学生探索。 教材中首先引导学生观察有趣的现象，通过“看”“数”“比”“圈”等活动，由表及里逐步体验现象里的规律。首先观察现象，了解其中的物体是怎样排列的。然后数出各种物体的个数，比较每组两种物体的个数，初步发现它们的共同点。再通过动手把同组的两种物体“一对一”地圈出来，体验“相差1个”是合理的。最后放大情境，增加物体数量，体会“相差1个”是稳定的。 然后创设摆学具的操作情境：如果把正方形与圆一个隔一个地排成一行，正方形有10个，圆最少有几个？最多有几个？这是一个开放的操作情境，其中正方形的个数是规定的，圆的个数是不确定的。通过摆学具、找规律、想原因，比较全面地探索了两种物体一一间隔排列的规律。这些规律以形象思维的方式保存在学生的经验里，既有比较充分的体验，又不需要刻意去记忆。 最后回顾探索规律的活动过程，交流体会、享受喜悦、保持兴趣、积累经验。 教学目标 知识与技能 使学生经历探索规律的过程，初步体会和认识一一间隔排列的两种事物数量之间的规律，建立“两个物体一一间隔排列时，在两端相同的情况下两端的物体比中间的物体多一个；在两端不同的情况下，两种物体一样多”这一规律模型，初步学会利用发现的规律解决一些简单的实际问题。 问题解决与数学思考 使学生在探索活动中初步发展分析、比较、综合、归纳和抽象等思维能力，使学生在学习过程中感受数学与生活的联系，培养学生用数学观点分析生活现象的初步意识及初步能力。 情感态度与价值观 培养学生产生对数学的好奇心，形成与人合作的意识，增强学习的自信心。 教学重点、难点

简单的排列组合教案

二年级上册数学广角《简单的排列问题》教案 课时：第一课时 教材：人教版义务教育课程标准试验教科书二年级上册数学广角《排列和组合》，课本例1。 教学目标： 1、知识与能力：培养学生学习初步的观察、分析能力和有序全面思考问题的意识。 2、过程与方法：通过摆一摆、玩一玩等实践活动，了解有关简单的排列组合的知识。 3、情感、态度与价值观：培养学生大胆猜想、积极思维的学习方法，进一步激发学生学习数学的兴趣。 教学重点： 1、了解简单的排列知识。 2、能应用排列组合的知识解决实际生活中的问题。 教学难点：掌握简单的逻辑推理。 教学准备：数字卡片、课件。 一、创设情境，导入新课 孩子们，你们喜欢看《喜羊羊与灰太狼》吗？ (边出示课件2和3边讲解故事内容） 师：在这一天，灰太狼抓住了美羊羊，把她关在了狼堡里。灰太狼为了阻止喜羊羊去救美羊羊，他设计一扇“超级密码门”，装在自己的狼堡里。喜羊羊

为了进大门，非常着急。正在这时，喜羊羊发现了大门上有一排小字，我们把它放大看看吧！（点击电脑，出示图中云注标志） 二、动手操作、探究新知 1、初步感知排列(出示课件４) （1）师：大门的密码是由数字1和2组成的两位数中较大的数，请同学们利用自己手边的数字卡片1和2来摆一摆吧！ 学生活动：用数字1和2摆出两位数。 师总结：原来把这两个数字的十位与个位交换也成了不同的两位数啊!(板书课题) 师：刚刚同学们说了可以摆成12和21两个两位数。所以密码是12、21中的较大的数。 生：密码是21。 2、合作探究排列（出示课件5） 师：虽然狼堡的大门开了，但还要进行闯关游戏。 （1）过关前我们先来做个游戏吧，请三个同学上台来演示。 游戏规则：先确定十位，再将个位变动。（板书：固定十位） 十位：1，个位就可以是2,3.（板书：12,13，对齐竖着写）组成的两位数分别是:12,13. 十位：2，个位就可以是1,3. （板书：21,23，对齐竖着写）组成的两位数分别是:21,23. 十位：3，个位就可以是1,2. （板书：31,32，对齐竖着写）组成的两位数分别是:31,32.

《排列组合》教学设计

《排列组合》教学设计 执教：王燕 2003年11月 教学内容背景材料： 义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册第八单元的排列与组合。 教学目标： 1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。 3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。 4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。 教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同。 教具准备：教学课件。 学具准备：每生准备3个人物卡片和题单，组长一张汇报单。 教学过程： 一、引入 （课件展示2004年奥运会片段） 孩子们从大屏幕上看到了什么？今年夏天的雅典奥运会上，中国的体育健儿为祖国多得了多少枚金牌？这真是另全中国人民欢欣鼓舞的事。 老师想问问大家，你们喜欢体育运动吗？想去参观一下咱们巴蜀小学的运动会吗？请看大屏幕。巴蜀小学的运动会上开展了许多丰富多彩、激烈有趣的比赛项目，这是集体跳长绳、这是足球比赛、这是乒乓球比赛、还有跑步比赛。 在比赛的过程中，孩子们遇到了许多数学问题，王老师想邀请大家来解答这些数学问题，愿意吗？今天，我们就来研究运动会上的数学问题。 二、排列 1、提出问题 （1）在跑步比赛中，有三个小朋友获得了前三名，掌声请出他们请看，他们分别是小黄、小蓝和小红，猜猜谁是第1名？还有可能是谁？也就是说第1名有几种可能的情况？ （2）但是现在第1名和第2名都不知道是谁，谁来猜一猜第1、2名可能是谁和谁？还可能是谁和谁？还有没有其它可能的情况呢？第1、2名到底有多少种可能的情况呢？ 2、试一试 （1）请看大屏幕，我们用笑脸来代表这三个小朋友，涂上黄色就代表小黄，涂上蓝色就代表小蓝，涂上红色就代表小红。如果这样涂就表示什么？（小黄第1名、小蓝第2名。）这样涂呢？（小蓝第1名、小红第2名。）请孩子们拿出题单，给笑脸涂上红黄蓝色，然后再填出第2名到底有几种可能的情况，明白吗？

排列组合基本知识

有关排列组合的基本知识 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！

(三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的． 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力 (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

(完整版)人教版高中数学《排列组合》教案

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇

二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 Teaching case of mathematics simple permut ation and combination

二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 2、篇章2：《简单的排列组合》教学案例分析 篇章1:二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 【背景】 为了进一步提高课堂效率，提升学生学习力，逐步落实数学课堂与“学习力”相结合的自学为主课堂教学模式，提升青年教师的整体素质，进步培养青年教师良好的教学能力。我们二年级数学组于XX年10月开展了全员赛课活动，并取得了良好效果。本篇教案集授课教师努力及组内教师智慧，较能体现学校的主流教学模式，是一篇优秀的案例。

【教材简析】 本节课的内容是数学二年级上册数学广角例1简单的排列与 组合。排列和组合的思想方法应用得很广泛，是学生学习概率统 计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好 素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它 通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。 教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，而简单的排列组合对二年级学生来说都早有 不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一 年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，根据学生的年龄特点 处理了教材。整堂课坚持从低年级儿童的实际与认知出发，以 “感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念， 结合实践操作活动，让学生在活动中学习数学，体验数学。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排 列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、 分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探 究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)教学内容

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为11m n C --

数学竞赛教案讲义排列组合与概率

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0 n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6） k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合复习教学设计

《排列组合的复习》教学设计 上传: 李火年更新时间：2012-5-8 6:27:32 教学目标 1．知识目标 （1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题； （2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能； （3）熟练应用排列组合问题常见解题方法； （4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。 2．能力目标 认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。3．德育目标 （1）用联系的观点看问题； （2）认识事物在一定条件下的相互转化； （3）解决问题能抓住问题的本质。 教学重点：排列数与组合数公式的应用 教学难点：解题思路的分析 教学策略：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。 媒体选用：学生在计算机网络教室通过专题学习网站，利用网络资源（如在线测度等）进行自主探索和研究。 教学过程 一、知识要点精析 （一）基本原理 1.分类计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的办法，那么完成这件事共有：…种不同的方法。 2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的办法，那么完成这件事共有： …种不同的方法。

3.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”： （1）对于加法原理有以下三点： ①“斥”——互斥独立事件； ②模式：“做事”——“分类”——“加法” ③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。 （2）对于乘法原理有以下三点： ①“联”——相依事件； ②模式：“做事”——“分步”——“乘法” ③关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。（二）排列 1．排列定义：一般地说从个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中，任取个元素的一个排列。特别地当时，叫做个不同元素的一个全排列。2．排列数定义：从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 3．排列数公式：（1）…，特别地 （2）且规定 （三）组合 1．组合定义：一般地说从个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 2．组合数定义：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 3．组合数公式：（1） （2） 4．组合数的两个性质：（1）规定（2） （四）排列与组合的应用 1.排列的应用问题 （1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。 （2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。2．组合的应用问题 （1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。 （2）有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

小学奥数--排列组合教案

小学奥数-----排列组合教案 加法原理和乘法原理 排列与组合:熟悉排列与组合问题。运用加法原理和乘法原理解决问题。在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从 A 地到 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。那么从 A 地到 B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m 1 种不同的方法， 在第二类方法中有m 2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n 种不同的方法， 那么完成这件工作共有N＝m 1＋m 2 ＋m 3 ＋…＋m n 种不同方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完成第 二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作 共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。 运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。 【例题一】每天从武汉到北京去，有 4 班火车，2 班飞机，1 班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？ 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车,二类乘坐飞机,三类乘坐洗车.

奥数：排列组合的基本理论及公式.docx

一、排列合的基本理和公式，排列与元素的序有关，合与序无关。如 231 与 213 是两个排列， 2＋ 3＋ 1 的和与 2＋ 1＋3 的和是一个合。 (一 )两个基本原理是排列和合的基： (1)加法原理：做一件事，完成它可以有 n 法，在第一法中有 m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，??，在第n 法中有 m n种不同的方法，那么完成件事共有 N＝ m1＋ m2＋m3＋?＋ m n种不同方法。 (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事共 有N＝m1×m2×m3×?×m n种不同的方法。 里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有 n法，是分，第一中的方法都是独立的，因此 用加法原理；做一件事，需要分n 个步，步与步之是 的，只有将分成的若干个互相系的步，依次相完成， 件事才算完成，因此用乘法原理。 完成一件事的分“ ”和“步”是有本区的，因此 也将两个原理区分开来。 C53表示从5 个元素中取出 3 个，共有多少种不同的取

法。这是组合的运算。例如：从 5 个人中任选三个人去参加 比赛，共有几种选法这就是从 5 个元素中取出 3 个的组合运算。可表示为C53。其计算过程是C53=5!/[3!× (5-3)!]叹号代表阶乘， 5!=5 ×4×3×2×1=120，3!=3 ×2×1=6，（ 5-3）！ =2！ =2 ×，所以 C53=5!/[3! × (5-3)!]=120/(6 ×针2)=10对上 面 1=2 例子，就是从 5 个人中任选三个人去参加比赛，共有10 几种选法。 排列组合公式： 公式 P 是指排列，从N 个元素取 R 个进行排列。 公式 C 是指组合，从N 个元素取 R 个，不进行排列。 n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。 ！—阶乘，如9！＝ 9×8×7×6×5×4×3。×2×1 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多