高中数学必修五全套学案
§1.1.1 正弦定理
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、课前准备
?CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关
系？
显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来
探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，
设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a b c A B C
==． (
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
有CD =sin sin a B b A =，则
sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B
=， 从而sin sin a b A B =sin c C
=．
类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sin sin a b A B =sin c C
=．
试试：
（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）．
A ．sin sin a A b
B = B .cos cos a A b B =
C . sin sin a B b A =
D .cos cos a B b A =
（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；
（2）
sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B
=，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=；b = ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在ABC ?中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
变式：在ABC ?中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．
例2. 在45,2,,
?===
中，求和．ABC c A a b B C
变式：在60,1,,
中，求和．?==
ABC b B c a A C
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C
= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC ?中，若cos cos A b B a
=，则ABC ?是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，
则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1∶
D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.
A. A B >
B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定