else low=mid+1; /*修改区间下界*/
mid=(high+low)/2; }
if(x==a[mid]) printf("Found %d,%d\n",x,mid);
else printf("Not found\n");
}
三、数值计算常用经典算法:
1.级数计算
级数计算的关键是“描述出通项”,而通项的描述法有两种:一为直接法、二为间接法又称递推法。
直接法的要领是:利用项次直接写出通项式;递推法的要领是:利用前一个(或多个)通项写出后一个通项。
可以用直接法描述通项的级数计算例子有:
(1)1+2+3+4+5+……
(2)1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。
可以用间接法描述通项的级数计算例子有:
(1)1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……
(2)1+1/2!+1/3!+1/4! +1/5!+……等等。
(1)直接法求通项
例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。
main()
{float s; int i;
s=0.0;
for(i=1;i<=100;i++) s=s+1.0/i ;
printf("1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n",s);
}
【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项,并进行累加。注意:因为i是整数,故分子必须写成1.0的形式!
(2)间接法求通项(即递推法)
例2、计算下列式子前20项的和:1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。
[分析]此题后项的分子是前项的分母,后项的分母是前项分子分母之和。
main()
{float s,fz,fm,t,fz1; int i;
s=1; /*先将第一项的值赋给累加器s*/
fz=1;fm=2;
t=fz/fm; /*将待加的第二项存入t中*/
for(i=2;i<=20;i++)
{s=s+t;
/*以下求下一项的分子分母*/
fz1=fz; /*将前项分子值保存到fz1中*/
fz=fm; /*后项分子等于前项分母*/
fm=fz1+fm; /*后项分母等于前项分子、分母之和*/
t=fz/fm;} printf("1+1/2+2/3+...=%f\n",s); } 下面举一个通项的一部分用直接法描述,另一部分用递推法描述的级数计算的例子:
例3、计算级数??? ??∑+∞=2!102x n n n n 的值,当通项的绝对值小于eps 时计算停止。
#include
float g(float x,float eps);
main()
{float x,eps;
scanf("%f%f",&x,&eps);
printf("\n%f,%f\n",x,g(x,eps));
}
float g(float x,float eps)
{int n=1;float s,t;
s=1; t=1;
do { t=t*x/(2*n);
s=s+(n*n+1)*t; /*加波浪线的部分为直接法描述部分,t 为递推法描述部分*/
n++; }while(fabs(t)>eps);
return s;
}
2.一元非线性方程求根
(1)牛顿迭代法
牛顿迭代法又称牛顿切线法:先任意设定一个与真实的根接近的值x 0作为第一次近似根,由x 0求出f(x 0),过(x 0,f(x 0))点做f(x)的切线,交x 轴于x 1,把它作为第二次近似根,再由x 1求出f(x 1),过(x 1,f(x 1))点做f(x)的切线,交x 轴于x 2,……如此继续下去,直到足够接近(比如|x- x 0|<1e-6时)真正的根x *为止。
而f '(x 0)=f(x 0)/( x 1- x 0) 所以 x 1= x 0- f(x 0)/ f ' (x 0)
例如,用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根:2x 3-4x 2+3x-6=0。
#include "math.h"
main()
{float x,x0,f,f1; x=1.5;
do{x0=x;
f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
f1=6*x0*x0-8*x0+3;
x=x0-f/f1; }while(fabs(x-x0)>=1e-5);
printf ("%f\n",x); }
(2)二分法
算法要领是:先指定一个区间[x1, x2],如果函数f(x)在此区间是单调变化的,则可以根据f(x1)和f(x2)是否同号来确定方程f(x)=0在区间[x1, x2]内是否有一个实根;如果f(x1)和f(x2)同号,则f(x) 在区间[x1, x2]内无实根,要重新改变x1和x2的值。当确定f(x) 在区间[x1, x2]内有一个实根后,可采取二分法将[x1, x2]一分为二,再判断在哪一个小区间中有实根。如此不断进行下去,直到小区间足够小为止。
具体算法如下:
(1)输入x1和x2的值。
(2)求f(x1)和f(x2)。
(3)如果f(x1)和f(x2)同号说明在[x1, x2] 内无实根,返回步骤(1),重新输入x1和x2的值;若f(x1)和f(x2)不同号,则在区间[x1, x2]内必有一个实根,执行步骤(4)。
(4)求x1和x2的中点:x0=(x1+ x2)/2。
(5)求f(x0)。
(6)判断f(x0)与f(x1)是否同号。
①如果同号,则应在[x0, x2]中寻找根,此时x1已不起作用,用x0代替x1,用f(x0)代替f(x1)。
②如果不同号,则应在[x1, x0]中寻找根,此时x2已不起作用,用x0代替x2,用f(x0)代替f(x2)。(7)判断f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值(例如10-5)。若不小于10-5,则返回步骤(4)重复执行步骤(4)、(5)、(6);否则执行步骤(8)。
(8)输出x0的值,它就是所求出的近似根。
例如,用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10,10)之间的根。
#include "math.h"
main()
{float x1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;
do {printf("Enter x1&x2");
scanf("%f%f",&x1,&x2);
fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;
fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;
}while(fx1*fx2>0);
do {x0=(x1+x2)/2;
fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
if((fx0*fx1)<0) {x2=x0; fx2=fx0; }
else {x1=x0; fx1=fx0; }
}while(fabs(fx0)>1e-5);
printf("%f\n",x0);}
3.梯形法计算定积分
定积分?b a dx x f )(的几何意义是求曲线y=f(x)、x=a 、x=b 以及x 轴所围成的面积。
可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。例如,把区间[a, b]分成n 个长度相等的 小区间,每个小区间的长度为h=(b-a)/n ,第i 个小梯形的面积为
[f(a+(i-1)·h)+f(a+i ·h)]·h/2,将n 个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值:
∑?=??++?-+≈n i b
a h h i a f h i a f dx x f 12/)]())1(([)(
根据以上分析,给出“梯形法”求定积分的N-S 结构图:
输入区间端点:a ,b
输入等分数n
h=(b-a)/2, s=0
i 从1到n
si=(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))*h/2
s=s+si
输出s
上述程序的几何意义比较明显,容易理解。但是其中存在重复计算,每次循环都要计算小梯形的上、下底。其实,前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底,完全不必重复计 算。为此做出如下改进:
?∑-=?+++?≈b
a n i h i a f
b f a f h dx x f 11)](2/)(2/)([)(
矩形法求定积分则更简单,就是将等分出来的图形当作矩形,而不是梯形。
例如:求定积分?++40)2*3*(dx x x x 的值。等分数n=1000。
#include "math.h"
float DJF(float a,float b)
{float t,h; int n,i;
float HSZ(float x);
n=1000; h=fabs(a-b)/n;
t=(HSZ(a)+HSZ(b))/2;
for(i=1;i<=n-1;i++) t=t+HSZ(a+i*h);
t=t*h;
return(t);
}
float HSZ(float x)
{return(x*x+3*x+2); }
main()
{float y;
y=DJF(0,4);
printf("%f\n",y);}
四、其他常见算法
1.迭代法
其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。每次重复都从旧值的基础上递推出新值,并由新值代替旧值。
例如,猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时,就只剩一个桃子了。编程求第一天共摘多少桃子。
main()
{int day,peach;
peach=1;
for(day=9;day>=1;day--) peach=(peach+1)*2;
printf("The first day:%d\n",peach);}
又如,用迭代法求x=a的根。
求平方根的迭代公式是:x n+1=0.5×(x n+a/ x n )
[算法]
(1)设定一个初值x0。
(2)用上述公式求出下一个值x1。
(3)再将x1代入上述公式,求出下一个值x2。
(4)如此继续下去,直到前后两次求出的x值(x n+1和x n)满足以下关系:
| x n+1- x n|<10-5
#include "math.h"
main()
{float a,x0,x1;
scanf("%f",&a);
x0=a/2; x1=(x0+a/x0)/2;
do{x0=x1;
x1=(x0+a/x0)/2;
}while(fabs(x0-x1)>=1e-5);
printf("%f\n",x1);
}
2.进制转换
(1)十进制数转换为其他进制数
一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是,将m不断除以r取余数,直到商为0时止,以反序输出余数序列即得到结果。
注意,转换得到的不是数值,而是数字字符串或数字串。
例如,任意读入一个十进制正整数,将其转换成二至十六任意进制的字符串。
void tran(int m,int r,char str[],int *n)
{char sb[]="0123456789ABCDEF"; int i=0,g;
do{g=m%r;
str[i]=sb[g];
m=m/r;
i++;
}while(m!=0);
*n=i;
}
main()
{int x,r0; /*r0为进制基数*/
int i,n; /*n中存放生成序列的元素个数*/
char a[50];
scanf("%d%d",&x,&r0);
if(x>0&&r0>=2&&r0<=16)
{tran(x,r0,a,&n);
for(i=n-1;i>=0;i--) printf("%c",a[i]);
printf("\n"); }
else exit(0);
}
(2)其他进制数转换为十进制数
其他进制整数转换为十进制整数的要领是:“按权展开”,例如,有二进制数101011,则其十进制形式为1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43。若r进制数a n……a2a1(n位数)转换成十进制数,方法是a n×r n-1+……a2×r1+a1×r0。
注意:其他进制数只能以字符串形式输入。
例1、任意读入一个二至十六进制数(字符串),转换成十进制数后输出。
#include "string.h"
#include "ctype.h"
main()
{char x[20]; int r,d;
gets(x); /*输入一个r进制整数序列*/
scanf("%d",&r); /*输入待处理的进制基数2-16*/
d=Tran(x,r);
printf("%s=%d\n",x,d);
}
int Tran(char *p,int r)
{int d,i,cr; char fh,c;
d=0; fh=*p;
if(fh=='-')p++;
for(i=0;i{c=*(p+i);
if(toupper(c)>='A') cr=toupper(c)-'A'+10;
else cr=c-'0';
d=d*r+cr;
}
if(fh=='-') d=-d;
return(d);
}
3.矩阵转置
矩阵转置的算法要领是:将一个m行n列矩阵(即m×n矩阵)的每一行转置成另一个n×m 矩阵的相应列。
例1、将以下2×3矩阵转置后输出。
即将 1 2 3 转置成 1 4
4 5 6 2 5
3 6
main()
{int a[2][3],b[3][2],i,j,k=1;
for(i=0;i<2;i++)
for(j=0;j<3;j++)
a[i][j]=k++;
/*以下将a的每一行转存到b的每一列*/
for(i=0;i<2;i++)
for(j=0;j<3;j++)
b[j][i]=a[i][j];
for(i=0;i<3;i++) /*输出矩阵b*/
{for(j=0;j<2;j++)
printf("%3d",b[i][j]);
printf("\n"); }
}
4.字符处理
(1)字符统计:对字符串中各种字符出现的次数的统计。
典型例题:任意读入一个只含小写字母的字符串,统计其中每个字母的个数。
#include "stdio.h "
main()
{char a[100]; int n[26]={0}; int i; /*定义26个计数器并置初值0*/
gets(a);
for(i=0;a[i]!= '\0' ;i++) /*n[0]中存放’a’的个数,n[1] 中存放’b’的个数……*/
n[a[i]-'a' ]++; /*各字符的ASCII码值减去’a’的ASCII码值,正好得到对应计数器下标*/ for(i=0;i<26;i++)
if(n[i]!=0) printf("%c :%d\n ", i+'a', n[i]);
}
(2)字符加密
例如、对任意一个只含有英文字母的字符串,将每一个字母用其后的第三个字母替代后输出(字母X后的第三个字母为A,字母Y后的第三个字母为B,字母Z后的第三个字母为C。)#include "stdio.h"
#include "string.h"
main()
{char a[80]= "China"; int i;
for(i=0; iif(a[i]>='x'&&a[i]<='z'||a[i]>='X'&&a[i]<='Z') a[i]= a[i]-26+3;
else a[i]= a[i]+3;
puts(a);}
5.整数各数位上数字的获取
算法核心是利用“任何正整数整除10的余数即得该数个位上的数字”的特点,用循环从低位到高位依次取出整数的每一数位上的数字。
例1、任意读入一个5位整数,输出其符号位及从高位到低位上的数字。
main()
{long x; int w,q,b,s,g;
scanf("%ld",&x);
if(x<0) {printf("-,"); x=-x;}
w=x/10000; /*求万位上的数字*/
q=x/1000%10; /*求千位上的数字*/
b=x/100%10; /*求百位上的数字*/
s=x/10%10; /*求十位上的数字*/
g=x%10; /*求个位上的数字*/
printf("%d,%d,%d,%d,%d\n",w,q,b,s,g); }
例2、任意读入一个整数,依次输出其符号位及从低位到高位上的数字。
[分析]此题读入的整数不知道是几位数,但可以用以下示例的方法完成此题:
例如读入的整数为3796,存放在x中,执行x%10后得余数为6并输出;将x/10得379后赋值给x。再执行x%10后得余数为9并输出;将x/10得37后赋值给x……直到商x为0时终止。
main()
{long x; scanf("%ld",&x);
if(x<0) {printf("- "); x=-x;}
do /*为了能正确处理0,要用do_while循环*/
{printf("%d ", x%10);
x=x/10;
}while(x!=0);
printf("\n");
}
例3、任意读入一个整数,依次输出其符号位及从高位到低位上的数字。
[分析]此题必须借助数组将依次求得的低位到高位的数字保存后,再逆序输出。
main()
{long x; int a[20],i,j;
scanf("%ld",&x);
if(x<0) {printf("- "); x=-x;}
i=0;
do {a[i]=x%10;
x=x/10; i++;
}while(x!=0);
for(j=i-1;j>=0;j--)
printf("%d ",a[j]);
printf("\n");
}
6.辗转相除法求两个正整数的最大公约数
该算法的要领是:假设两个正整数为a和b,先求出前者除以后者的余数,存放到变量r中,若r不为0,则将b的值得赋给a,将r的值得赋给b;再求出a除以b的余数,仍然存放到变量r 中……如此反复,直至r为0时终止,此时b中存放的即为原来两数的最大公约数。
例1、任意读入两个正整数,求出它们的最大公约数。
[法一:用while循环时,最大公约数存放于b中]
main()
{int a,b,r;
do scanf("%d%d",&a,&b);
while(a<=0||b<=0); /*确保a和b为正整数*/
r=a%b;
while(r!=0)
{a=b;b=r;r=a%b;}
printf("%d\n",b);
}
[法二:用do…while循环时,最大公约数存放于a中]
main()
{int a,b,r;
do scanf("%d%d",&a,&b);
while(a<=0||b<=0); /*确保a和b为正整数*/
do {r=a%b;a=b;b=r;
}while(r!=0);
printf("%d\n",a);
}
【引申】可以利用最大公约数求最小公倍数。提示:两个正整数a和b的最小公倍数=a×b/最大公约数。例2、任意读入两个正整数,求出它们的最小公倍数。
[法一:利用最大公约数求最小公倍数]
main()
{int a,b,r,x,y;
do scanf("%d%d",&a,&b);
while(a<=0||b<=0); /*确保a和b为正整数*/
x=a; y=b; /*保留a、b原来的值*/
r=a%b;
while(r!=0) {a=b;b=r;r=a%b;}
printf("%d\n",x*y/b);
}
[法二:若其中一数的最小倍数也是另一数的倍数,该最小倍数即为所求]
main()
{int a,b,r,i;
do scanf("%d%d",&a,&b);
while(a<=0||b<=0); /*确保a和b为正整数*/
i=1;
while(a*i%b!=0) i++;
printf("%d\n",i*a);
}
7.求最值
即求若干数据中的最大值(或最小值)。算法要领是:首先将若干数据存放于数组中,通常假设第一个元素即为最大值(或最小值),赋值给最终存放最大值(或最小值)的max(或min)变量中,然后将该量max(或min)的值与数组其余每一个元素进行比较,一旦比该量还大(或小),则将此元素的值赋给max(或min)……所有数如此比较完毕,即可求得最大值(或最小值)。
例1、任意读入10个数,输出其中的最大值与最小值。
#define N 10
main()
{int a[N],i,max,min;
for(i=0;imax=min=a[0];
for(i=1;iif(a[i]>max) max=a[i];
else if(a[i]printf("max=%d,min=%d\n",max,min);
}
8.判断素数
素数又称质数,即“只能被1和自身整除的大于1的自然数”。判断素数的算法要领就是依据数学定义,即若该大于1的正整数不能被2至自身减1整除,就是素数。
例1、任意读入一个正整数,判断其是否为素数。
main()
{int x,k;
do scanf("%d",&x);
while(x<=1); /*确保读入大于1的正整数*/
for(k=2;k<=x-1;k++)
if(x%k==0)break; /*一旦能被2~自身-1整除,就不可能是素数*/
if(k==x) printf("%d is sushu\n",x);
else printf("%d is not sushu\n",x);}
以上例题可以用以下两种变形来解决(需要使用辅助判断的逻辑变量):
【变形一】将“2~自身-1”的范围缩小至“2~自身的一半”
main()
{int x,k,flag;
do scanf("%d",&x); while(x<=1);
flag=1; /*先假设x就是素数*/
for(k=2;k<=x/2;k++)
if(x%k==0){flag=0; break;}/*一旦不可能是素数,即置flag为0*/
if(flag==1) printf("%d is sushu\n",x);
else printf("%d is not sushu\n",x); }
【变形二】将“2~自身-1”的范围缩小至“2~自身的平方根”
#include "math.h"
main()
{int x,k,flag;
do scanf("%d",&x); while(x<=1);
flag=1; /*先假设x就是素数*/
for(k=2;k<=(int)sqrt(x);k++)
if(x%k==0){flag=0; break;}/*一旦不可能是素数,即置flag为0*/
if(flag==1) printf("%d is sushu\n",x);
else printf("%d is not sushu\n",x); }
例2、用筛选法求得100以内的所有素数。
算法为:(1)定义一维数组a,其初值为:2,3, (100)
(2)若a[k]不为0,则将该元素以后的所有a[k]的倍数的数组元素置为0;
(3)a中不为0的元素,均为素数。
#include
#include
main( )
{int k,j,a[101];
clrscr(); /*清屏函数*/
for(k=2;k<101;k++)a[k]=k;
for(k=2;kfor(j=k+1;j<101;j++)
if(a[k]!=0&&a[j]!=0)
if(a[j]%a[k]==0)a[j]=0;
for(k=2;k<101;k++) if(a[k]!=0)printf("%5d",a[k]);
}
9.数组元素的插入、删除
(1)数组元素的插入
此算法一般是在已经有序的数组中再插入一个数据,使数组中的数列依然有序。算法要领是:
假设待插数据为x,数组a中数据为升序序列。
①先将x与a数组当前最后一个元素进行比较,若比最后一个元素还大,就将x放入其后一个元
素中;否则进行以下步骤;
②先查找到待插位置。从数组a的第1个元素开始找到不比x小的第一个元素,设其下标为i ;
③将数组a中原最后一个元素至第i个元素依次一一后移一位,让出待插数据的位置,即下标为i
的位置;
④将x存放到a(i)中。
例题参见前面“‘排序’中插入法排序的例1”。
(2)数组元素的删除
此算法的要领是:首先要找到(也可能找不到)待删除元素在数组中的位置(即下标),然后将待删元素后的每一个元素向前移动一位,最后将数组元素的个数减1。
例1、数组a中有若干不同考试分数,任意读入一个分数,若与数组a中某一元素值相等,就将该元素删除。
#define N 6
main()
{int fs[N]={69,90,85,56,44,80},x; int i,j,n;
n=N;
scanf("%d",&x); /*任意读入一个分数值*/
/*以下查找待删分数的位置,即元素下标*/
for(i=0;iif(fs[i]==x)break;
if(i==n) printf("Not found!\n");
else /*将待删位置之后的所有元素一一前移*/
{for(j=i+1;jn=n-1; /*元素个数减1*/
}
for(i=0;i}
10.二维数组的其他典型问题
(1)方阵的特点
行列相等的矩阵又称方阵。其两条对角线中“\”方向的为主对角线,“/”方向的为副对角线。主对角线上各元素的下标特点为:行列值相等;副对角线上各元素的下标特点为:行列值之和都为阶数加1。
主对角线及其以下部分(行值大于列值)称为下三角。
例1、输出如下5阶方阵。
1 2 2 2 2
3 1 2 2 2
3 3 1 2 2
3 3 3 1 2
3 3 3 3 1
#define N 5
main()
{int a[N][N],i,j;
for(i=0;ifor(j=0;jif(i==j) a[i][j]=1;
else if(ielse a[i][j]=3;
for(i=0;i{for(j=0;jprintf("%3d",a[i][j]);
printf("\n");
}
}
例2、输出如下5阶方阵。
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
#define N 5
main()
{int a[N][N],i,j;
for(i=0;ifor(j=0;ja[i][j]=i+j+1; /*沿副对角线平行线方向考察每个元素,其值等于行列值之和+1*/
for(i=0;i{for(j=0;jprintf("%3d",a[i][j]);
printf("\n");}
}
(2)杨辉三角形
杨辉三角形的每一行是(x+y)n的展开式各项的系数。例如第一行是(x+y)0,其系数为1;第二行是(x+y)1,其系数为1,1;第三行是(x+y)2,其展开式为x2+2xy+y2,系数分别为1,2,1;……直观形式如下:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
分析以上形式,可以发现其规律:是n阶方阵的下三角,第一列和主对角线均为1,其余各元素是它的上一行、同一列元素与上一行、前一列元素之和。
例1、编程输出杨辉三角形的前10行。
#define N 10
main()
{int a[N][N],i,j;
for(i=0;ifor(i=2;ifor(j=1;j<=i-1;j++)
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
for(i=0;i{for(j=0;j<=i;j++)
printf("%4d",a[i][j]);
printf("\n");
}
}
例2、以等腰三角形的形状输出杨辉三角形的前5行。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
#define N 5
main()
{int a[N][N],i,j;
for(i=0;ia[i][0]=a[i][i]=1;
for(i=0;ifor(j=1;j
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
for(i=0;i{for(j=N-i;j>=0;j--)printf(" "); /*输出时每行前导空格递减*/ for(j=0;j<=i;j++)
printf("%4d",a[i][j]);
printf("\n");
}
}