高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题

习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明：

（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则

A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有

n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无

关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵????

??

?

?

?=n B λλλO

2

1

，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而

E a a a a B nn 112211

=????

??

?

?

?=O

，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与

假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值

s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明：

（1）s V V V +++Λ21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有

021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1

2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得

???

???

?=+++=+++=+++---000

1212111221121s s s s s s

s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为

)0,,0,0(11

1

),,,(11221

1

121ΛΛ

M M

M Λ

ΛΛ=????

??

?

?

?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵????

??

?

?

?=---11221

1111

1

s s s s s B λλλλλλΛ

M M

M Λ

Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有

)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。

这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得

s V V V +++Λ21是直和。

（2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。

又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得

s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

)(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，

所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，

s i ,,2,1Λ=，其中n d d d s =+++Λ21，进而得V

的基：

1

11211,,,d αααΛ,,,,,,2

22221ΛΛd αααs

sd s s ααα,,,21Λ。又知基向量中的每一个向

量都是σ的特征向量，故得σ有n 个线性无关的特征向量，所以σ可对角化。

习题设D 是n 阶对角阵，它的特征多项式为

s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=?Λ，

其中s λλλ,,,21Λ两两不同。设

}|)({DB BD F M B V n =∈=，

证明：V 是)(F M n 的子空间，且

22

221dim s c c c V +++=Λ。

证明：对V B A ∈?,，即DA AD =，DB BD =，F l k ∈?,，有

)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+，

所以V lB kA ∈+，即V 是)(F M n 的子空间。

设????

???

?

?=s c s c

c E E E D λλλO

2

1

21，则由习题知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵，即????

??

?

??=s B B B B O

2

1

，其中i B 为i c 阶方阵，s i ,,2,1Λ=。进而对V B B B B s ∈????

??

?

?

?=?O

2

1，都可由i 行，j 列元素为1，其余元素全为零的n 阶方阵

ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211Λc c j i c +≤≤+),1)(111∑∑=-=≤≤+s

k k s k k c j i c 线性表示。显然

ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211Λc c j i c +≤≤+),1)(1

1

1

∑∑=-=≤≤+s

k k s k k c j i c 线性无关，构成V

的一组基，所以22

2

21dim s c c c V +++=Λ。 习题设A 为准对角阵，

??????

?

?

?=s A A A A O

2

1

， 其中i A 是i n 阶矩阵，它的最小多项式是)(λi m 。证明：

)](,),(),([)(21λλλλs A m m m m Λ=。

（即A 的最小多项式是s A A A ,,,21Λ的最小多项式的最低公倍式。） 证明：令)(,),(),(21λλλs m m m Λ为对角线上诸块s A A A ,,,21Λ的最小多项式，且)](,),(),([)(21λλλλs m m m h Λ=。因)(λA m 为A 的最小多项式，则由

0)(=A m A 可得0)(=i A A m ，s i ,,2,1Λ=。又因i A 的最小多项式整除任何以i A 为根的多项式，所以)(|)(λλA i m m ，s i ,,2,1Λ=。从而)(|)(λλA m h 。

又由于)(|)(λλh m i ，s i ,,2,1Λ=。而0)(=i i A m ，故0)(=i A h 。从而

0)()

()(1=???

?

? ?

?=s A h A h A h O

。 于是又有)(|)(λλh m A 。又因它们的首项系数都是1，故

)](,),(),([)()(21λλλλλs A m m m h m Λ==。

习题求下列矩阵的最小多项式，并判断它是否可对角化：

（1）n n A ????????

??=111111111ΛM

M

M Λ

Λ； （2）??

?

?

?

?

?

??=010*********

1010A 。

解：（1）矩阵A 的特征多项式为

)(1

1

1

1

11

1

11

||1n A E n -=---------=

--λλλλλλΛM

M M Λ

Λ

。 由命题知，矩阵A 的最小多项式为)(n e -λλ，其中11-≤≤n e 。经计算

得=-)(nE A A ???????

?

?111111111ΛM M

M Λ

Λ???????

??---n n n 111

111111ΛM M M ΛΛ??????

?

??=000

000

000

Λ

M M M ΛΛ。 故矩阵A 的最小多项式为)(n -λλ，且无重根，所以A 可对角化。

（2）矩阵A 的特征多项式为

)2)(2(1

1

1

100

111

1

||2+-=--------=-λλλλ

λλλ

λA E 。

由命题知，矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλe ，其中21≤≤e 。 经计算得

=+-)2)(2(E A E A A ??

?

??

??

?

?010*********

1010??????

? ??----210112*********

2??

??

?

?

?

?

?2101121001211012

??????

?

?

?=000000000Λ

M M M ΛΛ。 故矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλ，且无重根，所以A 可对角化。

习题如果n 阶方阵A 满足E A A 22=+，问A 可对角化吗

答：A 可对角化。事实上，由E A A 22=+可得022=-+E A A ，即得

A 的零化多项式2)(2-+=λλλf ，而A 的最小多项式可整除A 的零化多

项式，故A 的最小多项式只可能为1-λ，2+λ或

)2)(1(2)(2+-=-+=λλλλλf ，无论哪一种，A 的最小多项式都无重根，

故A 可对角化。

习题证明：

（1）A 是幂零阵的充要条件为A 的特征值全为零；

（2）n 阶方阵A ，如果存在正整数k k (可能)n >，使0=k A ，则必有0=n A 。

证明：（1）)(?因为A 是幂零阵，所以存在正整数m ，使得0=m A 。由此可得A 的零化多项式为m f λλ=)(，由命题知，A 的最小多项式

)(λA m 是m f λλ=)(的因式，故有k A m λλ=)(，其中m k ≤≤1。又因A 的每

一个特征值都是最小多项式的根，而k A m λλ=)(只有零根，所以A 的特征值全为零。

)(?反证法。设n 阶方阵A 不是幂零阵，即对任意正整数m ，都有0≠m A 。当然也有0≠n A 。现有A 的零化多项式，即特征多项式为

s c s c c A A E )()()(||)(2121λλλλλλλλ---=-=?Λ，

其中n c c c s =+++Λ21，s λλλ,,,21Λ为A 的所有不同的特征值。显然，

s λλλ,,,21Λ不能全为零 。否则0)(≠=?n A A A ，与)(λA ?是A 的零化多项

式矛盾。另一方面，s λλλ,,,21Λ不全为零又与题给条件矛盾。故命题得证。

（2）当n k ≤时，由0=k A 可得：00===--k n k n k n A A A A 。

当n k >时，由0=k A 可得A 的一个零化多项式k f λλ=)(。所以A 的最小多项式l A m λλ=)(，其中k l ≤≤1。又由于A 的零化多项式之一，即特征多项式||)(A E A -=?λλ是n 次多项式。所以A 的最小多项式的次数n l ≤，且有0)(==l A A A m ，故有00===--l n l n l n A A A A 。

习题设A 为n 阶方阵，多项式158)(2+-=λλλf ，34)(2+-=λλλg ，使0)(=A f ，0)(=A g 。求A 的最小多项式。

解：设)()()(λλλg f h -=，即得

-+-=158)(2λλλh 124)34(2+-=+-λλλ。

因为0)(=A f ，0)(=A g ，所以有0)()()(=-=A g A f A h ，即)(λh 为A 的零化多项式。又知A 的最小多项式是其零化多项式的因式，故得A 的最小多项式为 3)(-=λλA m 。

习题设)(F M n 是数域F 上n 阶方阵全体所组成的线性空间。τ是

)(F M n 上的线性变换：T A A =)(τ。证明：

（1）τ的特征值只可能是1，1-； （2）τ可否对角化为什么

证明：（1）设τ的特征值为λ，τ的属于λ的特征向量为A ，即有

A A λτ=)(，进而有A A 22)(λτ=；再由题给条件有T A A =)(τ，进而有A A A A T T T ===)()()(2ττ，所以有A A =2λ，而A 为特征向量，是非零的，

定有12=λ，所以τ的特征值只可能是1，1-。

（2）答：τ可对角化。因为取)(F M n 的一组基：2

,,,21n E E E Λ，设

τ在此基下的矩阵为M ，则有=),,,(2

21n E E E ΛτM E E E n ),,,(2

21Λ，进而有

=),,,(2

212n E E E Λτ221),,,(2

M E E E n Λ，又由题给条件有

=),,,(2

212n E E E Λτ),,,(2

21n E E E Λ，

可得221),,,(2

M E E E n Λ),,,(2

21n E E E Λ=，所以有E M =2，由此可得M 的零

化多项式为)1)(1(1)(2+-=-=λλλλf ，而M 的最小多项式)(λM m 又是)(λf 的因式，

所以一定无重根，所以M 可对角化，进而τ可以对角化。 习题设A 是n 阶复矩阵，对某个正整数k ，有E A k =。证明A 可对角化。

证明：因为对某个正整数k ，有E A k =，所以可得A 的零化多项式为1)(-=k f λλ。现令k

l i k l l π

πε2sin

2cos

+=，1,,1,0-=k l Λ。则有 )())(1(1)(11----=-=k k f ελελλλλΛ。

而A 的最小多项式)(λA m 又是)(λf 的因式，所以一定无重根，故A 可以对角化。

习题

习题设线性变换σ在2

R 的标准基21,e e 下的矩阵为???? ??=2012A ，

又设W 是2R 中由???

?

??=011e 所生成的1维子空间，证明：

（1）W 是2R 的σ-不变子空间；

（2）不存在另一个σ-不变子空间W '，使W W R '⊕=2； （3）总可以找到另一个子空间W ''，使W W R ''⊕=2。

证明：（1）由题意知，???

?

??==2012),(),(),(212121e e A e e e e σ，

即112)(e e =σ，所以对W ∈?α，有1ke =α，进而有

W e k e k e k ke ∈====1111)2()2()()()(σσασ，

故W 是2R 的σ-不变子空间。

（2）假设存在另一个σ-不变子空间W '，使W W R '⊕=2，且2dim 2=R ，1dim =W ，

则有1dim ='W 。分别取W 与W '的基，α，α'，它们构成2R 的基。又因W 与W '都是σ-不变子空间，即W k ∈=αασ)(，W k '∈''='αασ)(，所以σ在2R 的基α，α'下的矩阵B 为对角阵，且有A 与B 相似，而A 不可能与对角阵相似，出现矛盾，故命题得证。

（3）设W ''是2

R 中由???

? ??=102e 所生成的1维子空间，则有W W R ''⊕=2。

习题用归纳法证明：

（1）任一复方阵A 必相似于一个上三角阵，且该上三角阵之对角线元素就是A 的全部特征值；

（2）设A 是实方阵，则存在实可逆阵P ，使AP P 1-为上三角阵的充要条件是A 的特征值全部为实数。

证明：（1）对方阵的阶数作数学归纳。

当1=n 时，结论当然成立。假定对1-n 阶结论成立，证明对n 阶成立。

设A 为任一n 阶复方阵，则A 必有特征值1λ及对应的特征向量1β，现将1β扩充为n C 的一组基n βββ,,,21Λ，则有111βλβ=A ，

n ni i i i b b b A ββββ+++=Λ2211，其中n i ,,2Λ=。故存在可逆方阵

=1Q ),,,(21n βββΛ，使得

????

??

?

??=-nn n n n b b b b b b AQ Q ΛM M M Λ

Λ

2222112111100λ，

于是???

?

?

??=nn n n b b

b b B ΛM M

Λ2222是1-n 阶复方阵，故由归纳法，存在1-n 阶可逆阵2Q ，使得 ??????

?

?

?=-n BQ Q λλλ0*3

2

212O

。 从而存在可逆方阵????

?

?=21001Q Q Q ，使得 ????

???????

?

?

?

????? ??=???? ?????? ??=----2222211211221111

2100100001001001Q b b b b b b Q Q AQ Q Q AQ Q nn n n n ΛM M M ΛΛ

λ

??????

?

?

?=???? ?

?=-n BQ Q λλλλ0*002121

21

O 。 从而命题得证。

（2）（?）设存在实可逆阵P ，使得AP P 1

-????

??

?

?

?=n λλλ0*21

O

，其中n λλλ,,,21Λ为A 的全部特征值。将上式两边取共轭得????

??

?

??==--n P A P AP P λλλ0*21

11O ，又因A 与P 都是实矩阵，所以有 ???????

?

?n λλλ0*21O ????

??

?

??=n λλλ0

*21

O ，即有i i λλ=，n i ,,2,1Λ=，故A 的特征值全部为实数。

（?）对实方阵的阶数作数学归纳。

当1=n 时，结论当然成立。假定对1-n 阶结论成立，证明对n 阶成立。

设A 为n 阶实方阵，且A 的特征值全部为实数。现取A 的一个实特征值1λ及对应的特征向量1β，并将1β扩充为n R 的一组基n βββ,,,21Λ，则有111βλβ=A ，n ni i i i b b b A ββββ+++=Λ2211，其中n i ,,2Λ=。故存在实可逆方阵=1Q ),,,(21n βββΛ，使得

????

??

?

?

?=-nn n n n b b b b b b AQ Q ΛM M M ΛΛ2222112111

100λ， 于是???

?

?

??=nn n n b b

b b B Λ

M M

Λ

2222是1-n 阶实方阵，其特征多项式是A 的特征多项式的因式，所以特征值都是实数。故由归纳法，存在1-n 阶实可逆阵

2Q ，使得 ??????

?

?

?=-n BQ Q λλλ0*3

2

21

2O

。 从而存在实可逆方阵?

??

?

??=21001Q Q Q ，使得 ????

???????

?

?

?

????? ??=???? ?????? ??=----2222211211221111

21

00100001001001Q b b b b b b Q Q AQ Q Q AQ Q nn n n n ΛM M M ΛΛλ

??????

?

?

?=???? ?

?=-n BQ Q λλλλ0*00212121

O 。 从而命题得证。

习题如果W 是V 的1维子空间，σ是V 的线性变换，则W 是σ-子

空间的充要条件是W 中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量。

证明：设α为W 的一组基，即W ∈?β，都有αβk =。

（?）设W 是σ-子空间，有W ∈)(ασ，即有W ∈=λαασ)(。对

W ∈?β，且0≠β，有λβαλλαασβσ====)()()()(k k k ，故得W 中任一

非零向量都是属于同一特征值的特征向量。

（?）已知W 中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量。不妨设W ∈?β，且0≠β，有λββσ=)(，显然有W ∈=λββσ)(，故W 是

σ-子空间。

习题设V 是复数域上n 维线性空间，1σ，2σ是V 的线性变换，且

1221σσσσ=。证明：

（1）如果0λ是1σ的特征值，则0λ的特征子空间0

λV 也是2σ的不变

子空间；

（2）1σ，2σ至少有一个公共特征向量；

（3）如果1σ有n 个不同的特征值，则V 内必存在一个基，使1σ，

2σ在这个基下的矩阵同时为对角阵。

证明：（1）对0

λαV ∈?，有αλασ01)(=，则

=))((21ασσ=))((21ασσ=))((12ασσ=))((12ασσ=))((12αλσ))((21ασλ，

即得0

)(2λασV ∈，故0

λV 也是2σ的不变子空间。

（2）由（1）有0

λV 是2σ的不变子空间。若记020

σσλ=V ，则0σ在

复数域上必有特征值μ，并存在0≠α，且0

λαV ∈，使得μαασ=)(0，因

而μαασασ==)()(02，又因αλασ01)(=，所以α是1σ与2σ的公共特征向

量。

（3）设1σ的n 个不同的特征值为n λλλ,,,21Λ，分别取属于不同特征值的特征向量为n ααα,,,21Λ，即i i i αλασ=)(1，n i ,,2,1Λ=。它们构成线

性空间V 的一个基，且1σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为??????

?

?

?n λλλO

2

1。又由（1）知，1σ的特征值i λ的特征子空间i

V λ也是2σ的不变子空间，且i

V λ),,2,1(n i Λ=都是一维子空间，则对基n ααα,,,21Λ，必有i i i k αασ=)(2，

n i ,,2,1Λ=，所以2σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为??????

?

??n k k k O

21

。 习题 V 的非平凡线性变换τ满足ττ=2，则称τ为V 的投影线性变换。证明：

（1）ττεKer V =-))((，ττKer V V +=)(；

（2）如果σ是V 的线性变换，21,W W 是V 的σ不变子空间，且

21W W V ⊕=。对任意V w w v ∈+=21，其中)2,1(=∈i W w i i ，定义

)2,1()(==i w v i i τ，则21,ττ都是V 的投影线性变换，且与σ可交换。

证明：（1）证明ττεKer V =-))((。 由于ττ=2，则对任意)(ατα-，有

=-))((ατατ0)()(2=-ατατ，即ταταKer ∈-)(。

又若ταKer ∈?，即0)(=ατ，显然))((}|)({)(V V τεαατααταα-=∈-∈-=，因此ττεKer V =-))((。

再证：ττKer V V +=)(。显然有ττKer V V +?)(。

任取V ∈α，则有))(()(ατεατα-+=，显然)()(V τατ∈，且

=-=-))(()])([(ατατατετ0)()(2=-ατατ，即τατεKer ∈-))((。

所以ττKer V V +?)(，故ττKer V V +=)(。

（2）由题意，对任意V w w v i i i ∈+=21，其中)2,1;2,1(==∈i j W w j ij ；对任意数F l k ∈,，有)2,1()()()(212121=+=+=+i v l v k lw kw lv kv i i i i i τττ，所以i τ是线性变换。

又对任意V w w v ∈+=21，其中)2,1(=∈i W w i i ，有i i w v =)(τ，且有

)2,1()()(2===i w w v i i i i ττ，得)2,1(2==i i i ττ。又)())(()(i i i w v v στσστ==）（，

且)())()(())(()(21i i i i w w w v v σσστστστ=+==）（，这是因为)2,1(=∈i W w i i ）

（σ，得i i στστ=，2,1=i 。故得21,ττ都是V 的投影线性变换，且与σ可交换。

习题设λ是n 阶矩阵A 的特征值，E A N λ-=。如果向量α适合

0=αk N ，但01≠-k N ，则称α为属于特征值λ的权k 的根向量，特征向

量就是权为1的根向量。再令 }0)(|{=∈=ααk n k N F H ，

（1）证明k H 是n F 的子空间，且1-?i i H H ，Λ,2,1=i ；

（2）如果存在正整数t 使1+=t t H H ，证明对任意正整数t m ≥，有

t m H H =；

（3）如果存在可逆阵),,,(21n P αααΛ=，使

??????

?

?

?=-λλλ

11

1O

O

AP P 。 证明),,2,1(n i i Λ=α是A 的属于特征值λ的权i 的根向量。

证明：（1）对k H ∈?βα,，F l k ∈?,，有0)(=αk N ，0)(=βk N ，进而有0)()()(=+=+βαβαk k k lN kN l k N ，即k H l k ∈+βα，故k H 是n F 的子空

间。又对1-∈?i H α，有0)(1=-αi N ，显然有0)0())(()(1===-N N N N i i αα，所以得i H ∈α，Λ,2,1=i ，故有1-?i i H H ，Λ,2,1=i 。

（2）已知存在正整数t 使1+=t t H H ，即由0)(1=+αt N ，可得0)(=αt N ，因此对任意正整数t m ≥，显然当t m =及1+=t m 时，命题成立。假设p t m +=是成立，

其中p 为大于零的整数。现证1++=p t m 时命题成立。 对1++∈?p t H α，有0)(1=++αp t N ，进而有0))(()(11==+++ααp t p t N N N ，由条件可得=+))((1αp t N N 0))((=αp t N N ，即得0)(=+αp t N ，由假设得

0)(=αt N ，所以t H ∈α。故对任意正整数t m ≥，有t m H H =。

（3）由题意的????

??

?

?

?=λλλ

11

O

O

P AP ，即 ????

??

?

?

?=λλλαααααα11

),,,(),,,(2121O

O ΛΛn n A ，其中n ααα,,,21Λ皆为非零向量。展开有0)(1=-αλE A ，12)(ααλ=-E A ，…，1)(-=-n n E A ααλ，进而有0)(==-i i i i N E A ααλ，故由定义得),,2,1(n i i Λ=α是A 的属于特征值λ的权i 的根向量。

补充题

习题设4321,,,e e e e 是4维线性空间V 的一个基，已知线性变换σ在这个基下的矩阵为

???

?

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01。 （1）在σ的核中选一个基，把它扩充为V 的一个基，并求σ在这

个基下的矩阵；

（2）在σ的像中选一个基，把它扩充为V 的一个基，并求σ在这个基下的矩阵。

习题如果s σσσ,,,21Λ是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中一定存在向量α，使得)(,),(),(21ασασασs Λ也两两不同。

习题设σ是有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，

)(W σ是σ在W 中的像空间，证明：W W Ker W dim )dim()(dim =+I σσ。

习题设121σσ=，222σσ=。证明： （1）1σ与2σ有相同的像的充要条件是

221σσσ=，112σσσ=；

（2）1σ与2σ有相同的核的充要条件是

121σσσ=，212σσσ=。

习题 n 维线性空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征值，证明：

V 中恰有n 2个σ-子空间。

习题复数域上n 维线性空间V 的线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为一个若尔当块，证明：

（1）V 中含1α的σ-子空间只有V 自身； （2）V 中任一σ-子空间都含n α；

（3）V 不能分解成两个非平凡的σ-子空间的直和。

习题设B A ,为n 阶复矩阵，)(λA ?是A 的特征多项式。证明：如果

B A ,无公共特征值，则)(B A ?是可逆阵。

习题设A 是n 阶矩阵，)(λ?是λ的非常数多项式。证明： （1）如果)(|)(λλ?A m ，则)(A ?是奇异阵；

（2）如果)(λ?与)(λA m 的最高公因式为)(λd ，则)(A ?与)(A d 有相等的秩；

（3）)(A ?为满秩阵的充要条件是)(λ?与)(λA m 互素。

解析几何经典例题

解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或

线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。

高等代数与解析几何之间的联系

高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体

解析几何经典例题

解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，

。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。

高等代数与解析几何教学大纲

附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求

精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）

高等代数与解析几何同济答案

高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o

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高等代数与解析几何

高等代数与解析几何（上） 一、选择题（每题3分，共5题，共15分。） 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7 -垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。（ ） 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题（每题3分，共7题，共21分。） 1、已知1b a == ， 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(，D A =，则 当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

《高等代数与解析几何》

《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １

解析几何大题带规范标准答案

三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线

. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

高等代数与解析几何教材特色与比较

1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的 三大基础课程，南开大学数学系孟道骥 出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日) 丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材 平装: 480页https://www.wendangku.net/doc/6a9841596.html,/jpkc/gdds/ 第二版在以下几个方面作了修改。 为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。 在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它，发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。 第一章向量代数 本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量，如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念，但是在空间中建立了坐标系后，向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标（数组）间的代数问题，为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之，取定了原点和坐标系后，一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数（或公式）与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”，抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起，既是为了给几何问题提供代数工具，也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上，为以后的代数化作准备。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册，第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包括用行列式解线性方程组的Craner法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。 个人认为这套教材总体还算不错（虽然系里大多数人都认为很烂），内容、观点还是比较新颖的，不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方）在于有些比较重要的定理写的过于简略，进展太过

数学 解析几何 经典例题 附带答案

数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355

解析几何(经典题型)

高中数学解析几何公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 2、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 4、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 5、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系

高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题7.4 习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ? ? ? ??=n B λλλ 21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而 E a a a a B nn 112211=???? ? ? ? ??= ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：

（1）s V V V +++ 21是直和； （2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有 021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。 现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得 ?????? ?=+++=+++=+++---0 00 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(111),,,(11221 1121 =? ? ?? ??? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵? ??? ??? ? ?=---11221 11111s s s s s B λλλλλλ 的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。 这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++ 21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有

高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，

高等代数与解析几何复习题

高等代数与解析几何复习题 第一章 矩阵 一、 填空题 1.矩阵 A 与 B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。 2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ??==又()ij m n AB c ?=，问ij c = 。 3.设 A 与 B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= , ()()A B A B +-= 。 4.设矩阵1234A ?? = ??? ,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和） 5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T Y =-,201013122A -?? ?= ? ?-?? ,计算XAY = 。 6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α β==，则αβ= ，βα= 。 7.设矩阵2003A ??= ??? ，则100 A = 。 8.设矩阵200012035A ?? ?= ? ??? ，则1 A -= 。 9.设准对角矩阵1 200A A A ?? = ??? ,()f x 是多项式，则()f A = 。 10.设矩阵123456789A ?? ? = ? ??? ，则A 的秩()R A = 。 11.设* A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。 12.设* A 是矩阵 A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A == 13.矩阵123235471A ?? ?=- ? ??? 的秩为__________，A 的伴随矩阵* A = 。 14.设 A 是3阶可逆方阵， B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。