二次函数的性质讲义

复习

集合的概念，集合的特点，区间的表示

定义域，值域，映射

初中知识回顾

〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

〖大纲要求〗

1． 理解二次函数的概念；

2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会

用描点法画二次函数的图象；

3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解

特殊与一般相互联系和转化的思想；

4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；

5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点

坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 增加内容：一定区间上的最值问题，根的分布

主要思想：分类讨论

二次函数的最值问题

二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．

由上述例题可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【例2】当1t x t ≤≤+时，求函数21522

y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数21522

y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =

--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时：

当1x =时，2min 1511322

y =

?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +

当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．

综上所述：2213,0

23,0115,12

2t t y t t t t ?-?

二次函数根的分布

1. 求二次函数的根，就是解)(x f =0，常用的方法有因式分解，或者直接利用求根公式。首先考虑因式分解。

[例1]求下列函数的零点

（1） f(x)=-x2-2x+3（2）f(x)=x2-x-4

解析：（1）令f(x)=-(x+3)(x-1)=0，因此f(x)=0的根是-3，1，故f(x)的零点为-3，1。

（2）利用一元二次方程的求根公式,得f(x)=0的根，

『点评』：所对应方程的解与函数的零点的关系是解决本题的桥梁,对于一个二次函数，可通过分解因式或用求根公式求得方程的根.

【典例分析】判别式法

例2函数f(x)= x2-x-6是否有零点？

解析：因为 =(-1)2-4(-6)=25>0，所以方程x2-x-6=0有两个不相等的实数根。所以f(x)有两个零点。

2.二次函数)(x f 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(

在区间()n m ,上，必存在0)(=x f 的唯一的实数根.

【例2】 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .

（1）如果4221<<x ；

（2）如果21

分析：条件4221<<

解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .

（1）由0>a 及4221<<<0

)4(0)2(g g ，即???>-+<-+034160124b a b a ，即

???

????<+?--<-?+,043224,043233a a b a a b

两式相加得

12

b ，所以，10->x ; （2）由a

a b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又0121>=a x x ，所以21,x x 同号. ∴ 21

)1(1202212b a x x ,

即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???

????+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g

解之得 41

7>b . 【例3】F(x)=ax^2-6x+1在（1，2）上有两不等实根，求a 取值范围

分析：由方程有两不等实根，可知△>0，由于a 的正负未知，抛物线开口方向未知，需要分类讨论。

解：由△>0,解得a<9。

若a>0，结合图形，得 F(1)>0

F(2)>0

解得a ∈（5,9）

若a<0，结合图形，得 F(1)<0

F(2)<0

解得 a ∈（—∞，0）

综上所述，a ∈（—∞，0）∪（5,9）

思考：若是在[1,2]上有两不等实根，条件应该如何改变？

[例4]已知

期末复习二次函数~~性质讲义

期末二次函数复习讲义 班级___________姓名__________ 【课前复习】： 1.二次函数基本性质： 函数 示意图（顶点、对称轴） 对称轴 最值 y 值随x 值的变化关系 y=2x 2 2.根据图像回答下列问题： （1）抛物线的对称轴是____________________________; （2）抛物线与x 轴的交点坐标是______________________, 则一元二次方程02=++c bx ax 的根是_______________， 则一元二次方程02 c bx ax ++的解集是_______________， （3）若A(-1.5,2)则关于对称轴的对称点坐标为_______, 当55.1 x ≤-时，函数y 值的范围是_________________; 当03≤≤-y 时，则x 的范围是______________________. （4）图像上两点坐标为（-2，y 1）、（1，y 2），则y 1、y 2的大小关系是_______; （5）试求c bx ax y ++=2 的函数关系式，并说明该函数图象与2 ax y =图象的关系。 （6）将该函数图像沿y 轴翻折后的函数关系式为_______________,沿x 轴翻折后的函数关系式为________. 1 )2(2 1 2---=x y 1 422+-=x x y 1 32--=x y

3.用描点法画出122 12 -+= x x y 的图像. ⑴用两种法求顶点坐标： ⑵列表：顶点坐标填在 x … … … ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点； (5)函数122 12 -+=x x y 的图象与221x y =的图像有何关系？ 4.二次函数的图象与性质具体如下图所示：（铅笔填写） 【典型例题】： 1.已知3)1(2--=-k k x k y 是二次函数. ⑴当0

二次函数图象性质及应用(讲义及答案)

二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列 问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向； 当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推 导．判断下面函数图象的a，b，c 符号： （1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．

1

?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等， 则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用， 借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值 如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大， 则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根 据四点一线来确定大致图 象．四点：二次函数顶点，二 次函数与y 轴的一个交点，二 次函数与x 轴的两个交点． 一线：二次函数对称轴．

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：

2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

专题四_二次函数的图像与性质

专题四 二次函数的图像与性质（一） 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a - 时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1） 考点二 抛物线的平移 例2 将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( ) A ．y ＝3(x ＋2)2＋3 B ．y ＝3(x －2)2＋3 C ．y ＝3(x ＋2)2－3 D ．y ＝3(x －2)2－3 考点三 同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题 例3 在同一坐标系中°一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是

【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)

二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x

求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ

二次函数性质一览表

二次函数性质一览表 表达式 (a ≠0) a 值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 最值 举 例 # ①y=ax 2 a ＞0 向上 y 轴 （0，0） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=0 y=4 3 x 2 $ y=3x 2 a ＜0 向下 y 轴 （0，0） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=0 ： y=-5x 2 y=3 1 - x 2 ②y=ax 2+k a ＞0 向上 y 轴 （0，k ） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 & 当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=k y=4x 2+5 y=3x 2-1 a ＜0 向下 y 轴 （0，k ） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 … ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=k y=-2x 2+3 y=-3x 2-2 ③y=a(x-h)2 a ＞0 向上 直线 x=h （h ，0） . ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=0 y=2(x-3)2 y=21(x+2)2 a ＜0 向下 直线 x=h — （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2 ④y=a(x-h)2+k a ＞0 向上 ? 直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0 — 向下 直线 x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2+bx+c 可化为： # y=a(x+)2a b 2 + a b a c 442- a ＞0 向上 直线 x=-a b 2 （-a b 2，a b a c 442 -） ①当x ＞- a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-a b 2时，y 有最小值，即y 最小值 = a b a c 442- y=2x 2+3x+4 （ y=3x 2-3x+4 y=4x 2-3x-4 y=5x 2+3x-4

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

二次函数讲义

第1页共12页 二次函数 【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点 ①对称轴：x ＝－ b 2a ；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、

二次函数的性质

20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0

3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0

3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0

二次函数专题复习(讲义)(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数专题复习 专题一：二次函数的图象与性质 本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现. 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2 44ac b a -）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值； （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第 一、三、四象限 考点3、二次函数的平移 当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0 ）的图 图1

象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习1 1.对于抛物线y=13 -x 2+103 x 163 -，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 专题复习二：二次函数表达式的确定 本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主. 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1、如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与 图2 A B C D 图1 菜园 墙

【浙教版初中数学】《二次函数的性质》综合练习

1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1

8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2

C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1

二次函数的表达式、图象、性质及计算(讲义和习题)含答案

二次函数的表达式、图象、性质及计算（讲义） ?课前预习 参考前面学习一次函数、反比例函数过程中画图的方式，尝试列表、描点、连线，画出下列函数对应的图象： 观察你所画的函数图象，想一想： ①图象是什么形状？与反比例函数、一次函数图象一样吗？②图象是轴对称图形吗？如果是，对 称轴分别是什么？ ③随着x值的变化，y的值怎么变化？

? 知识点睛 1. 一般地，形如 __________________（_______________）的函数叫做二次函数． 2. 表达式、图象及性质： ① 一 般 式 ___________________ 通 过 _____________可推导出顶点式_____________． ②二次函数的图象是_________ ， 是 ________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a _________时，函数有最_____值，是____________；当a _________时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a _____时，图象以对称轴为界，当x ______时，y 随x 的增大而_______，当x ______时，y 随x 的增大而__________． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系 a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当 口 向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a _____________，根据_____________可推导． 3. 二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：____________、_____________．平移口诀主要针对二次函数_________________． ? 精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32y x =-+；④220x y -+=；⑤2y x =-；⑥215s t t =++； ⑦231 252y x x =-+；⑧222y x =+． 2. 若函数2 7 (3)a y a x -=-为二次函数，则a =（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 二次函数22y kx x =++ ）

二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)

二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ?????????? ? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ??? ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

二次函数性质一览表

二次函数性质一览表 表达式(a≠0) a值图像 开 口 方 向 对称 轴 顶点 坐标增减性最值举例 ① y=ax2a＞0 向 上 y轴 （0， 0） ①当x＞0 时，y随x的 增大而增大 ②当x＜0 时，y随x的 增大而减小 当x=0 时，y 有最小 值，即 y最小值=0 y= 4 3x2 y=3x2 a＜0 向 下 y轴 （0， 0） ①当x＞0 时，y随x的 增大而减小 ②当x＜0 时，y随x的 增大而增大 当x=0 时，y 有最大 值，即 y最大值=0 y=-5x2 y= 3 1 x2 ② y=ax2+ k a＞0 向 上 y轴 （0， k） ①当x＞0 时，y随x的 增大而增大 ②当x＜0 时，y随x的 增大而减小 当x=0 时，y 有最小 值，即 y最小值=k y=4x2+5 y=3x2-1 a＜0 向 下 y轴 （0， k） ①当x＞0 时，y随x的 增大而减小 ②当x＜0 时，y随x的 增大而增大 当x=0 时，y 有最大 值，即 y最大值=k y=-2x2+3 y=-3x2-2 ③ y=a(x-h)2a＞0 向 上 直线 x=h （h， 0） ①当x＞h 时，y随x的 增大而增大 ②当x＜0 时，y随x的 增大而减小 当x=h 时，y 有最小 值，即 y最小值=0 y=2(x-3 )2 y= 2 1(x+2 )2

a ＜0 向下 直线x=h （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大 值，即 y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2 ④y=a(x-h)2+k a ＞0 向上 直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小 值，即 y 最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0 向下 直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大 值，即 y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2+bx+c 可化为： y=a(x+ ) 2a b 2+a b a c 442 - a ＞0 向上 直线x=-a b 2 （-a b 2， a b ac 442 -） ①当x ＞-a b 2时， y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-a b 2时，y 有最小值，即y 最小值=a b a c 442 - y=2x 2+3x +4 y=3x 2-3x +4 y=4x 2-3x -4 y=5x 2+3x -4