十二章习题解答

第十二章习题解答

习题 12-1

1．指出下列微分方程的阶数：

（1）();022

=+'-'x y y y x （2）();0322

=+''-'x y x y x

（3）;0223='''-''+'-y y x y x x （4）();0)2(2

=+--dy x y dx y x x

（5）;022=++C

Q

dt dQ R

dt Q d L （6）.sin 2θρθρ=+d d 解1、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）2；（6）1。

2.指出下列各题中所给的函数是否为所给微分方程的解：

（1）25,2x y y y x =='；

（2）x x y y y cos 4sin 3,

0-==+''；

（3）()x x e C e C y y y y 21212121,0λλλλλλ+==+'+-''；

（4）C y xy x y x y y x =+--='-22,

2)2(；

（5）).ln(,

02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''-

解：（1）因为2

1010,y x xy x ''=?=故2

5y x =是2xy y '=的特解； （2）因为3cos 4sin ,

3sin 4sin y x x y x x '''=+=-+，

所以3sin 4cos y x x =-是0y y ''+=的一个解；

（3）因为 1

212

22

112

2

1

1

22,

x

x

x

x y C e C e y C e C e

λλλλλλλλ'''=+=+

所以 ()12120.y y y λλλλ'''-++= 即

1212x x y C e C e λλ=+是()12120y y y λλλλ'''-++=的通解；

（4）由22

x xy y C -+=知2220,2x y

x y xy yy y x y

-'''--+=∴=

-

从而(2)2,x y y x y '-=-22x xy y C -+=是(2)2x y y x y '-=-的通解；

（5）由1

(),,y

y y xy y xy

xy x

'''=

+=

-又由xyy y xy ''=+得

22yy xy xyy y xy '''''''++=+， 故2()20.xy x y xy yy y '''''-++-=

即ln()y xy =是2()20xy x y xy yy y '''''-++-=的一个解。

3.验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程 02

22=+x k dt

x d 的解. 并求满足初始条件0,

|0

0====t t dt dx

A x 的特解. 解：由kt C kt C x sin cos 21+= 得

221212sin cos ,cos sin .x C k kt C k kt x C k kt C k kt '''=-+=--

所以02

22=+x k dt x d 。由0,|0

0====t t dt dx A x 得12,0C A C ==，

故所求的特解为cos .x A kt =

4.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点()y x P ,处的斜率等于该点横坐标的平方；

（2）曲线在点()y x P ,处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分； （3）某种气体的气压P 对于温度的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。 解：（1）2

x y ='；

（2）曲线在点()y x P ,处的法线方程为()1

Y y X x y -=-

-'

，其与x 轴的交点为Q 坐标为(,0)x yy '+，由线段PQ 被y 轴平分知;02=+'x y y （3）

k T

P

k dT dP ,2=为比例常数。

习题 12-2

1.求下列微分方程的通解：

（1）dx y dy x 2211-=-； （2）()()

0=++-++dy e e dx e e y y x x y

x ；

（3）0cos sin sin cos =+ydy x ydx x ； （4）(

)

.042

=-+dy x x ydx

解 （1） 方程是可分离变量的，分离变量后得

=

两边积分得

=， 从而

便得到方程的通解为arcsin arcsin .y x C =+

（2）方程是可分离变量的，分离变量后得

011x y x

y e dx e dx

e e +=++ 两边积分得 ()(1)11l n 11

x y

x y d e d e C e e +++=++??， 从而便得到方程的通解为()()

;11C e e y x =-+ （3）方程是可分离变量的，分离变量后得

c o s c o s 0s i n s i n x

d x y d y x y += 两边积分得 1s i n s i n l n s i n s i n

d y

d x C x y +=??， 从而便得到方程的通解为;sin sin C x y = （4）方程是可分离变量的，分离变量后得

204d x d y x x y +=- 两边积分得 111ln 44dy dx C x x y ??

-+= ?-??

??， 从而便得到方程的通解为().44Cx y x =-

2. 求下列微分方程满足初始条件的特解： （1）0,0

2=='=-x y

x y

e

y ； （2）.4

,0sin )1(cos 0π==++=-x x

y ydy e ydx 解：（1）方程是可分离变量的，分离变量后得 2y

x

e dy e dx =

两边积分便得到方程的通解为 212

y

x

e e C =

+， 代入初值得 12

C =

，故所求特解为211.22y

x e e =+；

（2）方程是可分离变量的，分离变量后得

s i n 01c o s

x x e d x y d y e y +=+ 两边积分得

()1c o s ln 1

cos x x d e d y

C e y

+-=+??

， 从而

便得到方程的通解为()

1sec .x

e y C +=

代入初值得

C = 故所求特解为()

.22sec 1=+y e x

3. 求下列微分方程的通解：

（1）22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=; (2) 2(4)0ydx x x dy +-=；

(3) ()

22

0x y dx xydy +-=; (4) ()ln ln ;xdy y y x dx =-

解：（1）方程是可分离变量的，分离变量后得

22sec sec 0tan tan xdx ydy x y

+= 两边积分得

1t a n ln tan tan d y

dtanx C x y +=??，

从而便得到方程的通解为tan tan x y C =。 (2) 方程是可分离变量的，分离变量后得

204d x d y x x y +=- 两边积分得 111ln 44dy dx C x x y ??

-+= ?-??

??， 从而便得到方程的通解为().44Cx y x =-

(3) 若令x y

u =

得ux y =，两边对x 求导得：1.du u u x

u dx

+=+ 由此得到可分离变量微分方程：dx udu x =，积分后得： 2

1ln ln 2

u x c =+.

即

()222ln y x x C =+为所求方程的通解。

(4) 若令x y

u =

得ux y =，两边对x 求导得：ln .du u u u x

dx

=+ 由此得到可分离变量微分方程：

1u(ln 1)dx

du u x

=-，

积分后得： lnln(1)ln ln u x c -=+. 即ln ln 1y x Cx -=+为所求方程的通解。

4.方程)()()(2022x xy dt t y t t y x

=??

????++?能否化为齐次方程?

解：方程)()()(2022x xy dt t y t t y x

=??

????++?能化为齐次方程。因为两边对x 求导得

2y y xy '=+ ，即y y x '=+

5. 求下列微分方程的通解或特解： （1）x

e

x y y sin cos -=+'； （2）232

++=+'x x y y x ；

（3）()

0cos 212=-+'-x xy y x ； （4）()()3

222-=-'-x y y x ；

（5）

sin 1x dy y x dx x x

π

=+==；y ； （6）0)ln (ln =-+dy y x ydx y .

解：（1）对应的齐次方程为 cos 0y y x '+=，其通解为 sin x y Ce -=. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()sin x y C x e -=，对x 求导得：

sin sin cos .x x y C e C x e --''=-?

将y y ',代入原方程有 1,C '= 故 ()C x x C =+，

从而 原方程的通解为 ();s i n x

e C x y -+=

（2）对应的齐次方程为 10y y x '+

=，其通解为 C

y x

=. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()1

y C x x

=?，对x 求导得：

211

.y C C x x

''=?-?

将y y ',代入原方程有 2

3x 2,C x '=++ 故 ()3213232

C x x x x C =+++，

从而 原方程的通解为 ;223312x

C

x x y +++=

（3）对应的齐次方程为

22x

01

dy y dx x +=-，其通解为 ()121y C x -=-. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()()

1

2

1

y C x x -=-，对x 求导得：

()2

2212.11Cx

y C x x ''

=--- 将y y ',代入原方程有 cos ,C x '= 故 ()sin C x x C =+， 从而 原方程的通解为 ;1

s i n 2-+=x C

x y

（4）对应的齐次方程为

02

dy y dx x -=-，其通解为 ()2y C x =-. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()()2y C x x =-，对x 求导得：

()2.y C x C ''=-+

将y y ',代入原方程有 ()22,C x '=- 故 ()2

4C x x x C =-+，

从而 原方程的通解为 ()();223

-+-=x C x y

（5）对应的齐次方程为

0dy y dx x +=，其通解为 1y C x

=. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()1

y C x x

=，对x 求导得：

21.C y C x x

''=-

将y y ',代入原方程有 sin ,C x '= 故 ()cos C x x C =-+， 从而 原方程的通解为 C c o s

;x y x

-= 代入初始条件 1x π

==y 得所求通解为 1c o s

.x y x

π--=

（6）原方程可化为

1

1ln ln y

dx x d y += 对应的齐次方程为

10ln ln dx x d y y +=，其通解为 1

ln x C y

=. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()

1

ln ln x C y y

=，对ln y 求导得： ()

2

1.ln ln C x C y y ''

=- 将y y ',代入原方程有 ln ,C y '= 故 ()()2

1ln ln 2

C y y C =+， 从而 原方程的通解为 .ln ln 22

C y y x +=

6. 设函数)(x f 可微且满足关系式

,1)(]1)(2[0

-=-?x f dt t f x

求)(x f .

解：方程两边求导得：()()21f x f x '-=

对应的齐次方程为 ()()2f x f x '=，其通解为 2x y Ce =. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()2x

y C x e =，对x 求导得：

222x x y C e Ce ''=+

将y y ',代入原方程有 2,x

C e -'=- 故 ()21

2

x C x e C -=+，

从而 原方程的通解为 21.2

x y C e =

+，由于原方程中令0x = 得()01f =

故满足原方程的解为 211()22

x f x e =+.

7.求下列伯努利方程的通解：

（1）()x x y y y sin cos 2-=+'； （2）0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy

解：（1）以2y 除方程的两边，得

2

1

cos sin dy y y x x dx --+=-， 即 11c o s s i n dy y x x dx

---+=-. 此作为1-y 的线性方程的通解为：

;sin 1

x Ce x y

+-= 故原方程的通解为：

;s i n 1

x Ce x y

+-= (2) 将原方程变形为： 3(1ln )dy

x

y xy x dx

-=+ 以3xy 除方程的两边，得

3

211ln dy y

y x dx x ---=+， 即 22

111ln 2dy y x dx x

----=+. 此作为2

y -的线性方程的通解为： 23222ln .33x x x C y ??

=-++ ???

故原方程的通解为： .ln 3232322C x x y x +??

?

??+-=

8.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量方程，再求出通解：

（1）()y x y y y x ln ln +=+'； （2）11+-=y

x dx dy ； （3）()()

0112

2

=++++dy y x xy x dx xy y .

解：（1）将原方程变形为：()1

ln xy xy xy x '=

，按xy 分离变量得()ln d xy dx xy xy x

= 故原方程的通解为：1;C x

y e x

=

（2）将原方程变形为：

()1

d y x dx y x

-=-

- ，将y x - 看成新变量得

原方程的通解为： ();22

C x y x +-=-

(3) 将原方程变形为：()()(

)

2

2

110xy xy dx x

xy xy dy +++-=

令1u xy =+ 则du xdy ydx =+ 从而 ()()

()2

22

1110xdu u dx

u udx x

u u x

---+-+= 整理方程得： ()()3

211x u u du u dx -+=- 解之即得原方程的通解为：

.12ln 22222y Cx xy y y x =--

9. 判断下列方程是否为全微分方程，若是，求其通解： （1） ()()

046632222=+++dy y y x dx xy x ； （2）()0sin sin cos cos =+-'+y x y y x y x ； (3) ()dy x dx y x y 22--; (4) ()

.022=++xydy dx y x

解：（1）因为

()()

2222366412x xy x y y xy y

x

?+?+==

??，

所以方程为全微分方程，利用公式（3），取0,000==y x 有

2220

3

2

2

3(,)3(64)4

3.

3

x y

u x y x dx x y y dy

x x y y =++=++??

于是，方程的通解为 ;3

433

2

23C y y x x =+

+ （2）因为()()

cos cos sin sin cos sin x y x y y x y x x y

?+?-=-=

??， 所以方程为全微分方程，利用公式（3），取0,000==y x 有

(,)(0sin sin 0)(cos cos )sin cos .

x y

u x y x dx x y x dy

x y y x =-?+++=+??

于是，方程的通解为 ;cos sin C x y y x =+

（3）因为

()()()2242x y x y x y x y

x

?-?-=-≠-=

??，

所以原方程不是全微分方程；

（4）因为

()()

222x y xy y y y

x

?+?=≠=??， 所以原方程不是全微分方程.

10. 用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:

（1）()()dy dx dy dx y x +=-+； （2）02=+-xdx y xdy ydx ； （3）.0)31()3(22=-+-dy x y dx y x y 解：（1）看出

1

x y +为积分因子，因为乘上它后，方程化为 0d x d y

d x d y x y

+--

=+，

积分后得到通解：;ln C y x y x ++=-

（2）观察可看出

2

1

y 为积分因子，因为乘上它后，方程化为 20ydx xdy xdx y -+=，积分后得到通解：;2

2

C x y x =+ （3）看出

2

1

y 为积分因子，因为乘上它后，方程化为 ()2130xdx ydx xdy dy y -++=，积分后得到通解：.1

322C y

xy x =--

11. 证明

21

x

是微分方程0=-ydx xdy 的积分因子. 证：因为

()()22

21x y x x y x x

--?-??=-=??， 所以方程有积分因子

21

x

。

12.证明一阶线性方程 ()()x Q y x P y =+' 的积分因子为()()?

=dx

x P e x μ，并由此方法解方程 .ln 42x y y x =+'

证： 因为

()()()()()()()P x dx

P x dx

P x dx

e P x y Q x e P x e y

x

???????-? ?

???

?

??

==??

所以一阶线性方程 ()()x Q y x P y =+' 有积分因子为()()?

=dx

x P e x μ。

方程214ln .y y x x x

'+=两边同乘以()22dx x x e x μ?== 得

224ln 0.x dy xydx x xdx +-=积分后得到通解：

2222ln .x y x x x C -+=

习题12-3

1. 求方程各微分方程的通解：

（1）x xe y ='''； (2) 21y y '+=''; (3) x y y +'=''; 解：（1）对所给方程连续积分得：

1(1)2x y x e C

''=-+， ()1222.x

y x e C x C '=-++ 故所求特解为 ();33221C x C x C e x y x +++-= （2）所给方程不含有y ，令p y ='，则方程变为

2

1dp

dx p =+，积分得：

1tan()p x C =+， 再积分得通解为：();cos ln 21C C x y ++-=

（3）所给方程不含有y ，令p y ='，则方程变为 dp

p x dx -=，积分得： 11x p C e x =--， 再积分得通解为： ;2

1221C x x e C y x

+--=

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 0,

00

2='==''==x x y

y y

e y ； （2）().0,0,1002

='=='+''==x x y y y y

解：（1）方程不明显含自变量x ，设),(y p y ='则,dy

dp

p

y ='' 代入方程，得： 2.y dp

p

e dy

= 在0,0≠≠p y 的条件下分离变量，得：

2y pdp e dy =， 积分得 y p '=

由0

0x x y

y =='

==得11C =-

再分离变量并积分得方程的通解为：2arcsin .y e C x --+= 再由0

0x y

==得 22

C π

=

，从而sin()cos .2

y

e

x x π

-=-= 故所求的特解为 ;s e c

ln x y = （2））方程不明显含自变量x ，设),(y p y ='则,dy

dp

p

y ='' 代入方程，得： 2

1.d p p

p dy

+= 在0,0≠≠p y 的条件下分离变量，得：

2

1pdp

dy p

=-， 积分得 y p '==，由0

0x x y y =='

==得11C =

再分离变量并积分得方程的通解为：(2ln .y e x C +=+ 再由0

0x y

==得 20C = 故所求的特解为 .ln chx y =

3.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?

22

(1),;

(2),().x x ax bx e xe e e a b ≠

解：（1）设有常数21,c c ，使得2

2

120,x x c e c xe x R +≡∈，则由于2

0x e ≠

所以120,

c c x x R +≡∈ ，从而 120c c ==。

故函数组2

2

(1),x x e xe 在其定义域内线性无关；

（2）设有常数21,c c ，使得()()

12120,b a x ax bx

ax c e c e e c c e x R -+=+≡∈，

则由于0ax

e

≠ 所以()120,b a x c c e x R -+≡∈ ，从而 120c c ==。

故函数组(),ax

bx

e e

a b ≠在其定义域内线性无关；

4. 已知x e x y =)(1是齐次方程()()021212=+'+-''-y y x y x 的解, 求此方程的通解.

解：令x y e u =， 则 ,x x y e u e u ''=+ 2.x x x y e u e u e u '''''=+?+ 将它们代人非齐次方程， 得 ()()21230x x x e u x e u '''-+-=，积分得

()221e ,x u C x -'=- ()2121x u C x e C -=-++，

故所求通解为 ()1221++=x C e C y x 。

5．求解下列二阶常系数齐次线性微分方程：

(1) 560y y y '''++=； (2) 162490y y y '''-+=； (3) 8250y y y '''++= (4) 6130y y y '''++=； (5) 450y y y '''-+=； (6) 0y y ''+=。 解： (1) 方程对应的特征方程为 2

560r r ++=，

从而 122,3r r ==是其两个不等的实数根，故所求微分方程的通解为： 2312x x y C e C e =+；

(2) 方程对应的特征方程为 2

16

2490r r -+=， 从而 123

4

r r ==

是其两个相等的实数根，故所求微分方程的通解为： 334

4

12x x y C e C xe =+；

(3) 方程对应的特征方程为 2

8250r r ++=，

从而 1243,43r i r i =-+=--是其两个不等的复数根，故所求微分方程的通解为： 412(sin3cos3)x y e C x C x -=+

(4) 方程对应的特征方程为 2

6130r r ++=，

从而 1232,32r i r i =-+=--是其两个不等的复数根，故所求微分方程的通解为： ()312cos2sin 2x

y e

C x C x -=+；

(5) 方程对应的特征方程为 2

450r r -+=，

从而 122,2r i r i =+=-是其两个不等的复数根，故所求微分方程的通解为：

()212cos sin x y e C x C x =+； (6) 方程对应的特征方程为 2

10r +=，

从而 12,r i r i ==-是其两个不等的复数根，故所求微分方程的通解为： 12cos sin y C x C x =+。

6. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 0

440,2,0;x x y y y y

y ==''''

++=== （2）0

4290,0,15;x x y y y y

y ==''''

++===

(3) 0

4130,0, 3.x x y y y y

y ==''''

-+===

解： (1) 方程对应的特征方程为 2

4410r r ++=，

从而 121

2

r r ==-是其两个相等的实数根，故所求微分方程的通解为： 1

12

212x x

y C e

C xe

--=+。

代入初始条件得所求方程的特解为()2

2;x y x e -=+

（2）方程对应的特征方程为 2

429

0r r ++=， 从而 1225,25r i r i =-+=--是其两个不等的复数根，故所求微分方程的通解为： ()212cos5sin5x

y e

C x C x -=+

代入初始条件得所求方程的特解为 23sin5;x

y e

x -=

(3) 方程对应的特征方程为 2

4130r r -+=，

从而 1223,23r i r i =+=-是其两个不等的复数根，故所求微分方程的通解为： ()212cos3sin3x

y e

C x C x =+

代入初始条件得所求方程的特解为 2s i n 3x

y e x =。

7.写出微分方程2

24468x

y y y x e '''-+=+的待定特解的形式.

解：由于2λ=是特征方程的重根，所以应设特解为*220134()x

y b x b b x b e =+++

8.求微分方程5432y y y x '''++=-的通解.

解：特征方程2540r r ++=的根为：12=-1=4r r -，．

由于0不是特征方程的根，设特解为y ax b =+，代入原方程后，解得111,28a b =-=

故所求的通解为 412111

82

x

x y C e C e x --=++

-。

9.求微分方程()3691x y y y x e '''-+=+的通解.

解：特征方程2690r r -+=的根为：12==3r r ．

因为3α=是特征方程2230r r +-=的重根，所以取1k =．设特解为23(a )x y x x b e =+，代入原方程后，解得11

,62

a b ==，

故所求的通解为()3231211123x

x y C C x e x x e ??

=++

+ ???

。

10. 求微分方程25sin 2x y y y e x '''-+=的通解.

解：特征方程2250r r -+=的根为：12=1+2i =12r r i -，． 因为12i α=+是特征方程2230r r +-=的单根，所以取1k =． 设特解为 (acos2sin 2)x y x x b x e =+，

则 ()[acos2x bsin 2x 2cos2(2)sin 2]x y x b a x x b a x e '=++++-．

()()[42cos224sin 2(43)cos2(34)sin 2)]e x y b a x b a x b a x x b a x x ''=++-+--+． 代入原方程，得

4cos 24sin 2sin 2b x a x x -=．

比较两端sin 2x 与cos 2x 的系数，得

0b =，14a =-，故方程的一个特解为：1cos 24

x y xe x =-

.所求的通解为 ()121cos 2sin 2cos 24

x

x

y e

C x C x xe x =+-

。

11.求下列欧拉方程的通解：

（1）2

2sin(ln )x y xy y x '''++=； （2）22

.y y y x x x

'''-+= 解：（1）作变量替换 t e x = 或 ,ln x t = 原方程化为：

()12sint,D D y Dy y -++=

即 2

2s i n t D y y +=，或 222sint.d y

y dt

+=

方程对应的齐次方程为220.d y

y dt

+=

其特征方程为 210,r += 相应的特征根为 12,.r i r i ==- 于是齐次方程的通解为 12cos sint.y C t C =+ 原方程的特解形式为 ()*c o s s i n ,

y t a t

b t =+代入原方程可求得 1,a =- 故所给欧拉方程的通解为 ()()()()12cos ln sin ln ln cos ln y C x C x x x =+-。 （2）作变量替换 t e x = 或 ,ln x t = 原方程化为：

()12,t D D y Dy y e --+=

即 2

22t

D y Dy y e -+=，或 2222.t d y dy

y e dt dt

-+= 方程对应的齐次方程为222

0.d y dy

y dt dt

-+= 其特征方程为 2

210,r r -+= 相应的特征根为 12 1.r r == 于是齐次方程的通解为 12().t y C C t e =+

方程（21）的特解形式为 2*,t

y at e =代入原方程可求得 1,a = 故所给欧拉方程的通解为 ()

2

12ln ln .y x C C x x x =++

习题12-4

1.试用幂级数法求下列各微分方程的解： （1）();212

y x x y x +-='+

（2）.0=+'+''y y x y

解：（1）设解为 2

12n n y C a x a x a x =+++

++

把y y ',的幂级数展开式代入原方程，得

()12121112(2)(1)(2)(1)n n n n n a a a x na n a x C a x a x a x --+++

++-+

=+-+++++

比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得

1234562112

,1,,,,,

33515

a C a a a a a ==-==-==

-

于是所求解的幂级数展开式为：

() +-+-+

-+=6

543215

25131321x x x x x x C y ； （2）设解为 2012n n y a a x a x a x =+++++

把,,y y y '''的幂级数展开式代入原方程，得

()()()2302314253(2)621232040a a a a x a a x a a x ++++++++

=

比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得

0012314253111,,,,21342!45135

a a a a a a a a a a =-

=-=-==-=??

?

于是所求解的幂级数展开式为

()().1231153131121

5312

02

??

????+-???-++??+?-+=---

n x x x x a e

a y n n x

2．试用幂级数法求下列方程满足初始条件的特解： （1）();0,110=-+='-=x y y x y x

（2）.0,,

0cos 00='==+''==t t x a x t x x

解：（1）这里 ,0,000==y x 故设解为 ++++=n n x a x a x a y 221 把y y ',的幂级数展开式代入原方程，得

()12121112(2)(1)1(1)n n n n n a a a x na n a x a x a x a x --+-+

+--+

=+-----

比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得

()

123111

21

1,,,,,1223

1n n n a a a a a n n n --====

=??-

于是所求解的幂级数展开式为

. +?+?+?+

=4

324

31321211x x x x y ； （2）这里 0000,x ,x

0t a '=== 故设解为 2

2n n x a a t a t =++

++

把2411cost 1t t ,x,x 2!4!

''=-

++的幂级数展开式代入原方程，得

23452234253647526t (12)t (20)(30)t (42)0

24!2

a

a a a a a a a a a t a a a a t ++++-++++-++++

=比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得

123456719

0,,0,,0,,0

2126!

a a a a a a a a a ==-====

=

于是所求解的幂级数展开式为：

(.!

855!69!42!2118

642 ++-+-

=t t t t a y

习题12-5

1．求下列微分方程组的通解：

（1） ???????==;,y dx dz z dx dy

（2）???????==;,2

2

2

2y dt x d x dt y d

解：（1）由 ,d y d z z y dx dx ==得22d y dz

y dx dx

==，解之得12,x x y C e C e -=+ 再据第一个方程可解得 ?

??-=+=--;,

2121x

x x x e C e C z e C e C y （2）由原两个方程可得 44

d y

y dt =， 解之得 12,x x y C e C e -=+1234cos sin t t y C e C e C t C t -=+--

再据第一个方程可解得 ???--+=+++=--;s i n c o s ,

s i n c o s 43214321t C t

C e C e C y t C t C e C e C x t

t t t 。

复习题十二（A ）

1.求下列微分方程的通解： （1）

x

y y y x ln ='； （2）

)(ln 2x y y

dx dy -=; （3）02

2=+-+

+y

x xdy ydx ydy xdx ； （4）0365)

4(=-''+y y y ； （5）;y x

xy xe y '=+； (6) xydy dx y x =+)(2

2

; (7)0)()2(2

2

2

=+---dy y x dx y xy a ; (8) 0)()(=++-++dy e e dx e e

y y x x y

x 。

解：（1） 若令x y

u =

得ux y =，两边对x 求导得：ln .du u u u x

dx

=+ 由此得到可分离变量微分方程：

1u(ln 1)dx

du u x

=

-， 积分后得： lnln(1)ln ln u x c -=+. 即

ln ln 1y x Cx -=+为所求方程的通解。

（2）原方程可化为

()(l n )12l n d y dx y x =

-或22ln .(ln )

dx

x y d y += 对应齐次方程通解为 2

,x C y -=用常数变易法得所求通解为： 2

1

ln ;2

x Cy

y -=+-

（3）原方程可化为 2

211()(arctan )02

2y

d x y d x

+

-= 所求方程的通解22

2arctan y x y C x

+-=。

（4）对应的特征方程为 42

5360r r +-=，

从而 12342,2,3,3r r r i r i ==-==-是其不相等的根，故所求微分方程的通解为：

221234cos3sin3;x x y C e C e C x C x -=+++；

（5）若令x y

u =

得ux y =，两边对x 求导得：e u.u du u x

dx

+=+ 由此得到可分离变量微分方程：u

dx e du x

-=，

积分后得： ln ln u

e x c --=+.

即

ln 0y

x x

e

C -++=为所求方程的通解。

(6) 若令x y u =

得ux y =，两边对x 求导得：2

1().du u u u x

dx

+=+ 由此得到可分离变量微分方程：dx

udu x

=，

积分后得： 2

1ln 2

u x C =+.

即2

2

2(ln );y x x C =+为所求方程的通解。

(7) 因为

()

()

2

22222a xy y x y x y y

x

?--?-+=--=

??， 所以方程为全微分方程，利用公式（3），取0,000==y x 有

2

220

2223(,)(2)1

.

3x

y

u x y a dx x xy y dy

a x x y xy y =-++=---??

于是，方程的通解为 22

231;3

a x x y

x y y C ---= (8) 因为

()()x y x x y y x y e e e e e y

x

+++?-?+==

??，

所以方程为全微分方程，利用公式（3），取0,000==y x 有

(,)()(e )1.

x

y

x x

x y y x y

x

y

u x y e

e dx e dy

e

e e +++=-++=-+-??

于是，方程的通解为 (1)(1).

x y e e dy C +-=

2. 求下列微分方程满足初始条件的特解： （1）1,0;000

2

-='=='-''==x x y y y a y ；

（2）2,1,30

='

==''==x x y y

y y ；

(3) 02sin 2=-''y y ,1,2

='

=

==x x y y π

;

(4)

5cosx dy

ycotx e dx

+=，42

-==

πx y ;

(5)2,1=+=

'=x y y

x

x y y ; (6) 2

3,0,cos 200

=

'==+'+''==x x y y

x y y y ; 解：（1）原方程可变形为

2,y a y ''='10

11

,11x ax C y y ='-=+=-='

由知C

再由()0

1

ln 1,0C 1

x y y ax C y

ax ='=-

=-++=+得又由知=0

故所求的特解为 ()1ln 1

+-

=ax a

y 。 （2）方程不明显含自变量x ，设),(y p y ='则,dy

dp

p

y ='' 代入方程，得：

dp

p

dy

= 在0,0≠≠p y 的条件下分离变量，得：

pdp =， 积分得 y p '==，

由0

1,2x x y

y =='

==得0C =

再分离变量并积分得方程的通解为：14

2.y x C =+由0

1C 2x y

===得

故所求的特解为 4

11;2y x ??

=+ ???

(3) 方程不明显含自变量x ，设),(y p y ='则,dy

dp

p

y ='' 代入方程，得： 2sin 2.dp

p

y dy

= 在0,0≠≠p y 的条件下分离变量，得：

2sin 2pdp ydy =， 积分得 y p '= 由0

,12

x x y

y π

=='

=

=得12

C =

再分离变量并积分得方程的通解为：ln cscy coty ln .x C -=+ 由0

C 12

x y

π

==

=得

故所求的特解为 221a r c c o s .1x

x e y e

-=+

(4) 对应的齐次方程为 cot 0y x y '+?=，其通解为 1sin y C

x

=. 用常数变易法，设原方程的通解为 ()1

(sin )y C x x -=?，对x 求导得：

2sin cos sin C x C x

y x

'-'=

将y y ',代入原方程有 cos 5sin ,x C xe '= 故 ()cos 5x

C x e C =-+，

从而 原方程的通解为 c o s

s i n 5C

;x y x e += 代入初始条件42

-==

πx y

得所求特解为： cos sin 51x y x e +=;

(5) 若令x y

u =

得ux y =，两边对x 求导得：1.du u u x

u dx

+=+ 由此得到可分离变量微分方程：dx

udu x

=，

第十二章习题答案

第12章习题答案 1.设T 是一个非平凡树，证明T 中最长基本链的起点和终点的次数为1。 证明：假设P 是T 中最长的基本链，P 的起点或终点的次数不为1，即它的次数至少是2，则至少有一个顶点，令其为u ，与P 的起点或终点邻接。若u 在P 上，则构成圈，与T 是树矛盾，若u 不在P 上，则存在比P 更长的基本链，这与P 是T 中最长的基本链矛盾。因此，非平凡树T 中最长基本链的起点和终点的次数必为1。 2.证明恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。 证明：假设T 是任意一个恰好有两个顶点的次数为1的树，如果T 不是一基本链，则至少有一个分支顶点的次数大于2。设T 有n 个顶点，则T 有n-2个分支顶点，n-1条边。根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，可知 2（n-1）>2+2（n-2） 因此得到2n-2>2n-2，矛盾。故T 必为一基本链。即恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。 3.一个树有n 2个顶点次敉为2，n 3个顶点次数为3，…，n k 个顶点次数为k ，问这个树有几片树叶？ 解：设这个树为T ，有x 片树叶，则T 有x +n 2+n 3+…+n k -1条边。根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，有 x +2n 2+3n 3+…+k n k =2（x +n 2+n 3+…+n k -1） 解得 x =n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2 即这个树有n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2片树叶。 7.证明在完全二元树中，弧的总数等于2(n t -1)，这里n t 是树叶的数目。 证明：设完全二元树T 有n 个顶点，m 条弧。因为它有n t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有n -n t 个。由于在完全二元树中，除树叶以外的顶点的引出次数均为2，每片树叶的引出次数均为0，故所有顶点的引出次数之和为2（n -n t ），它等于弧的总数m 。又因为1-=n m ， 故有2（n -n t ）=1-n ，解得n =2n t -1。因此m=n-1=2(n t -1)。 11. 图12.11给出了一个有序树，试求其对应的位置二元树。 解：把该树顶点标记i u 的下标i 作为序， 利用将有序树转化为位置二元树的算法， 求得其对应的位置二元树如右图所示。 4u 3 u 5 u 7 u 0u 1 u 2 u 6 u 8 u 9 u 10

电子电路第十二章习题及参考答案

习题十二 12-1 写出题图12-1所示逻辑电路输出F 的逻辑表达式，并说明其逻辑功能。 解：由电路可直接写出输出的表达式为： 301201101001301201101001D A A D A A D A A D A A D A A D A A D A A D A A F +++==??? 由逻辑表达式可以看出： 当A 1A 0=00 F =D 0 A 1A 0=01 F =D 1 A 1A 0=10 F =D 2 A 1A 0=11 F =D 3 这个电路的逻辑功能是，给定地址A 1A 0以后，将该地址对应的数据传输到输出端F 。 12-2 组合逻辑电路如题图12-2所示。 （1）写出函数F 的表达式； （2）将函数F 化为最简“与或”式，并用“与非”门实现电路； （3）若改用“或非”门实现，试写出相应的表达式。 解：（1）逻辑表达式为：C A D B D C B A F += （2）化简逻辑式 C A D B D B C A C A D B D C A D B C A D C B BC A C A D B A C A D B D C B A C A D B D C B A F +=+++++=++++++=++++=+=?)1()1())(()( 这是最简“与或”表达式，用“与非”门实现电路见题解图12-2-1，其表达式为： C A D B F ?= （3）若用“或非”门实现电路见题解图12-2-2，其表达式为： C A D B C A D B C A D B C A D B F +++=+++=++=+=))(( 由图可见，对于同一逻辑函数采用不同的门电路实现，所使用的门电路的个数不同，组合电路的速度也有差异，因此，在设计组合逻辑电路时，应根据具体不同情况，选用不同的门电路可使电路的复杂程度不同。 A A 3210 题图12-1 习题12-1电路图

数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章

第十二章 数项级数 证明题 1 ． 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 : (4) ( n 2 2 n 1 n); 2n 2. 证明:若级数 u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0). 3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数 (a n a n 1) a 1-a . (1) 1 1 1 (3) 1 n(n 1)(n 2) 2n 1 (5) (5n 4)(5n 1) 1.6 6.11 11.16 (2)

4 ．证明: 若数列{b n}有lim b n ,则 n (1)级数(b n 1 b n)发散; 1 1 1 (2)当b n≠0 时,级数 n b n 1 b1 5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有 |u N+u n+1+?+u n|< ε 6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有 u n 1 v n 1 u n v n 7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立? 8. 设a n≥0,且数列{na n}有界，证明级数a2n收敛.

9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 . (2) 若 n>N 0 时有 C n ≤0, 且 lim 1 b k ,则级数 a n n1 10. 证明下列极限 11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与 2m a 2m 同时 n1 m 0 收敛或同时发散 a 12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1 N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0, 则级数 a n 收敛 ; n1 n (1) l n im (n n !) 0; (2) lim (2n!) n! n a n! 0(a 1). (1) 若存在某自然数

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1.下面对宪法内涵的理解，正确的有（ABCD ） A.宪法是国家的根本法 B.宪法是公民权利的保障书 C.宪法是民主事实法律化的基本形式 D.宪法是调整国家和公民关系的基本法律 2.我国现行宪法第44条规定，（ BC ）保障退休人员的生活 A.国家劳动机关 B.社会 C.国家 D.所在单位 3.在全国人大代表选举过程中，下列哪些组织可以联合或单独推荐代表候选人？（A C ） A.各政党 B.各企事业单位 C.各人民团体 D.各国家机关 4、建设项目中防治污染的设施，应当与主体工程（ ABC ）。防治污染的设施应当符合经批准的环境影响评价文件的要求，不得擅自拆除或者闲置。A 、同时设计 B 、同时施工C 、同时投产使用 D 、同时 5、国家建立跨行政区域的重点区域、流域环境污染和生态破坏联合防治协调机制，实行（ ABCD ）。A 、统一规划 B 、统一标准C 、统一监测 D 、统一的防治措施 6、某市土地管理部门发现某县A 公司存在违反《土地管理法》的行为，某县土地管理局却不给予行政处罚，作为某县土地管理局的上级部门，某市土地管理部门可采取下列哪些措施？ （ABC ） A ． 直接对A 公司进行行政处罚 B ． 责令某县土地管理局作出行政处罚决定 C ． 给予某县土地管理局的负责人行政处分 D ． 向某市人民政府的行政监察部门作出行政处分建议书，建议对某县土地管理局的负责人予以行政处分 7、根据《土地管理法》等法律法规的规定，以下(ABCDE)种土地违法行为应给予行政处、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

计算机网络选择题题库及答案

单选 Ch1 1、下述说法中正确的是（D） A．网络层的协议是网络层内部处理数据的规定 B．接口实现的是人与计算机之间的交互 C．在应用层与网络层直接的接口上交换的是包 D．上一层的协议数据单元就是下一层的服务数据单元 2、在OSI参考模型中，第n层与它之上的第n+1层的关系是（A） A．第n层为第n+1层提供服务 B．第n+1层为从第n层接收的报文添加一个报头 C．第n层使用第n+1提供的服务 D．第n层和第n+1层相互没有影响 3、在OSI参考模型中，自下而上第一个提供端到端服务的层次是（B） A．数据链路层 B．传输层 C．会话层 D．应用层 4、下列选项中，不属于网络体系结构中所描述的内容是（C） A．网络层次 B．每一层使用的协议 C．协议的内容实现细节 D．每一层必须完成的功能 5、下列说法正确的是（D） A．在较小范围内布置的一定是局域网，而在较大范围内布置的一定是广域网 B．城域网是连接广域网而覆盖园区的网络 C．城域网是为淘汰局域网和广域网而提出的一种网络技术 D．局域网是基于广播技术发展起来的网络，广域网是基于交换技术发展起来的网络 Ch2 1、在图所示的采用“存储-转发”方式分组的交换网络中，所有链路的数据传输速度为100Mbps，分组大小为1000B，其中分组头大小为20B，若主机H1向主机H2发送一个大小为980000B的文件，则在不考虑分组拆装时间和传播延迟的情况下，从H1发送到H2接收完为止，需要的时间至少是（C）。（2010年全国考研题） A 80ms B 80.08ms C 80.16ms D 80.24ms

2、在无噪声情况下，若某通信链路的带宽为3KHz，采用4个相位、每个相位有4种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输速率是（B）。（2009年全国考研题） A 12Kbps B 24Kbps C 48Kbps D 96Kbps 3、将1路模拟信号分别编码为数字信号后，和另外7路数字信号采用同步TDM方式复用到一条通信线路上。1路模拟信号的频率变化范围为0~1KHz，每个样值采用PCM方式编码为4位的二进制数，7路数字信号的数据率均为7.2Kbps。复用线路需要的最小通信能力是（C）。 A 7.2Kbps B 8Kbps C 64Kbps D 512Kbps 4、在一个CDMA移动通信系统中，A、B、C站分配的地址码分别是（-1-1-1+1+1-1+1+1）、（-1-1+1-1+1+1+1-1）和（-1+1-1+1+1+1-1-1），某一时刻A发送数据位0，B发送数据1，C 未发送，则接收C站信息的接收者收到的信号是（A）。 A （0 0 +2-2 0 +2 0 -2） B （0 +2 +2 -2 0 +2 0 -2） C （+2 0 +2 -2 0 +2 0 -2） D （0 0 +2 -2 0 +2 0 0） 5、利用一根同轴电缆互连主机构建以太网，则主机间的通信方式为（B）。 A 全双工 B 半双工 C 单工 D 不确定 6、图是二进制序列的曼彻斯特编码，码元1是前低后高，试画出该二进制序列的差分曼彻斯特编码。如果以100Mbps数据率发送该二进制序列，则所需要的信道带宽至少为多少？

电子技术第十二章习题解答

第12章 模拟量与数字量的转换 12.1 常见的数模转换器有那几种？其各自的特点是什么？ 解 数模转换器可分为二进制权电阻网络数模转换器和T 型电阻网络数模转换器（包括倒T 型电阻网络数模转换器）两大类。权电阻网络数模转换器的优点是电路结构简单，可适用于各种有权码，缺点是电阻阻值范围太宽，品种较多，要在很宽的阻值范围内保证每个电阻都有很高的精度是极其困难的，因此在集成数模转换器中很少采用权电阻网络。T 形电阻网络数模转换器的优点是它只需R 和2R 两种阻值的电阻，这对选用高精度电阻和提高转换器的精度都是有利的。 12.2 某个数模转换器，要求10位二进制数能代表0～50V ，试问此二进制数的最低位代表几伏？ 分析 数模转换器输入二进制数的最低位代表最小输出电压。数模转换器最小输出电压（对应的输入二进制数只有最低位为1）与最大输出电压（对应的输入二进制数的所有位全为1）的比值为数模转换器的分辨率。 解 由于该数模转换器是10位数模转换器，根据数模转换器分辨率的定义，最小输出电压u o mi n 与最大输出电压u o ma x 的比值为： 001.01023 1 12110omax omin ≈=-=u u 由于50omax =u V ，所以此10位二进制数的最低位所代表的电压值为： 05.050001.0omin =?≈u （V ） 12.3 在如图12.4所示的电路中，若V 5R +=U ，R R 3f =，其最大输出电压u o 是多少？ 3 012u o 图12.4 T 型电阻网络数模转换器 分析 数模转换器的最大输出电压是输入二进制数的所有位全为1时所对应的输

第12章习题及解答

第12章习题及解答 12.1 滚动轴承主要类型有哪几种？各有何特点？试画出它们的结构简图。 解: 请参阅教材表14.1。 12.2 说明下列型号轴承的类型、尺寸、系列、结构特点及精度等级：32210E ，52411/P5， 61805，7312AC ，NU2204E 。 解 ：32210E------圆锥滚子轴承、宽轻系列、内径50、加强型； 52411/P5----推力球轴承、宽重系列、内径55、游隙5级； 61805--------深沟球轴承、正常超轻、内径25； 7312AC-----角接触球轴承、窄中系列、内径60、接触角25?； NU2204E----无挡边圆柱滚子轴承、窄轻系列、内径20、加强型。 12.3 选择滚动轴承应考虑哪些因素？试举出1~2个实例说明之。 解 ：载荷性质、转速、价格等。 12.4 滚动轴承的主要失效形式是什么？应怎样采取相应的设计准则？ 解：疲劳点蚀、塑性变形；寿命、静载荷校核。 12.5 试按滚动轴承寿命计算公式分析： （1） 转速一定的7207C 轴承，其额定动载荷从C 增为2C 时，寿命是否增加一倍？ 解: 由公式 ε ?? ? ??=F C n L h 60106 可知, 当额定动载荷从C 增为2C 时, 寿命增加应为 ()εC 2 (2) 转速一定的7207C 轴承，其当量动载荷从P 增为2P 时，寿命是否由L h 下降为L h /2？ 解: 由公式 ε ?? ? ??=F C n L h 60106 可知, 当其当量动载荷从P 增为2P 时, 寿命下降应 为 ε ?? ? ??21 (3) 当量动载荷一定的7207C 轴承，当工作转速由n 增为2n 时，其寿命有何变化？ 解: 由公式 ε ?? ? ??=F C n L h 60106 可知, 当工作转速由n 增为2n 时，其寿命为原来的

2020年度国库知识测试多选题库及答案(共120题)

2020年度国库知识测试多选题库及答 案（共120题） 1、各兑付单位收缴的假券由收缴单位加盖“假券”戳记后入库保管，并应于（）日内送缴人民银行当地分支机构国库部门。 A、3日 B、5日 C、10日 D、15日 正确答案：C 2、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，零余额账户包括（）。 A、财政部门零余额账户 B、预算单位零余额账户 C、财政汇缴零余额账户 D、事业单位零余额专户 E、国有企业零余额专户正确答案、ABC 3、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，（）的用款额度具有与人民币存款相同的支付结算功能。 A、财政部门零余额账户 B、预算单位零余额账户 C、财政汇缴零余额账户 D、事业单位零余额专户 E、国有企业零余额账户正确答案、AB 4、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，预算单位零余额账户可办理（）等支付结算业务。 A、转账 B、汇兑 C、委托收款 D、透支 E、提取现金 正确答案、ABCE 125、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，零余额账户的（）须经同级财政部门批准，并按照财政国库管理制度规定的程序和要求执行。

A、变更 B、合并 C、撤销 D、业务处理 E、账簿登记 正确答案、ABC 6、中国人民银行分支机构对商业银行提交的国库集中收付代理银行资格申请材料进行审查时，定性指标应当考虑申请银行的（）等情况。 A、信息系统建设情况 B、代理国库业务的经验 C、机构网点覆盖 D、服务承诺 E、外部评价 正确答案、ABDE 7、中国人民银行分支机构对商业银行提交的国库集中收付代理银行资格申请材料进行审查时，定量指标应当考虑申请银行的（）等情况。 A、信息系统建设情况 B、资金安全性 C、流动性 D、效益性 E、机构网点覆盖正确答案、BCDE 8、中国人民银行分支机构成立地方国库集中收付代理银行资格认定专家评审组，成员由（）等行内相关部门人员组成。 A、国库部门 B、会计部门 C、法律事务部门 D、事后监督部门 E、营业部正确答案、AC 9、我们国家实行的是一级政府一级预算，分别是（）五级预算。 A.中央 B.省、自治区、直辖市 C.设区的市、自治州 D.县、自治县、不设区的市、市辖区 E.乡、民族乡、镇预算。 正确答案：ABCDE 10、一般公共预算是对以税收为主体的财政收入，安排用于（）等方面的收支预算。

公司理财学原理第12章习题答案

公司理财学原理第十二章习题答案 二、单选题 1、关于预算的编制方法下列各项中正确的是（ C ）。 A、零基预算编制方法适用于非盈利组织编制预算时采用 B、固定预算编制方法适用于产出较难辨认的服务性部门费用预算的编制 C、固定预算编制方法适用于业务量水平较为稳定的企业预算的编制 D、零基预算编制方法适用于业务量水平较为稳定的企业预算的编制 2、（ B ）是只使用实物量计量单位的预算。 A、产品成本预算 B、生产预算 C、管理费用预算 D、直接材料预算 3、某企业编制“直接材料预算”，预计第四季度期初存量600千克，该季度生产需用量2400千克，预计期末存量为400千克，材料单价为元，若材料采购货款有60%在本季度内付清，另外40%在下季度付清，不考虑税收，则该企业预计资产负债表年末“应付账款”项目为（ C ）元。 A、8800 B、10269 C、10296 D、13000 4、某企业编制“销售预算”，已知上上期的含税销售收入为600万元, 上期的含税销售收入为800万元,预计预算期销售收入为1000万元，销售收入的20%于当期收现，60%于下期收现，20%于下下期收现，假设不考虑其他因素，则本期期末应收账款的余额为（ D ）万元。 A、760 B、860 C、660 D、960 5、直接材料预算包括直接材料数量和直接材料金额两个方面的内容所组成。其数量预算的

编制基础是（ D ） A、销售预算 B、投资决策预算 C、销售费用预算 D、生产预算 6、编制全面财务预算的起点是（ A ） A、销售预算 B、投资决策预算 C、销售费用预算 D、生产预算 7、根据预算内正常的、可实现的某一业务量水平编制的预算是（ B ） A、弹性预算 B、固定预算 C、滚动预算 D、概率预算 8、现金预算中不能反映（ C ） A、资本性支出 B、资金的筹措 C、损益情况 D、现金余缺 9、企业编制“销售预算”，上期销售收入为300万元，预计预算期销售收入为500万元，销售收入的60%会在本期收到，40%将在下期收到，则预算期的经营现金收入为（ A ）万元。 A、420 B、400 C、300 D、120 10、某企业编制“直接材料预算”，预计第四季度期初存量300吨，该季度生产需用量500吨，预计期末存量为400吨，材料单价为100元/吨，若材料采购货款有80%在本季度内付清，另外20%在下季度付清，假设不考虑其他因素，则该企业预计资产负债表年末“应付账款”项目为（ C ）元。 A、11000 B、14000 C、12000 D、13000 11、下列各项中，没有直接在现金预算中得到反映的是（ C ）。 A、期初期末现金余额

宏观经济学第12章练习题及答案(同名2080)

宏观经济学第12章练习题及答案(同名2080)

第十二章练习题及答案 一、判断题 1．国民收入核算体系将GNP作为核算国民经济活动的核心指标。（） 2．GDP被定义为在某一既定时期一国之内所生产的全部产品的市场价值总和。（） 3．用货币去度量性质不同的各种产品，才能使各种产品能够进行加总，得出一国产出的总价值。（） 4．如果农民种植的粮食用于自己消费，则这种粮食的价值就无法计入GDP之内。（） 5．家庭成员提供的家务劳动要计入GDP之内。（） 6．本年生产但未销售出去的最终产品价值不应计入本年的GDP之内。（） 7．最终产品只包括消费品，不包括投资品。（）8．最终产品是按照产品的物质属性来划分的。（） 9．某种物品是中间产品还是最终产品取决于它本身的性质，例如，汽车一定是最终产品，煤只能是中间产品。（）

10．国内生产总值中的最终产品只是指有形的物质产品。（） 11．用价值增值法计算一国产出的总价值，可以避免重复计算的问题。（） 12．国民生产总值等于各种最终产品和中间产品的价值总和。（） 13．对于整个经济来说，所有的价值增值之和必定等于所有的最终产品的总价值。（） 14．若某企业年生产20万元的产品，只销售掉10万元的产品，则当年该企业所创造的GDP为10万元。（） 15．以前所生产而在当年售出的存货，应当是当年GDP的一部分。（） 16．某公司生产的汽车多卖掉一些比少卖掉一些时，GDP增加要多一些。（） 17．某人2000年用10万元购买了一辆产于1998年的小汽车，这10万元应该计入2000年的GDP。（） 18．一栋旧建筑物的销售额应加到国民生产总值中去。（） 19．销售一栋建筑物的房地产经纪商的佣金应加到国民生产总值中去。（）

社会调查选择题题库1(含答案)学习资料

第一章 一、单项选择题 1、被认为提出现代社会调查研究方法起源的分析的方法和逻辑的方法的是（C ）。 A.中国人 B.古印度人 C.古希腊人 D.古罗马人 2、社会研究就是社会科学对社会中的人以及各种社会现象进行的以（B.经验研究）为主的活动。 A.案例研究 B.经验研究 C.理论研究 D.方法研究 3、下面哪种方式是社会研究的主要方式？（D.社会调查研究） A.方法论研究 B.文献研究 C.实验研究 D.社会调查研究 4、（C.文献研究）是依靠第二手的资料对社会现象进行分析。 A.社会调查研究 B.实验研究 C.文献研究 D.案例研究 5、（A.社会调查研究）注重通过对第一手的信息的分析达到认识社会的目的。 A.社会调查研究 B.实验研究 C.文献研究 D.方法论研究 6、社会研究的（A方法论）是社会研究的一般方法，是社会研究方法的指导思想。 A.方法论 B.社会研究的方式 C.社会研究的目的 D.社会研究的具体方法和研究技术 7、（B.马克思主义哲学方法论）是社会研究方法体系的基础。 A.恩格斯主义哲学方法论 B.马克思主义哲学方法论 C.社会科学的学科方法论 D.逻辑方法 8、社会科学学科方法论主要是指（B B.社会科学理论）在社会研究中的指导地位和作用。 A.社会科学方法 B.社会科学理论 C.社会科学思想 D.社会科学体系 9、普查是一种为了解对象的总的情况而对（B.社会科学理论）进行的调查。 A.全体调查对象逐一 B.全体调查对象部分 C.部分调查对象逐一 D.部分调查对象抽样 二、多项选择题 1. 社会研究的三种主要方式包括（BCD ）。 A.方法论研究 B.社会调查研究 C.实验研究 D.文献研究 E.问卷研究 2. 社会研究的特殊性主要是由于（ABCDE ）导致的。 A.人的特殊性 B.社会现象的复杂多变性 C.偶然性 D.主观性 E.干扰性 3. 社会研究方法的重要性包括（ ABDE）。 A.正确地认识和了解社会 B.描述社会的客观状况 C.提高人们的素质 D.解释社会现象产生、

第十二章习题一解答

第十二章 习题一 数项级数 一．选择题 1．给定下列命题：① 若 ∑∞ =-+1 21 2)(n n n u u 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；② 若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+1100 n n u 收敛；③ 若0lim ≠=∞ →a u n n ，则 ∑∞ =1 n n u 发散；④ 若 ∑∞ =+1 )(n n n v u 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 、 ∑∞ =1 n n v 都收敛．其中正确的命题是 （ B ） （A ）①和②； （B ）②和③； （C ）③和④； （D ）①和④． 2．设∑== n k k n a S 1 ，则数列}{n S 有界是级数 ∑∞ =1 n n a 收敛的 （ B ） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充分且必要条件； （D ）既非充分又非必要条件． 3．若 ∑∞ =1 2n n a 、 ∑∞ =1 2 n n b 收敛，则 ∑∞ =1 n n n b a （ C ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）收敛性不定． 4．设a 为常数，则级数 )cos 1()1(1 ∑∞ =--n n n a （ C ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与a 有关． 5．级数∑∞ =+-1 1 )1(n p n n （0>p ）敛散性为 （ A ） （A ）当1p >时，绝对收敛；当1p ≤时，条件收敛； （B ）当1p <时，绝对收敛；当1p ≥时，条件收敛； （C ）当1p ≤时发散；当1p >时收敛； （D ）当0p >时，绝对收敛．

(完整word)全国计算机一级考试选择题题库(含答案),推荐文档

全国计算机一级考试选择题题库 一选择题: 1.微型计算机硬件系统中最核心的部件是( 。答案:B A、主板 B、CPU C、内存储器 D、I/O设备 2.下列术语中,属于显示器性能指标的是( 。答案:C A、速度 B、可靠性 C、分辨率 D、精度 3.配置高速缓冲存储器(Cache是为了解决( 。答案:C A、内存与辅助存储器之间速度不匹配问题 B、CPU与辅助存储器之间速度不匹配问题 C、CPU与内存储器之间速度不匹配问题 D、主机与外设之间速度不匹配问题 4.计算机病毒是一种( 。答案:C A、特殊的计算机部件

B、游戏软件 C、人为编制的特殊程序 D、能传染的生物病毒 5.微型计算机存储系统中,PROM是( 。答案:D A、可读写存储器 B、动态随机存取存储器 C、只读存储器 D、可编程只读存储器 6.在计算机领域中通常用MIPS来描述( 。答案:A A、计算机的运算速度 B、计算机的可靠性 C、计算机的可运行性 D、计算机的可扩充性 7.在Word的编辑状态,单击文档窗口标题栏右侧的按钮后,会( 。答案:D A、将窗口关闭 B、打开一个空白窗口 C、使文档窗口独占屏幕 D、使当前窗口缩小

8.在Word的编辑状态,当前编辑的文档是C盘中的d1.doc文档,要将该文档拷贝到软盘,应当使用( 。答案:A A、"文件"菜单中的"另存为"命令 B、"文件"菜单中的"保存"命令 C、"文件"菜单中的"新建"命令 D、"插入"菜单中的命令 9.在Word的编辑状态,文档窗口显示出水平标尺,则当前的视图方式( 。答案:A A、一定是普通视图或页面视图方式 B、一定是页面视图或大纲视图方式 C、一定是全屏显示视图方式 D、一定是全屏显示视图或大纲视图方式 10.在Word的编辑状态,为文档设置页码,可以使用( 。答案:D A、"工具"菜单中的命令 B、"编辑"菜单中的命令 C、"格式"菜单中的命令 D、"插入"菜单中的命令 11.在Word的编辑状态,当前编辑文档中的字体全是宋体字,选择了一段文字使之成反显状,先设定了楷体,又设定了仿宋体,则( 。 答案:C

第十二章习题解答详解

第12章 量子物理基础 2010-12-24 19世纪末、二十世纪初，为克服经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，人们创立了量子理论，量子理论与相对论理论一起共同构成了现代物理学的两大理论支柱。本章介绍量子理论基础。主要内容有：普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；氢原子的玻尔理论；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学关于氢原子的主要结果；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题等。 §12-1 黑体辐射 普朗克量子假设 12-1-1热辐射 黑体 任何物体在任何温度下都向外发射各种波长电磁波的性质称为热辐射。实验表明:热辐射具有连续的辐射能谱,辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度，温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短 ,辐射的总能量越大。 温度为T 时，从物体表面单位面积上在单位波长间隔内所发射的功率称为单色辐出本领，用M λ（T ）表示，单位是瓦/米2（W/m 2）。温度为T 时，物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射功率，称为物体的总辐射本领，用M （T ）式表示，单位为W ?m -2。一定温度下时，物体的辐出度和单色辐出度的关系为 0()()M T M T d λλ∞ =?. （12-1-1） 任何物体在任何温度下都发射热辐射，也吸收热辐射。不同物体发射(或吸收)热辐射的本领往往是不同的。1860年基尔霍夫研究指出，热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小;表面越黑, 吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。能完全吸收射到它上面的热辐射的物体叫做绝对黑体（简称黑体）。黑体辐射热辐射的本领最大，研究黑体辐射的规律具有重要的理论意义。 绝对黑体是理想模型，自然界中绝对黑体是不存在的，但存在着近似的绝对黑体。如不透明的空腔壁上开有一个小孔，小孔表面可以近似当作黑体。这是因为射入小孔的电磁辐射，要被腔壁多次反射，每反射一次，空腔的内壁将吸收部分辐射能。经过多次的反射，进入小孔的辐射几乎完全被腔壁吸收，由小孔穿出的辐射能可以略去不计则，故小孔可认为是近似的绝对黑体。此外，当空腔处于某确定的温度时，有电磁辐射从小孔发射出来，相当于从面积等于小孔面积的温度为T 的绝对黑体表面射出。 图12－1空腔的小孔表面是近似的绝对黑体

多选题及答案

建筑施工安全生产测验题库 三、多选题及答案 1、在生产过程中，下列哪些属于事故？（ABCDE ） A．人员死亡 B．人员重伤 C．财产损失 D．人员轻伤 E．设备损失 正确答案：A B C D E 2、事故隐患泛指生产系统中导致事故发生的（ACE ）。 A．人的不安全行为 B．自然因素 C．物的不安全状态 D．客观因素E．管理上的缺陷 正确答案：A C E 3、安全生产是是为了使生产过程在符合物质条件和工作程序下进行，防止发生人身伤亡、财产损失等事故，采取的（BCDE ）的一系列措施和活动。 A．控制自然灾害的破坏 B．保障人身安全和健康 C．环境免遭破坏D．设备和设施免遭损坏 E．消除或控制危险和有害因素 正确答案：B C D E 4、安全生产管理具体包括哪几方面的内容?（ ABCDE ） A．安全生产法制管理 B．行政管理 C．工艺技术管理 D．设备设施管理 E．作业环境和作业条件管理 正确答案：A B C D E 5、安全生产法律法规包括安全生产方面的（ BE ） A．国家标准 B．行政法规 C．行业规范 D．规范性文件 E．地方法规 正确答案：B E 6、下列哪些属于安全技术标准规范规程？（ ACDE ） A．建筑施工高处作业安全技术规范JGJ80－91 B．建设工程监理规范GB50319－200 0 C．建筑机械使用安全技术规程JGJ33－2001 D．建筑施工安全检查标准JGJ59—99 E．塔式起重机安全规程GB5144－94 正确答案：A C D E 7、安全生产规章制度是指（ ABCD ）制定并颁布的安全生产方面的具体工作制度。A．国家 B．行业主管部门 C．地方政府 D．企事业单位 E．企业技术部门 正确答案：A B C D 8、从90年代起，建设部相继编写出台了多部建筑安全技术标准规范，其中包括（ACDE ）。A．建筑施工安全检查标准 B．建筑工程施工许可管理办法

第十二章习题答案new

1分析电子衍射与X衍射有何异同？ 答：相同点： ①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ①电子波的波长比X射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad o 2 而X射线产生衍射时，其衍射角最大可接近-o π ②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件 变宽。 ③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④原子对电子的散射能力远高于它对X射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？ 答:倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是 与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ①倒易矢量g hkι垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向N hki ②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hki=1∕d hki ④对正交点阵有 a*∕∕a , b*∕∕b , c//c , a*=1∕a, b*=1∕b , c*=1∕c。 ⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl是与相应指数 的晶向［hkl］平行 ⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。 3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。 证：如图，以入射 X射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心 0 处，入射线经试样与球相交于0*;以0*为倒易原点，若任一倒易点G落在厄瓦尔德球面上， 则G对应的晶面满足衍射条件产生衍射。 令入射方向矢量为 k （k = 1∕ λ）,衍射方向矢量为 k,,衍射矢量为g。则有g = 2ks in θ。 ■/ g=1∕d ; k=1∕ λ ,??. 2dsin θ = λ。即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。

基础护理学第12章-练习题及答案

基础护理学第12章-练习题及答案

第十二章 【习题】 一、选择题 (-)A1型题 1. 执行给药原则中,下列首要的是 A.遵医嘱给药 B.给药途径要准确 C.给药时间要准确 D.注意用药不良反应 E.给药过程中要观察疗效 2. 剧毒药及麻醉药的最主要保管原则是 A.与内服药分别放置 B.放阴凉处 C.装密封瓶中保存 D.应加锁并专人保管，认真交班 E.应有明显标签 3. 剧毒药瓶上的标签颜色是 A.蓝色 B.红色 C.黑色 D.绿色 E.黄色 4.应放在4℃冰箱内保存的药物是 A.氨茶喊 B.苯巴比妥钠 C.泼尼松（强的松) D.胎盘球蛋白 E.青霉素 5.发挥药效最快的给药途径是 A. 口服 B.外敷C吸入 D.皮下注射 E.静脉注射 6.股静脉的穿刺部位为 A.股动脉内侧0.5cm B.股动脉外侧0.5cm C.股神经内侧0.5cm D.股神经外侧0.5cm E.股神经和股动脉之间 7.在超声波雾化器工作原理中,将电能转换为超声波声能的装置是 A.超声波发生器 B.雾化罐透声膜C雾化罐过滤器

D.晶体换能器 E.电子管 8.超声波雾化器在使用过程中，水槽内的水温超过多少时应及时调换冷蒸馏水 A. 30℃ B. 40℃ C. 50℃ D. 60℃ E. 0℃ 9.肌内注射时，选用联线法进行体表定位，其注射区域正确的是 A.髂嵴和尾骨联线的外上1/3处 B.髂嵴和尾骨联线的中1/3处 C.髂前上棘和尾骨联线的外上1/3处 D.髂前上棘和尾骨联线的中1/3处 E.髂前上棘和尾骨联线的后1/3处 10.肌肉小剂量注射选用上臂三角肌时，其注射区是 A．三角肌下缘2~3横指处 B.三角肌上缘2-3横指处 C.上臂内侧，肩峰下2 ~3横指处 D.上臂外侧,肩峰下2-3横指处 E.肱二头肌下缘2~3横指处 11.静脉注射过程中，发现患者局部肿胀、疼痛、试抽有回血，可能的原因是 A.静脉痉挛 B.针头刺人过深，穿破对侧血管壁 C.针头斜面一半在血管外 D.针头斜面紧贴血管内壁 E.针头刺入皮下 12.氧气雾化吸入时，氧流量应调至 A.0.5L/min B.1-2L/min C.2-4L/min D.6-8L/min E.8~10L/min 13.臀大肌注射时，应避免损伤 A.臀部动脉 B.臀部静脉 C.坐骨神经 D.臀部淋巴 E.骨膜 14.小儿头皮静脉注射,应除外的是 A.贵要静脉 B.耳后静脉 C.额静脉 D.枕静脉 E.颞浅静脉 15.抢救青霉素过敏性休克的苜选药物是 A.盐酸异丙嗪 B.去氧肾上腺素C盐酸肾上腺素D.异丙肾上腺素 E.去甲肾上腺素

2020年入党积极分子培训考试多选题库及答案(共60题)

1、改革开放以来，我国取得一切成绩和进步的根本原因，可以归结为________。 A．坚持了社会主义基本制度与发展市场经济相结合 B．坚持了科学社会主义的基本原则 C．开辟了中国特色社会主义道路 D．形成了中国特色社会主义理论体系 2、和平共处五项原则的内容是________。 A．互相尊重领土 B．互不侵犯 C．互不干涉内政 D．平等互利 E．和平共处 3、社会主义的本质是________。 A．解放生产力，发展生产力 B．消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕 C．以公有制为主体，多种所有制经济共同发展 D．以按劳分配为主体，多种分配方式并存 E．物质文明和精神文明协调发展 4、社会主义民主政治与资本主义民主政治的原则区别在于________。A．经济基础不同 B．阶级实质不同 C．国家阶级结构不同 D．主体不同 E．宗旨不同 5、党的十七大提出要保障少数民族合法权益，巩固和发展________的社会主义民族关系。 A．平等 B．互助 C．和谐 D．团结 6、在新的历史时期，加强党的建设具有特殊重要性。这是因为，党现在面临________。 A．执政的考验 B．改革开放的考验 C．思想路线的考验 D．发展市场经济的考验 E．和平演变的考验

7、我国社会主义初级阶段基本路线中的两个基本点是________。A．坚持中国共产党的领导 B．坚持马克思主义 C．坚持社会主义道路 D．坚持四项基本原则 E．坚持改革开放 8、党的基本路线中的坚持四项基本原则是指坚持________。 A．社会主义道路 B．改革开放 C．人民民主专政 D．中国共产党的领导 E．马列主义、毛泽东思想 9、党的基本路线是________。 A．党在一定时期制定的行动纲领 B．总揽全局的根本指导方针 C．党制定各种具体方针、政策的依据 D．全党统一思想、统一行动的基础 E．基本纲领的展开 10、经济建设、改革开放、四项基本原则的相互关系是________。A．经济建设是中心 B．改革开放是动力 C．四项基本原则是政治保证 D．四项基本原则是目的 E．经济建设是目的 11、我国正处于社会主义的初级阶段，其基本特征是________。A．生产力发展的整体水平比较低，又具有多层次和不平衡性B．社会主义的经济政治制度还不够完善 C．阶级斗争已经不是我国社会的主要矛盾，但还在一定范围内长期存在，在某种条件下还有可能激化 D．社会主义精神文明建设还是一项重大战略任务 E．以马克思主义为指导的社会主义意识形态的统治地位已经确立，但非社会主义的意识形态也大量存在 12、中国共产党的群众路线的内容包括________。 A．一切为了群众 B．一切依靠群众 C．一切相信群众 D．从群众中来 E．到群众中去 13、消除贫困，逐步实现共同富裕是________。 A．社会主义建设目标的要求 B．社会主义本质的要求 C．社会主义制度优越性的体现 D．社会主义市场经济的要求 E．社会主义的根本原则和本质特征 14、我们党代表中国最广大人民的根本利益，这取决于________。

第12章习题解答

第12章习题解答 12.1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数 1 (1)()()0;(0)0,()0(2)()()0;(0)0,()0(3)()()0;()0,()0X x X x x x l X x X x x x l X x X x x a x b λλλ'''+===''''+===''+===【答案 2222121 (1)( π),0,1,2,;()sin π22(2)(π),0,1,2,;()cos ππ(3)(π),1,2,;()sin ()n n n n n n n n n X x x l l n n n X x x l l n n n X x x a b a b a λλλ++=========---】 12.2 长为l 的杆，一端固定；另一端受力0F 而伸长，求解放手杆的振动. 【 答案 022011()π()π8122(1)cos sin π(21)n n n at n x F l YS n l l ∞ =++-+∑】 12.3 长为l 的的弦，两端固定，弦中张力为T . 在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然 后突然撤除此力，求弦的振动. 【答案 初始位移＝00()/(), (0)F l x x lT x x -<<， 00000221()/()() 2π1π(,)sin sin cos πn F x l x lT x x l F l n x n x n at u x t T n l l l π∞==-<<=∑】 12.4 一个长宽各为a 的方形膜，边界固定，膜的振动方程为 2222 22()0; (0,0)u u u x a y a t x y ???-+=<<<??==>= (3)(,0)(), (0,) (4) t u x x x l ψ?????????=∈