近物—角动量算符习题

本题基本信息表

题目 (1)利用量子力学的基本对易式和对易式恒等式，试证明： ?[,]0x L x =， ?[,]i x L y z = ， ?[,]i x

L z y =- ， ?[,]i y L x z =- ， ?[,]0y L y =， ?[,]i y

L z x = ， ?[,]i z L x y = ， ?[,]i z L y x =- ， ?[,]0z

L z = 以上各式可以概括为

?[,]i L x hx αβαβγγ

ε= （2）试证明：?[,L α?]p β=?i p αβγγε ，?[,L α?]L β=?i L αβγγ

ε ．

参考解答

解题分析 角动量算符是用坐标和动量算符来表达的，所以要利用坐标与动量之间的对易关系．

解题过程

证明：（1）利用角动量算符定义式和基本对易式，可得：

?[,]x

L x =?[z yp -?,]y zp x ＝?[,]z y x p +?[,]z y p x -?[,]y z x p -?[,]0y z p x = ?[,]x

L y =?[z yp -?,]y zp y

=?[,]z y y p

+?[,]z y p y -?[,]y z y p -?[,]y z p y =?[,]i y z p y z -= ?[,]x

L z =?[z yp -?,]y zp z =?[,]z y z p

+?[,]z y p z -?[,]y z z p -?[,]y z p z =?[,]i z y p z y =- 同样还可以得到：

?[,]i y L x z =- ， ?[,]0y L y =， ?[,]i y

L z x = ， ?[,]i z L x y = ， ?[,]i z L y x =- ， ?[,]0z

L z = 以上各式可以概括为

?[,]i L x hx αβαβγγ

ε=. 其中αβγε是勒维-契维塔符号αβγε

(2)采用与（1）类似的方法，可得：

?[,x

L ?]x p =?[z yp -?,y zp ?]x p =?[,]x y p ?z p +?[,z y p ?]x p -?[,]x z p ?y p -?[,y z p ?]x p =0， ?[,x

L ?]y p =?[z yp -?,y zp ?]y p =?[,]y y p ?z p =?i z p ， ?[,x

L ?]z p =?[z yp -?,y zp ?]z p =?[,]z z p -?y p =?i y p - . 关于?[,L α

?]p β=?i p αβγγε 的证法完全类似，证明从略．

大学物理动量与角动量练习题与答案

第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?=? ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． m m 0 图3-11 ? 30v ? 2 图3-15 θ m v ? R 图 3-12

大学物理动量与角动量练习题与答案

大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R

角动量习题

第五章 角动量 习题 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 439km =近，远地点d 2384km =远，地球半径R 6370km =地，求卫星在近地点和远地点的速度之比. [解 答] 卫星所受的引力对O 点力矩为零，卫星对O 点角动量守恒。 r m =r m νν远远近近 2384+6370 1.29439+6370d +R r r d +R νν====远近远地远近近地 5.1.2 一个质量为m 的质点沿着一条由??r =acos ti bsin tj ωω+定义的空间 曲线运动，其中a,b 及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. [解 答] 2222????????()r =acos ti bsin tj a sin ti b cos tj a =-a cos ti b sin tj acos ti bsin tj r ωωνωωωωωωωωωωωω+=-+-=-+=- 2F m r ω=-，通过原点0τ=。 5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场??2F =(3t -4t)i +(12t -6)j 中运动，其中t 是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩. [解 答]

已知，m=1kg 有牛顿第二定律 F ma = 1??a F m 2(3t -4t)i +(12t -6)j = = 0d a ,t 0,0 dt νν=== t t 322??d adt dt ??=(t 2t )(6t 6t)2(3t -4t)i +(12t -6)j i j ν νν∴==-+-??? 同理由 ,t 0,0dr r dt ν= == t 3220 ??d [(t 2t )(6t 6t)]dt r r i j =-+-? ? ??423212r =(t -t )i +(2t -3t )j 43 ????4t =2:r =i 4j,F =4i 18j 3-++ 0????M r F ()()4i 4j 4i 18j 3=?=-+?+ x y y y x x x y y x x y ??? i j k ???A B A A A (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k B B B z z z z z z ?==-+-+- 0??? i j k 4?M 4 040k 3 4 18 0 =-=- 5.1.4 地球质量为24 6.010kg ?，地球与太阳相距6 14910km ?，视地球为 质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量. [解 答] 2L rm mr , 2(rar/s) 365243600νωπ ω===?? 将 624r 14910km,m 6.010kg =?=?代入上式得 402L 2.6510kg m /s =??

自旋和角动量

第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系

总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，

动量和角动量习题思考题

习题 4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量I T 。 解： （1）根据冲量定理：???==t t P P d dt 0 ? ?P P F 其中动量的变化：0v v m m - 在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I 为零 （2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。 重力产生的冲量=mgT=2mg /；所以拉力产生的冲 量2 mg /，方向为竖直向上。 4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时

间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力F 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到s 间所做的功。 解： （1）由做功的定义可知： J S v Fdt v Fvdt Fdx W x 6.1253 1 3 1 x 2 1 =?====???椭圆 （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。 4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为 j i r t b t a ωωsin cos +=，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。

动量与角动量习题解答

第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 ; 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 ￥ 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图

A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 ; 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 《 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 { 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N s ，则两船分离的相对

2021年力矩与角动量的关系

在物理学里，作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，[1]称为力矩（torque）。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。 欧阳光明（2021.03.07） 根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位； 力矩的表示符号是希腊字母，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。

力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用 力。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。角动量是矢量。

其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为： 其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的 是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒 没有直接的联系。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 若物体(或系统)所受外力矩和为零,则物体(系统)的角动量守恒. 例如静电力或万有引力均是径向力. 因此不会产生力矩. 行星运动的相互作用力源自于万有引力.故行星运动满足角动量守恒. 所对应的就是开普勒行星运动定律中的第二定律. 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性。例如，当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行

动量与角动量习题解答

第三章动量与动量守恒定律习题 一选择题 1?两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹 解J 答案是Bo 简要提爪；I =m(V2 -&1) 2. 质量为刃的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间 为打击前锤的速率为r,则打击时铁锤受到的合外力大小应 解J 答案是Do 简要提爪:F = ntu 3. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以500 ra ? S '的速率射 性球, 它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有: A. 地面给予两球的冲量相同; B. 地面给予弹性球的冲量较大; C. 地面给予非弹性球的冲量较大; A. 无法确定反冲量谁大谁小。 A "Q A. --- + we B- mfi 「 mv c.

入一木块后，与木块一起仍沿亍丫轴正向以50m?s「'的速率前进, 在此过程中木块所受冲量的大小为：（ A. B. -9 N ? S C. 10 N ? S D. - 10 N ? S 解：答案是Ao 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理, 子弹受到的冲量为: I = m（V2一6）= —9N r 所以木块受到的冲量为9 N-S 4.将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从 板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是: A.静止不动:

B.朝质量大的人的一端移动; C.朝质量小的人的一端移动; D.无法确定。 解：答案是B。 简要提示：取也I的运动方向为正方向，板的运动速度为许, 由系统的动量守恒: ”"(V + Zf')+ ”山(v'-v) + Z” = 0 ,得：v' = ——_———V " Wj + 加2 + /?0 如果处＞甌,贝ij讨＞0;如果冊＞公，则/ ＜0。 5.体重.身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无靡 擦轻滑轮的绳子各一端.他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到 达顶点的情况是 A.甲先到达; B.乙先到达; C.同时到达; D.谁先到达不能确定. 解；答案是C. 简要提示：两人作为一个系统，受到的合外力为零，所以系统的动量守恒，即两人相对地面的速度大小相同，所以两人同时

力矩与角动量的关系

而扭转则涉及到力矩。 根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位； 力矩的表示符号是希腊字母，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。 力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的 方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。

角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。角动量是矢量。 其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为： 其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的 条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不 变。当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。

动量与角动量习题解答(终审稿)

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第三章 动量与动量守恒定律习题 一 选择题 1. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 2. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ） A ． mg t m +?v B ．mg C ． mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。

简要提示：v m t F =?? 3. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m s –1 的速率射 入一木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50 m s –1 的速率前 进，在此过程中木块所受冲量的大小为：( ) A ． 9 N·s B ．–9 N·s C. 10 N·s D.–10 N·s 解：答案是A 。 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理，子弹受到的冲量为： s N 9)(12?-=-=v v m I 所以木块受到的冲量为9 N·s 。 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人 选择题4

从板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） A. 静止不动； B. 朝质量大的人的一端移动； C. 朝质量小的人的一端移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，板的运动速度为v ，由系统的动量守恒： 0021='+'+'+v v)-v ()v (v m m m ，得：v v 0 211 2m m m m m ++-= ' 如果m 2> m 1，则v ′> 0; 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 ( ) A. 甲先到达； B. 乙先到达； C. 同时到达； D. 谁先到达不能确定．

大学物理动量与角动量练习题与答案

一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与 摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以 同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v 1＝ 图3-11 图3-15

大学物理_动量和角动量习题思考题与答案

) s 习题4 4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I v ； （2）质点所受力T 的冲量T I v 。 解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12v v =v v ，由I mv =?v v ， ∴旋转一周的冲量0I =v ； （2）如图该质点受的外力有重力和拉力， 且cos T mg θ=，∴力T 旋转一周的冲量： 2cos T I T j mg j πθτω =?=?v v v 所以拉力产生的冲量为2mg πω ，方向竖直向上。 4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。已知其中一力 F v 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力F v 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到3s 间所做的功。 解：（1）半椭圆面积?====?=????v t F v t Fv x F x F A d d d d ρ ? J 6.125402012 1 4==???=ππ （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的 总功为零，所以当该F v 做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。 4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面运动，运动学方程为 cos sin r a t i b t j ωω=+v v v ，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P mv =v v ，而d r v dt ==v v sin cos a t i b t j ωωωω-+v v ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=--v v v ；

大学物理动量与角动量练习题与答案

一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与 摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以 同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v 1＝ 02m v m m - + 。 (2) 第二只船运动的速度为v 2＝0 2m v m 。 （水的阻力不计，所有速度都图3-11 图3-15

《大学物理》习题册题目及答案第3单元 角动量守恒定律

第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相

同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____

力矩和角动量定理

定义1 向量的向量积 设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则存在向量c，满足 （1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ； （2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。 这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为 c = a × b 注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a × b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a × b与向量a和b构成的平面垂直，即a × b与a和b都垂直。 向量a和b的向量积a × b满足以下运算性质： （1）反交换律：a × b = ? b × a；图1.1 向量的向量积 （2）分配律：(a + b) × c = a × c + b × c； （3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a × b)（λ为任意实数）。 根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）： （1）a × a = 0； （2）设a和b为两个非零向量，则有a × b = 0 ? a∥b。 设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有 （1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0； （2）i × i = j × j = k × k = 0； （3）i × j = k，j × k = i，k × i = j，图1.2 基向量之间的关系 j × i = ? k，k × j = ? i，i × k = ? j。 向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略） a × b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk) = (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k = (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx) 向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：a × b ==i ?j +k

习题五1 角动量守恒

学号 姓名 习题五 角动量守恒 要求：1、理解角动量的概念和物理意义，理解角动量守恒定律； 2、能结合能量，角动量处理包括质点，刚体系统的力学问题 一、选择题 1、质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上，平台可以绕通过其中心的竖直 光滑定轴自由转动，转动惯量为J ，平台和小孩开始时均静止，当小孩突然以相对于地面为v 的速度在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对于地面旋转的角速度和旋转方向分别为（ ） A 、)(2R v J m R =ω，顺时针 B 、)(2R v J m R =ω，逆时针 C 、)(22R v m R J m R +=ω，顺时针 D 、)(22R v m R J m R +=ω，逆时针. 2、一质量为20g 的子弹，以400m ／s 的速率，与竖直方向成 030夹角射入一原来静止的质量为980g 的摆球中，摆线长 度不可伸缩，子弹射入后与摆球一起运动的速率为（ A 、4m ／s B 、8m ／ s C 、2m ／s D 、7m 3射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一直线 上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬 间，圆盘的角速度 （ ） A 、增大 B 、不变 C 、减小 D 、不能确定 4、一根长为l ，质量为m 的均匀细直棒在地上竖立着，若让竖立着的棒以下端着地点 为轴倒下，当上端达地面时，上端速率应为（ ） A 、gl 6 B 、gl 3 C 、gl 2 D 、gl 2 3 二、填空题 1、 质量为m ，半径为R 上有一质量为0m ，长度为l 触，不产生相对滑动，若用恒力F 始通过轮子下方。则板刚与轮子脱离接触时速率v = ，板通过轮子的时间Δt= 。 2、 如图所示，一细绳通过光滑水平桌面上的细孔系一质量为m 的小球，初始时桌面 上细绳的长度为0r ，小球以0ω的角速度在桌面上作圆周运动，则下端给于细绳的

专题六：力矩和角动量

专题六：力矩和角动量 例1．如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦力足够大。求: （1）地给圆环的摩擦力； （2）求A 、B 两点静摩擦因数的取值范围。 例2．有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB 拉住。板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。 例3．有一质量为m =50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。 （1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5（L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能超过多少？ （2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？ 例4．如图所示，矩形板N 上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A 、B 、C ，通 过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M 上。一柔性带按图示方式绕过 两圆柱后，两端被施以拉力T'=T =600 N ，且T'∥T ，相距40 cm ；已知AB = 30 cm ，AC =145 cm ，BC =150 cm 。为了保持物块静止， (1)若将两个销钉分别插入A 、B 中，这两个孔将受受怎样的力？ (2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？此时所插的销钉受力多大？ 例5. 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平A B θ

角动量(习题)

第六讲角动量及综合课后练习 1.质量为m的小球在(x1，0，0)点由静止释放,设重力加速度沿-z方向。试求： (1)小球受到的重力相对于原点O的力矩 (2)小球相对于原点O的角动量随时间的变化关系。 2.一圆锥摆的摆球以恒定角速度ω作圆周运动,圆周半径为R,摆线长l,分别求摆球相对 圆心O和悬挂点O′的角动量 3.光滑水平面上有一小球A被一轻绳拴住,轻绳穿过平面上小孔O与小球B连接,开始时 A球在水平面上绕O做匀速圆周运动,B球静止地向下垂挂着,如图所示,今使小球B的质量缓慢增加,直到A球绕O点做匀速圆周运动的半径缩短一半,试问此时B球的质量为初始质量的多少倍?

4.在光滑水平面上,一个质量为m的质点系于一根原长为a的轻橡皮绳的一端,橡皮绳的 另一端系于桌面上一个固定点O,橡皮绳拉伸时的劲度系数为k,若质点在开始时被拉至距O点距离为2a处,并给质点在垂直于橡皮绳方向以初速度V。 (1)为使质点绕O点作圆周运动,求V的大小 (2)为使橡皮绳不松弛,V的最小值V m (3)当0

动量算符和角动量算符

§4.3 动量算符和角动量算符 重点： 动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征 （一）动量算符 动量算符是 （4.3-1）动量的三个投影算符是 （4.3-2） 动量算符的本征值方程为 （4.3-3） 式中P是动量算符的本征值，是属于这个本征值的本征函数，（4.3-3）式的三个发量的本征值方程为 （4.3-4）

它们的解是 （4.3-5） ，可使得动量本征函数归一化为函数。即取 取归一化常数 （4.3-6） 得出（4.3-7）（二）角动量算符 角动量算符 分量式 （4.3-8） 角动量平方算符 （4.3-9） （4.3-11） 的本征值方程为

（4.3-12） 把球极坐标中的表达式（4.3-11）代入（4.3-12）得 （4.3-13） 式中是算符的属于本征值的本征函数。（4.3-13）式正是氢原子 的角量方程（3.4-7），要使波函数 在变化的整个区域内都是有限的，必 须有 （4.3-14） 因此的本征值 （4.3-15） 相应的本征函数 （4.3-16） 本征值方程 （4.3-17） 角动量z分量的本征值方程为 （4.3-18）

容易求得的本征函数和本征值分别为 （4.3-19） （4.3-20） 因为 ，所以也是的本征函数，满足本征值方程 （1）和的本征值都是量子化的（分立值）。的取值由角量子数l唯一地决 定，即的取值由磁量子数m唯一地决定，即 是角动量分量的本征值，所以 ，由于 （的本征值的开方），但是整数，因此。 和有共同的本征函数。我们知道，在一个力学量的本征态下 （2） 测量该力学量，其结果必然是相应的本征值，既然 是和的共同本征态， 态中，和同时有确定的测量值，分别为和。 所在 能够同时满足算符的本征 同理，波函数 态中，都同时有确定值。 值方程，即它是这三个算符的共同本征态，因此在