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水塔水流量估计问题

水塔水流量估计问题

一.问题描述

某居民区有一供居民用水的园柱形水塔,一般可以通过测量其水位来估计水的流量,

但面临的困难是,当水塔水位下降到设定的最低水位时,水泵自动启动向水塔供水,到设定的最高水位时停止供水,这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量.

通常水泵每天供水一两次,每次约两小时.

水塔是一个高12.2米,直径17.4米的正园柱.按照设计,水塔水位降至约8.2米时,水泵自动启动,水位升到约10.8米时水泵停止工作.

表1 是某一天的水位测量记录,试估计任何时刻(包括水泵正供水时)从水塔流出的水流量,及一天的总用水量.

表1 水位测量记录

(符号//表示水泵启动)

时刻(h) 水位(cm) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822

时刻(h) 水位(cm) 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892

时刻(h) 水位(cm) 19.0419.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 866 843 822 // // 1059 1035 1018

二.流量估计的解题思路

拟合水位~时间函数

拟合水位~时间函数拟合水位~时间函数

1.拟合水位~时间函数

测量记录看,一天有两个供水时段(以下称第1供水时段和第2供水时段),和3个水泵不工作时段(以下称第1时段t=0到t=8.97,第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后)。

对第1、2时段的测量数据直接分别作多项式拟合,得到水位函数.为使拟合曲线比较光滑,多项式次数不要太高,一般在3~6.由于第3时段只有3个测量记录,无法对这一时段的水位作出较好的拟合。 2.确定流量~时间函数

对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可,对于两个供水时段的流量,则用供水时段前后(水泵不工作时段)的流量拟合得到,并且将拟合得到的第2供水时段流量外推,将第3时段流量包含在第2供水时段内. 3.一天总用水量的估计

总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和,它们都可以由流量对时间的积分得到。

三.算法设计与编程

1、拟合第1时段的水位,并导出流量

设t ,h 为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入),第1时段各时刻的流量可如下得:

1) c1=polyfit (t (1:10),h (1:10),3);

%用3次多项式拟合第1时段水位,c1输出3次多项式的系数

2)a1=polyder (c1);

% a1输出多项式(系数为c1)导数的系数

3)tp1=0:0.1:9;

x1=-polyval (a1,tp1);% x1输出多项式(系数为a1)在tp1点的函数值(取负后边为正值),即tp1时刻的流量

4)流量函数为:

1079

.227173.22356.0)(2

-+-=t t t f

水塔水流量估计问题

2、拟合第2时段的水位,并导出流量

设t,h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个

时刻不输入),第2时段各时刻的流量可如下得:

1)c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3);

%用3次多项式拟合第2时段水位,c2输出3次多项式的系数

2)a2=polyder(c2);

% a2输出多项式(系数为c2)导数的系数

3)tp2=10.9:0.1:21;

x2=-polyval(a2,tp2); % x2输出多项式(系数为a2)在tp2点的函数值(取负后边为正值),即tp2时刻的流量

4)流量函数为:

水塔水流量估计问题

1994

.

34

9045

.

15

2173

.1

0284

.0

)(2

3+

-

+

-

=t

t

t

t

f

3、拟合供水时段的流量

在第1供水时段(t=9~11)之前(即第1时段)和之后(即第2时段)各取几点,其流量已经得到,用它们拟合第1供水时段的流量.为使流量函数在t=9和t=11连续,我们简单地只取4个点,拟合3次多项式(即曲线必过这4个点),实现如下:

xx1=-polyval (a1,[8 9]); %取第1时段在t=8,9的流量 xx2=-polyval (a2,[11 12]); %取第2时段在t=11,12的流量 xx12=[xx1 xx2];

c12=polyfit ([8 9 11 12],xx12,3); %拟合3次多项式 tp12=9:0.1:11;

x12=polyval (c12,tp12); % x12输出第1供水时段各时刻的流量 拟合的流量函数为:

水塔水流量估计问题

水塔水流量估计问题

在第2供水时段之前取t=20,20.8两点的流水量,在该时刻之后(第3时段)仅有3个水位记录,我们用差分得到流量,然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下: dt3=diff (t(22:24)); %最后3个时刻的两两之差 dh3=diff (h(22:24)); %最后3个水位的两两之差 dht3=-dh3./dt3; %t(22)和t(23)的流量 t3=[20 20.8 t(22) t(23)];

1

.10785049.3368448.341731.1)(23+-+-=t t t t f

xx3=[-polyval(a2,t3(1:2)),dht3]; %取t3各时刻的流量 c3=polyfit (t3,xx3,3); %拟合3次多项式 tp3=20.8:0.1:24;

x3=polyval (c3,tp3);% x3输出第2供水时段(外推至t=24)各时刻的流量 拟合的流量函数为:

水塔水流量估计问题

水塔水流量估计问题

4、一天总用水量的估计

第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和,就是一天总用水量.虽然诸时段的流量已表为多项式函数,积分可以解析地算出,这里仍用数值积分计算如下:

y1=0.1*trapz(x1); %第1时段用水量(仍按高度计),0.1为积分步长 y2=0.1*trapz(x2); %第2时段用水量 y12=0.1*trapz(x12); %第1供水时段用水量 y3=0.1*trapz(x3); %第2供水时段用水量

8

.44966844.6158430.274181.0)(23-+-=t t t t f

y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01; %一天总用水量 (L m 103

3

计算结果:y1=146.1815, y2=266.4409, y12=48.5004, y3=74.8064,y=1274.4

水塔水流量估计问题

5、流量及总用水量的检验

计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验.用水量y1可用第1时段水位测量记录中下降高度968-822=146来检验,类似地,y2用1082-822=260检验.

供水时段流量的一种检验方法如下:供水时段的用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量,除以时段长度得到水泵的功率(单位时间泵入的水量),而两个供水时段水泵的功率应大致相等.第1、2时段水泵的功率可计算如下:

p1=(y12+260)/2; %第1供水时段水泵的功率(水量仍以高度计) tp4=20.8:0.1:23;

xp2=polyval (c3,tp4); % xp2输出第2供水时段各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2;%第2供水时段水泵的功率(水量仍以高度计) 计算结果:p1=154.2502 ,p2=142.3670

水塔水流量估计问题

四.计算结果(3,4)流量函数为:(56)流量函数为:画图

水塔水流量估计问题

水塔水流量估计问题

水塔水流量估计问题

(n1,n2)y1 y2 y12 y3 y p1 p2 (3,4) 146.1815 266.4409 48.5004 74.8064 1274.4 154.2502 142.3670 (5,6) 146.5150 265.5417 46.1317 72.6057 1262.2 153.0659 141.4479

?

?

?

?

?

?

?

-

+

-

<

+

-

+

-

<

+

-

+

-

<

-

+

-

=

24

21

8.

4496

6844

.

615

8430

.

27

4181

.0

21

11

1.

1078

5049

.

336

8448

.

34

1731

.1

11

9

1994

.

34

9045

.

15

1.2173

0284

.0

9

1079

.

22

7173

.2

2356

.0

)(

2

3

2

3

2

3

2

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t f

?

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?

?

?

?

-

+

<

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+

-

<

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+

+

-

<

-

+

+

-

=

24

21

4.

3551

490.5600

22.3526

-

3382

.0

21

11

4974

.

362

112.7045

-

11.8065

3930

.0

11

9

8447

.2

0.8873

-

0.1078

0.0065

-

0.0002

0.0000

9

8296

.

23

5.7108

1.5878

-

0.2224

0120

.0

)(

2

3

2

3

2

3

4

5

2

3

4

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t f

n=(3,4)n=(5,6)