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概率论与数理统计习题库,第一章

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第一章 #00001

写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: （1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）将一枚均匀的硬币抛出两次，

A: 第一次出现正面 B: 两次出现同一面 C: 至少有一次出现正面

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只，

球的最小号码为1．

（4）一个口袋中有2只白球、3只黑球、4只红球，从中任取一球，

A: 得白球， B: 不得红球

*00001 #00002

在数学系中任选一名学生，令事件A 表示该生为男生，事件B 表示该生为三年级学生，事件C 表示该生为运动员．

（１）（１）叙述事件C AB 的意义（２）（２）在什么条件下ABC=C 成立？

（３）（３）什么时候关系式C ?B 是正确的？

（４）（４）什么时候B A =成立？ *00002

#00003长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417

一个工人生产了n 个零件，事件

A i ="该工人生产得第i 个零件是正品" i ＝1、2、、n

用A i 表示下列事件：

（１）（１）没有一个零件是次品；（２）（２）至少有一个零件是次品；（３）（３）仅仅只有一个零件是次品；（４）（４）至少有两个零件是次品． *00003 #00004

A 、

B 是两个事件．证明下列关系等价

B A ?，B A ?，B B A = ，A B A = ，φ=B A

*00004 #00005

把A 1? A 2?? ? A n 表示为不相容事件的和． *00005

#00006长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417

证明：若（A-B ）?（B-A ）? C ，则A ?（B-C ）?（C-B ）的充要条件是ABC= φ． *00006 #00007

一部五卷文集任意地排列到书架上，文卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？ *00007 #00008

在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成

分数，求所得分数为既约分数得概率．

*00008

#00009

有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9．从这五条线段中任取三条，求所取三条线段恰好能构成三角形的概率．

*00009

#00010

把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面（k=0、1、2、3）涂有颜色的概率．

*00010

#00011

一个小孩用13个字母A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏．如随机地排列字母，问他组成＂MATHEMATICIAN＂的概率是多少？

*00011

#00012

甲从2、4、6、8、10中任取一数，乙从1、3、5、7、9中任取一数，求甲取的数大于乙取的数的概率．

*00012

#00013

在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红＂车＂及一只黑＂车＂，求它们正好可以互相吃掉的概率．

*00013

#00014

一批灯泡有40只，其中有3只是坏的，从中任取5只检查．问：（1）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只是坏的概率是多少？

*00014

#00015

一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客．电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率．

*00015

#00016

从一副扑克牌（52）张中任取6张，求得三张红色三张黑色牌的概率．

*00016

#00017

掷两个骰子，求所得的两个点数一个恰是另一个的两倍的概率．

*00017

#00018

掷三颗骰子，求所得的三个点数中最大的一个恰是最小的一个的两倍的概率．

*00018

#00019

一个班上有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率．

*00019

#00020

某城市共有自行车10000，牌照编号从00001到10000．问事件＂偶然遇到一辆牌照编号中有数字8的自行车＂的概率是多少？

*00020

#00021

从n个数1、2、3、、n中随机地取出两个数（不重复），问其中一个小于k（1

*00021

#00022

有2n个数字，其中n个是0，n个是1．从中任取两数，求所取两数之和为0或为偶数的概率．

*00022

#00023

在十个数字0、1、2、?、9中任取四个数（不重复），能排成一个四位偶数的概率是多少？*00023

#00024

四颗骰子掷一次至少得一个一点与两个骰子掷24次至少有一次得两个一点，哪一个概率大？

*00024

#00025

从一副扑克牌（52张）中任意抽出10张，问

（１）（１）至少有一张＂A＂的概率是多少？

（２）（２）至少有两张＂A＂的概率是多少？

*00025

#00026

一个中学有十五个班级，每班选出三个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出15名组成工作委员会．求下列事件的概率

（１）（１）一年级（一）在委员会中有代表；

（２）（２）每个班级在委员会中均有代表．

*00026

#00027

设甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中有c只白球d只黑球．今从两袋中各取一球，求所得两球颜色不同的概率．

*00027

#00028

一口袋中有a只白球b只黑球，从中连续取球三次（不返回），求三只球依次为黑白黑的概率．

*00028

#00029

从数1、2、3、?、n中随机地取出两个数，求所取两数之和为偶数的概率．

*00029

#00030

任取两个正整数，求它们之和为偶数的概率．

*00030

#00031

任取一个正整数，求下列事件的概率：

（１）（１）该数的平方的末尾数字是1；

（２）（２）该数的四次方的末尾数字是1；

（３）（３）该数的立方的最后两位数字是1．

*00031

#00032

设每个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不是都在同一天的概率．

*00032

#00033

一个小组有8个学生，问这8个学生的生日都不相同的概率是多少？（一年有365天）

*00033

#00034

n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：

（１）（１）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边；

（２）（２）甲、乙、丙三人坐在一起；

（３）（３）若n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率．

*00034

#00035

把n个＂0＂与n个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连续在一起的概率．

*00035

#00036

从一个装有白球、黑球与红球各n个的口袋中任取m个球，求其中有m1个白球、m2个黑球、m3个红球的概率．（m1+ m2 +m3=m）

*00036

#00037

从一个装有n个白球、n个黑球的口袋中逐一取球（不返回，直至取完为止），求黑白球恰好相间取出的概率．

*00037

#00038

从一个装有a个白球、b个黑球的口袋中逐一取球（不返回），直至留在袋中的球都是同一中颜色为止．求最后是白球留在袋中的概率．

*00038

#00039

有mn个球，其中一个是黑球，一个是白球，其余的都是红球．把这mn个球放在m个袋中，每袋放n个球．求黑球与白球恰好在一袋中的概率．

*00039

#00040

从n双尺码不同的鞋子中任取2r只（2r

（１）（１）所取的2r只中没有两只成对；

（２）（２）所取的2r只中只有两只成对；

（３）（３）所取的2r只中只有恰成r对．

*00040

#00041

在一口袋中装有n种颜色的球，每种颜色的球只有k只．从中任取r只（r n），求所取r 只球颜色全部都不相同的概率．

*00041

#00042

把n根同样长的棒都分成长度为1与2之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根＂新棒＂．求下列事件的概率：

（１）（１）全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的，

（２）（２）全部新棒的长度都与原来的一样．

*00042

#00043

一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后请另一人把六个头两两相连接，六个尾两两相连接．求放开手后六根草恰好连成一个环的概率．

试把该结果推广到2n根草的情形．

*00043

#00044

把n个不同的球随机地放入n个匣子中去，求恰有一个空匣的概率．

*00044

#00045

一个教室共有n+k个座位，随机地坐上n个人．求其中指定的s个座位(s

*00045

#00046

设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住(n ≤N)．求下列事件的概率：

（１）（１）指定的n 个房间里各有一人住的概率，（２）（２）恰有n 各房间，其中各住一人． *00046 #00047

甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n 次．求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率． *00047 #00048

从数1、2、3、?、N 中不重复地任取n 个数(n ≤N)按大小排成一列：

x 1

求x m =M （m ≤M ≤N ）的概率． *00048 #00049

从数1、2、3、?、N 中可重复地任取n 个数按大小排成一列：

x 1≤x 2≤?≤x m ≤?≤x n

求x m =M （m ≤M ≤N ）的概率． *00049 #00050

已知事件A 、B 的概率都是1/2，证明：

P(AB)=)B A P(

*00050 #00051

设事件A 与B 同时发生比导致C 发生，证明：

P(A)+P(B)-1≤ P(C)

*00051 #00052

对任意事件A 、B 、C ，证明：

P(AB)+P(AC)-P(BC) ≤ P(C)

*00052 #00053

设A 、B 、C 为三个事件，且

P(A)=x 、P(B)=2 x 、P(C)=3 x P(AB)=P(AC)=P(BC)= y

证明：x ≤1/4，y ≤1/4． *00053 #00054

从装有红、白、黑各一个球的口袋中任意取球（取后放回），直至各种颜色的球都至少出现一次为止．求

（１）（１）摸球次数不少于6次的概率，（２）（２）摸球次数恰好为6次的概率． *00054 #00055

从一副扑克牌中（有返回地）任意抽取n 张(n ≥4)，求这n 张牌包含全部四种花色的概率． *00055 #00056

甲乙从1、2、3、?、15中各任取一数（不重复），已知甲取的数是5的倍数，求甲数大于

乙数的概率． *00056 #00057

袋中有一个白球及一个黑球，一次次地从中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都没有取到黑球的概率． *00057 #00058

甲袋中有两个白球四个黑球，乙袋中有四个白球两个黑球．现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n 次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n 次．若已知摸到的n 个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率． *00058 #00059

两个体育协会各有排球、足球、篮球队各一个，同类球队进行比赛时协会A 的各队胜协会B 的各队的概率分别为0.8、0.4、0.4（不可能平局）．若一个协会在三次比赛中至少胜两次就称获胜，问哪一个协会获胜的可能性大？ *00059 #00060

两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被中断了．此时第一个赌徒还需赢得m 局才获胜，第二个赌徒还需赢得n 局才能获胜，问如何分配赌本才合理． *00060 #00061

把n 个不同的球随机地放入N 个匣子．求某指定的一个匣子中恰有r 个（r ≤n ）球的概率． *00061 #00062

甲乙两人各掷均匀硬币n 次，求两人掷出正面次数相同的概率． *00062 #00063

甲乙两射手轮流对同一目标进行射击，甲命中的概率为p 1，乙命中的概率为p 2，甲先射，谁先命中谁得胜．问甲乙两人获胜的概率为多少？ *00063 #00064

设甲袋中有k 个白球及1个黑球，乙袋中有k ＋1白球，每次从两袋中各任取一球，交换放入对方的袋中．求经过n 次交换后，黑球仍在甲袋中的概率为p n ，证明：

p lim n =∞→n

*00064 #00065

做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ．求在试验成功n 次之前至少失败m 次的概率． *00065 #00066

掷均匀硬币n+m 次，已知至少出现一次正面，求第一次正面出现在第n 次的概率． *00066 #00067

做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ．求第n 次试验时得到第r 次成功的概率． *00067 #00068

某数学家有两盒火柴，每盒有n 根．每次用火柴时他在两盒中任取一盒，抽出一根．求他用完一盒（既拿出最后一根）时，另一盒中还有r （1≤r ≤n ）根的概率． *00068 #00069

掷m+n次均匀硬币（m>n），求至少连续出现m次正面的概率

*00069

#00070

掷均匀硬币直至第一次出现连接两个正面为止，求这时共掷了n次的概率．

*00070

#00071

在线段(0,1)中任取十个点，求其中三点在区间（0,1/4）中，四点在区间（1/4,2/3），三点在区间（2/3,1）中的概率．

*00071

#00072

有两只口袋，甲袋中3只白球2只黑球，乙袋中装有2只白球5只黑球．任选一袋，并从中任取一球，问此球是白球的概率是多少？

*00072

#00073

袋中装有m(m≥3)个白球和n个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色，为了猜测它是什么颜色，随机地从罐子中取两个球，结果均为白球，问失去的是白球的概率是多少？*00073

#00074

袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取5个球放入空袋中，再从此5个球中任取3个球放入另一个空袋中，最后从第三个袋子中任取一球为白球，问第一次取出的球均为白球的概率？

*00074

#00075

一个质点从平面上某一点开始等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为1．求经过2n次游动后回到出发点的概率．

*00075

#00076

写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点。

（1）（1）掷一颗骰子，出现奇数点。

（2）（2）将一枚均匀硬币抛二次，

A：第一次出现正面，

B：两次出现同一面，

C：至少有一次出现正面，

（3）（3）一个口袋中有五只外形完全相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取3只球，球的最小号码为1。

*00076

解：（1）设S 为样本空间，A为所求事件，则

S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}。

（2）设S 为样本空间，则

S ={OO，O?，?O，??}，??正面，O?反面。

A={?O，??}，

B={OO，??}，

C={O?，?O，??}。

（3）设S 为样本空间，A为所求事件，则

S={123，124，125，134，135，145，234，235，245，345}，

A={123，124，125，134，135，145}。

#00077

靶子由10个同心圆组成，半径分别为r1、r2、…、r10，且r1

（1）k

k A 6

1= （2）k

k A 8

1= （3）21A A

*00077 解：（1）命中半径为r 6的圆内，

（2）命中半径为r 1的圆内，

（3）命中点在半径为r 1的圆外，半径为r 2的圆内。 #00078

将下列事件用A 、B 、C 表示出来

（1）（1） A 发生，

（2）（2） A 与B 都发生而C 不发生，（3）（3）三个事件都发生，

（4）（4）三个事件中至少有一个发生，（5）（5）三个事件中恰好有一个发生，（6）（6）三个事件中至少有两个发生，（7）（7）三个事件中恰好有两个发生， *00078

解：（1） A (5) C B A C B A C B A (2) C AB (6) ABC BC A C B A C AB

(3) (3) ABC (7) BC A C B A C AB

(4) (4) A ?B ?C #00079

把A 1?A 2 ?…?A n 表示为互不相容事件的和。 *00079

解：A 1?A 2 ?…?A n =A 1?( A 2- A 1) ?( A 3- A 1?A 2) ?…?(A n - A 1?A 2 ?…?A n-1)。 #00080

设A 、B 为两个事件且P(A )=0.6，P(B )=0.7。问（1）在什么条件下P(AB )取最大值，最大值

是多少？（2）在什么条件下P(AB )取最小值，最小值是多少？ *00080

解： P(AB )= P(A )+P(B )－P(A ?B )

（1）（1）显而易见，当A ?B 时P(A ?B ) 最小，则P(AB ) 最大，其最大值为P(A )+P(B )

－P(A ?B )= P(A )=0.6。

（2）（2）当P(A ?B )=1时，P(AB ) 最小，其最小值为0.3。 #00081

设A 1、A 2为两个事件，证明

（1）P(A 1A 2)= 1-P(1A )-P(2A )+P(1A 2A )

（2）1-P(1A )-P(2A ) ≤ P(A 1A 2) ≤ P(A 1?A 2) ≤ P(A 1) +P(A 2) *00081

证明：（1）P(A 1A 2)=1-P(21A A )=1-P(1A ?2A )=1-P(1A )-P(2A )+P(1A 2A )。（2）显然，P(A 1A 2) =1-P(1A )-P(2A )+P(1A 2A )≥1-P(1A )-P(2A )

由于 A 1A 2? A 1?A 2，所以P(A 1?A 2) ≥ P(A 1A 2)，

而 P(A 1?A 2)= P(A 1)+P(A 2)－P( A 1A 2) ≤ P(A 1) +P(A 2)，从而有 1-P(1A )-P(2A ) ≤ P(A 1A 2) ≤ P(A 1?A 2) ≤ P(A 1) +P(A 2) #00082

A 、

B 为两个事件且P(A )=1/2，P(B )=1/2，证明P(AB )=P(B A )。

*00082

证明：P(AB )= P(A )+P(B )－P(A ?B )=1－P(A ?B )=)(P B A = P(B A ) #00083

A 、

B 、

C 为三个事件且P(A )=P(B )=P(C )=1/4，P(AB )=P(BC )=0，P(AC )=1/8，求A 、B 、C 中至

少有一个发生的概率。 *00083

解：P(A ?B ?C )既为所求。由于ABC ? AB ，从而P(ABC ) ≤ P(AB )，故P(ABC )=0。

P(A ?B ?C ) = P(A )+P(B )+P(C )- P(AB )- P(BC )- P(AC )+ P(ABC ) =1/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0=5/8 #00084

一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球。今从袋中任意取出三个球

并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。 *00084

解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S ，则样本空间S 中的样本点个数

μ[S ]=310C =120。

设事件 A =“最小号码为5”， B =“最大号码为5”，

C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5”。

A 中的样本点个数μ[A ]= 36C －35C =10， P(A )= μ[A ]/ μ[S ]=1/12，

B 中的样本点个数μ[B ]= 35

C －34C =6， P(B )= μ[B ]/ μ[S ]=1/20， C 中的样本点个数μ[C ]= 14C 15C =20， P(C )= μ[C ]/ μ[S ]=1/6，

#00085

在1500个产品中有400个次品，1100个正品。任取200个，求（1）恰好有90个次品的概

率；（2）至少有两个次品的概率。 *00085

解：设事件 A =“恰好有90个次品”， B =“至少有两个次品”。

样本空间S 中的样本点个数μ[S ]=200

1500C ，

A 中的样本点个数μ[A ]= 90400C 110

1100C ，P(A )= μ[A ]/ μ[S ]= 8.23407 ?10-10

P(B )=1－(2001100C +19911001400C C )/200

1500C ≈1

从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。 *00086

解：以抽出任意4只鞋子的排列为样本点构成样本空间S ，则样本空间S 中的样本点个数

μ[S ]=10?9?8?7=5040。

设事件A =“4只鞋子中至少有两只能配成一双”，则A 中的样本点个数μ[A ]=10?8?6?4。

从而， P(A )=1- P(A )=1－10?8?6?4/（10?9?8?7）=13/21。 #00087

甲袋中3个球的编号分别为1、2、3，乙袋中3个球的编号分别为4、5、6。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的概率是多少？ *00087

解：以(a,b )表示样本点，其中a 是从甲袋中取出的球的球号，b 是从乙袋中取出的球的球

号，则样本空间S 如下

S ={(1,1), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5),

(3,6)}。

设A =“从乙袋中取出偶数号球”。则A ={ (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6)}。

μ[S ]=12，μ[A ]=7，则P(A )=7/12。 #00088

50只铆钉随机地取来用于10个部件上，其中有3个铆钉为次品。若每个部件用3只铆钉，

问3个次品铆钉恰好用于同一部件的概率是多少？ *00088

解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S 中的样本电数μ[S ]= 3

50C ?3

47C ?…?3

23C 。

设A i =“3个次品铆钉恰好用于地i 部件” i =1、2、…、10

A =“3个次品铆钉恰好用于同一部件”

A i 中的样本点个数μ[A i ]= 347C ?346C ?…?3

23C ，P(A i )= μ[A i ]/ μ[S ]=1/19600。

A=i i A 101

=j i A A ，则P(A )=∑=10

)

(P i i A =1/1960

#00089

已知P(A )=0.3，P(B )=0.4，P(B A )=0.5，求P(B |B A )。 *00089

解：P(B |B A )=)(P ))

((P B A B A B =)()P()(P )(P B A P B A BA -+=)()P()(P )

(P )P(B A P B A B A A -+-=1/4

#00090

已知P(A )=1/4，P(B | A )=1/3，P(A | B )=1/2，求P(A ?B )。 *00090

解：P(A ?B )= P(A )+ P(B )- P(AB )

P(AB )= P(B | A ) P(A )=1/12，P(B )= P(AB )/ P(A | B )=1/6，从而P(A ?B )=1/3。

掷两颗骰子，已知掷两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。 *00091

解：设事件A =“两颗骰子点数之和为7”，B =“其中有一颗为1点”。所求概率为P(B | A ) （1）（1）以(a ,b )记样本点，其中a ,b 分别为第一、二骰子的点数。事实上 A ={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}，由题义得P(B | A )=1/3。（2）（2）AB={(1,6), (6,1)}，P(A )=6/36=1/6，P(AB )=2/36=1/18， P(B | A )= (1/18)/(1/6)=1/3 #00092

以往的资料表明，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律。P(孩子得病)=0.6，P(母

亲得病|孩子得病)=0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4。求母亲及孩子得病但是父亲未得病的概率。 *00092

解：设事件A =“孩子得病”，事件B =“母亲得病”，事件C =“父亲得病”。则

P(A )=0.6，P(B | A )=0.5 ，P(C |BA )=0.4，母亲及孩子得病但是父亲未得病的概率即为 P(C BA )= P(BA )- P(CBA )= P(A ) P(B | A )- P(A ) P(B | A ) P(C |BA )=0.18 #00093

事件A 、B 相互独立且P(A )=p ，P(B )=q 。求

P(AB )、P(A B )、P(B A )、P(A ?B )、P(A ?B ) 、P(B A )。 *00093

解： P(AB )= P(A ) P(B )= pq 。

P(A B )= P(A )P(B )=(1- p ) q 。 P(B A )=P(A )P(B )=(1- p )(1- q )。 P(A ?B )= P(A ) +P(B )－P(AB )= p+q －pq

P(A ?B )= P(A )+P(B )－P(A B )= (1－p )+q －(1－p ) q=1－p + pq 。 P(B A )=1－P(AB )=1－pq #00094

一个大学生想借一本专业书，决定到三家图书馆去借。每家图书馆有这本书的概率为1/2，

若有，该书被借出的概率也为1/2。假设三家图书馆采购、出借图书是相互独立的，问该学生能够借到书的概率是多少？ *00094

解：设事件A i =“第i 家图书馆有这本书”， i =1、2、3

事件B i =“从第i 家图书馆借到这本书”， i =1、2、3 事件C =“该学生能够借到书”。

由题义知P(A i )=1/2，P(B i | A i )=1/2，从而P(B i A i )=1/4，事实上B i ?A i ，则

P(B i )=1/4，i =1、2、3。进一步B 1 ，B 2 ，B 3相互独立，则

P(C )=1-)P(321B B B =1-)(P )(P )P(321B B B =1-(1-1/4)(1-1/4)(1-1/4)=37/64

#00095

如图，1、2、3、4、5表示继电器触点。假设每个触点闭合的概率为p ，且各继电器接点闭

合与否相互独立，求L 至R 是通路的概率。

1-20题图

*00095

解：设事件A i =“第i 个继电器触点闭合”， i =1、2、3、4、5

事件C =“L —R 是通路”。

事实上C = A 1 A 4 ?A 1 A 3 A 5? A 2 A 5? A 2 A 3 A 4= A 1 (A 4? A 3 A 5) ? A 2 (A

5? A 3 A 4)

P(C )=P(A 1 (A 4? A 3 A 5))+P(A 2 (A 5? A 3 A 4))-P(A 1 A 2 (A 4? A 3 A 5) (A 5?

A 3 A 4))

=2 P(A 1 (A 4? A 3 A 5))-P(A 1 A 2)P(A 4 A 5? A 3 A 4? A 3 A 5? A 3 A 4 A 5) =2 P(A 1)P(A 4? A 3 A 5)- P(A 1 A 2)P(A 4 A 5? A 3 A 4? A 3 A 5)

=2 p (p+ p 2- p 3)- p 2(3 p 2-3 p 3+ p 3)=2(p 2+ p 3- p 4)- (3 p 4-2 p 5)=2 p 2+2 p 3- 5 p 4

p 5 #00096

袋中有10个球，其中9个白球，1个红球。10个人依次从袋中各取一个球。每个人取一球

后不再放回。问第一人、第二人、…、最后一人取得红球的概率是多少？ *00096

解：设事件A i =“第i 人取得红球”， i =1、2、...、10。显然A i,, i =1、2、 (10)

不相容，所以有A i,j

A ?（i ≠ j ）。进一步有

A k =1-k k A A …2A 1A ， k =2、3、…、10

显然P(A 1)=1/10，P(1A )=9/10。从而P(1

2A A )=1/9 ，P(

2A A )=8/9 P(A 2)=P(12A A )=P(

2A A )P(1A )=(1/9)(9/10)=1/10，从而P(

23A A A )=1/8

P(A 3) =P(123A A A )=P(123A A A )P(12A

A )P(1A )=(1/8)( 8/9)( 9/10)=1/10。同理有 P(A i )=1/10, i =1、2、…、10 #00097

设有甲乙两袋，甲袋中装有m 只白球、n 只红球，乙袋中装有M 只白球、N 只红球。今从甲

袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？ *00097

解：设事件A =“从甲袋中取出一白球”，事件B =“从乙袋中取出一白球”。

P(B )= P(

B )P(A )+

)(P A B P(A )

n m m

N M M n m n N M M +++++

+++111=))(1(n m N M m Mm Mn +++++

#00098

设一人群中A 、B 、AB 、O 型血的人所占比例分别为37.5%、20.9%、7.9%、33.7%。已知能允

许输血的血型配对如下表。现在该人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血

√：允许输血 Х：不允许输血。

*00098

解：设事件A 1=“输血者的血型为A 型”，

事件A 2=“输血者的血型为B 型” 事件A 3=“输血者的血型为AB 型” 事件A 4=“输血者的血型为O 型” 事件C =“输血成功”。

P(C )=P(C | A 1)P(A 1)+ P(C | A 2)P(A 2)+ P(C | A 3)P(A 3)+ P(C | A 4)P(A 4) 由题义及输血表知：

P(A 1)=0.375， P(C | A 1)= 0.375+0.079=0.454， P(A 2)=0.209， P(C | A 2)= 0.209+0.079=0.288， P(A 3)=0.079， P(C | A 3)= 0.375+0.079+0.209=0.663 P(A 4)=0.337， P(C | A 4)=1

P(C )= 0.454?0.375+0.288?0.209+0.663?0.079+1?0.337=0.6198 #00099

袋中装有m 枚正品硬币、n 枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽）。从袋中任取一枚硬币，

将它投掷r 次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？ *00099

解：设事件A =“所取硬币为正品”，

事件B =“所取硬币掷r 次均出现国徽”。所求概率为P(A | B )

P(A | B )=

)

(P )(P )(P )(P )

(P )(P A A B A A B A A B +

P(A ) = m /(m+n )，P(B | A ) = (1/2) r

，P(A ) = n /(m+n )，P(

B )=1。

所以 P(A | B )=r

n m m 2+。 #00100

将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它字母的概率为

(1-α)/2。今将字母AAAA 、BBBB 、CCCC 之一输入信道，输入AAAA 、BBBB 、CCCC 的概率分别为p 1、p 2、p 3（p 1+p 2+p 3=1），已知输出为ABCA ，问输入是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。） *00100

解：设事件F =“输入是AAAA ”，

事件G =“输入是BBBB ”，

事件H=“输入是CCCC”，事件J=“输出是ABCA”，所求概率为P(F | J)。

P(F | J) =

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)(

+α

-1

#00000

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

数据库原理习题(含答案)

第一章绪论 Ⅰ、学习要点 1、准确掌握数据、数据库、数据库系统、数据库管理系统等基本术语、概念； 2、数据独立性的概念、分类及实现途径； 3、数据模型的概念、分类、要素及作用； 4、数据库三级模式体系结构的含义及作用； 5、关系数据模型的三要素内容。 Ⅱ、习题一、选择题： 1、使用二维表格结构表达数据和数据间联系的数据模型是（） A、层次模型 B、网状模型 C、关系模型 D、实体—联系模型 2、DB、DBS、DBMS间的关系是（） A、DB包括DBMS和DBS B、DBMS包括DB和DBS C、DBS包括DB和DBMS D、DBS与DB和DBMS无关 3、在数据库中存储的是（） A、数据 B、数据模型 C、数据及数据之间的联系 D、信息 4、数据库系统中，用（）描述全部数据的整体逻辑结构。 A、外模式 B、模式 C、内模式 D、数据模式 5、数据库中，导致数据不一致的根本原因是（） A、数据量太大 B、数据安全性不高 C、数据冗余 D、数据完整性约束不强 6、划分层次型、网状型和关系型数据库的原则是（） A、记录的长度 B、文件的大小 C、联系的复杂程度 D、数据及联系的表示方式 7、数据库三级模式体系结构的划分，主要有利于保持数据库的（） A、数据安全性 B、数据独立性 C、结构规范化 D、操作可行性 8、数据库系统中，用（）描述用户局部数据的逻辑结构，它是用户和数据库系统间的接口。 A、外模式 B、模式 C、内模式 D、数据模式 9、数据库系统中，用（）描述全部数据的物理存储视图。 A、外模式 B、模式 C、内模式 D、数据模式 10、数据库系统中用于定义和描述数据库逻辑结构的语言是（） A、DML B、DDL C、DCL D、SQL 11、数据库系统支持的数据共享指的是（）

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为分布函数 5.（1）设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;

（2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷概率论与数理统计一．选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

数据库第一章练习题

第一章练习题一、单项选择 1．( B )属于信息世界的模型，实际上是从现实世界到机器世界的一个中间层次。 A．数据模型B．概念模型C．非关系模型D．关系模型 2．数据库的三级模式结构即外模式、模式和内模式是对( C )的3个抽象级别。 A．信息世界B．数据库系统C．数据D．数据库管理系统 3. 1970年代，美国IBM公司的研究员E.F.Codd提出了数据库的（ C ）。 A. 层次模型 B. 网状模型C．关系模型 D. 对象模型 4. 具有数据冗余度小、数据共享以及较高数据独立性等特征的系统是（ B ）。 A.文件系统 B. 数据库系统 C.管理系统 D. 高级程序 5. 在概念模型中，事物称为（ A ）。 A.实体 B. 对象 C.记录 D. 节点 6. 数据库中对全部数据的整体逻辑结构的描述，作为数据库的（ C ）。 A. 概念模式 B. 内模式C．模式 D. 外模式 7. 数据库的并发控制、完整性检查、安全性检查等是对数据库的（B ）。 A.设计 B. 保护C．操纵 D. 查询 8. ( A )是位于用户与操作系统之间的专门数据管理软件。 A. 数据库管理系统 B. 数据库系统C．数据库 D. 数据库应用系统 9. 下列实体类型的联系中，属于多对多联系的( A )。 A. 学生与课程之间的联系 B. 学校与教师之间的联系 C. 商品条形码与商品之间的联系 D. 班级与班长之间的联系 10. 下列四项中，不属于数据库系统特点的是（B）。 A. 数据共享 B. 数据完整性 C. 数据冗余度高 D. 数据独立性高 11. 数据库的概念模型独立于（A）。 A．具体的机器和DBMS B．E-R图C．信息世界D．现实世界12. 数据库中存储的是（C）。 A．数据B．数据模型C．数据以及数据之间的联系D．实体 13. 数据库系统的核心是（B ）。 A．数据库B．数据库管理系统C．数据模型D．软件工具 14. 数据库的特点之一是数据的共享，这里的数据共享是指（D ）。 A．同一个应用中的多个程序共享一个数据集合 B．多个用户、同一种语言共享数据 C．多个用户共享一个数据文件 D．多种应用、多种语言、多个用户相互覆盖地使用数据集合 15. 数据库管理系统能实现对数据库中数据的查询、插入、修改和删除等操作，这种功能称为（C ）。 A．数据定义功能B．数据管理功能C．数据操纵功能D．数据控制功能16. 数据库系统的数据独立性是指（B）。 A．不会因为数据的变化而影响应用程序 B．不会因为系统数据存储结构与数据逻辑结构的变化而影响应用程序

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知，求证四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

(完整版)数据库课后习题及答案

第一章数据库系统概述选择题 1实体-联系模型中，属性是指（C） A.客观存在的事物 B.事物的具体描述 C.事物的某一特征 D.某一具体事件 2对于现实世界中事物的特征，在E-R模型中使用（A） A属性描述B关键字描述C二维表格描述D实体描述 3假设一个书店用这样一组属性描述图书（书号，书名，作者，出版社，出版日期），可以作为“键”的属性是（A） A书号B书名C作者D出版社 4一名作家与他所出版过的书籍之间的联系类型是（B） A一对一B一对多C多对多D都不是 5若无法确定哪个属性为某实体的键，则（A） A该实体没有键B必须增加一个属性作为该实体的键C取一个外关键字作为实体的键D该实体的所有属性构成键填空题 1对于现实世界中事物的特征在E-R模型中使用属性进行描述 2确定属性的两条基本原则是不可分和无关联 3在描述实体集的所有属性中，可以唯一的标识每个实体的属性称为键 4实体集之间联系的三种类型分别是1：1 、1：n 、和m：n 5数据的完整性是指数据的正确性、有效性、相容性、和一致性简答题一、简述数据库的设计步骤答:1需求分析：对需要使用数据库系统来进行管理的现实世界中对象的业务流程、业务规则和所涉及的数据进行调查、分析和研究，充分理解现实世界中的实际问题和需求。分析的策略：自下而上——静态需求、自上而下——动态需求 2数据库概念设计：数据库概念设计是在需求分析的基础上，建立概念数据模型，用概念模型描述实际问题所涉及的数据及数据之间的联系。 3数据库逻辑设计：数据库逻辑设计是根据概念数据模型建立逻辑数据模型，逻辑数据模型是一种面向数据库系统的数据模型。 4数据库实现：依据关系模型，在数据库管理系统环境中建立数据库。二、数据库的功能答：1提供数据定义语言，允许使用者建立新的数据库并建立数据的逻辑结构 2提供数据查询语言 3提供数据操纵语言 4支持大量数据存储 5控制并发访问三、数据库的特点答：1数据结构化。2数据高度共享、低冗余度、易扩充3数据独立4数据由数据库管理系统统一管理和控制：（1）数据安全性（2）数据完整性（3）并发控制（4）数据库恢复第二章关系模型和关系数据库选择题 1把E-R模型转换为关系模型时，A实体（“一”方）和B实体（“多”方）之间一对多联系在关系模型中是通过（A）来实现的

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

数据库复习题第一章

第一二、三章练习一、单项选择题 1、DBA是指（） A、高级程序员 B、数据库管理员 C、数据库系统 D、数据库管理系统 2、在文件系统中，所具有的数据独立性是[D ] A．系统独立性B．物理独立性 C．逻辑独立性D．设备独立性 3、数据库在磁盘上的基本组织形式是[ B] A．DB B．文件 C．二维表 D．系统目录 4．在数据库中存储的是（C ）。 A、数据 B、数据模型 C、数据以及数据之间的联系 D、信息5．对现实世界进行第二层抽象的模型是[C ] A．概念数据模型B．用户数据模型 C．结构数据模型D．物理数据模型 6．设有关系R(A,B,C)和关系S(B,C,D)，那么与R?S等价的关系代数表达式[ B] A．σ 1=5（R?S） B．σ 1=5 （R×S） C．σ 1=2 （R?S） D．σ 1=2 （R×S） 7．关系数据库管理系统都是基于（A ）理论。 A. Codd的数据关系模型 B. 数据结构 C. 计算机操纵系统 D. 信息管理 8．如果有9个不同的实体集，它们之间存在着12个不同的二元联系（二元联系是指两个实体集之间的联系），其中4个1:1联系，4个1:N联系，4个M:N 联系，那么根据ER模型转换成关系模型的规则，这个ER结构转换成的关系模式个数为[B ] A．9个 B．13个 C．17个 D．21个 9．在数据库方式下的信息处理中，占据中心位置的是[A ] A．数据 B．程序 C．软件 D．磁盘 10．关系笛卡尔积运算记号R×S中，(D ) A. R为关系名，S为属性名 B. R和S均为属性名 C. R为属性名，S为关系名 D. R和S均为关系名 11．对单个用户使用的数据视图的描述称为（ A ） A.外模式 B.概念模式 C.内模式 D.存储模式 12．在有关“弱实体”的叙述中，不正确的是[C ] A．弱实体的存在以父实体的存在为前提

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

哈工大概率论与数理统计课后习题答案一

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A ，B 都发生，而C 不发生（3）A ，B ，C 中至少有一个发生（4）A ，B ，C 都发生（5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生（7）A ，B ，C 中不多于二个发生（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。（2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计习题库,第一章

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