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名师推荐自编高等数学文档

第一节

极限的求解

一、极限的本质

在学习为什么要去学习“求解函数的极限”和“如何去求解函数的极限”两个重要问题之前,我们首先有必要弄清楚什么是极限,极限的本质又是什么?

前面,我们学习过“函数极限”的定义,即:设函数f(x)在点x 0的某一去心领域内有定义,如果存在存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当自变量x 满足不等式0<|x- x 0|<ε时,对应的函数值f(x)都满足不等式

0<|f(x)-A|<ε,

那么就说常数A 就叫做函数f(x)当x →x 0时的极限,记作:

A x f x x =→)(lim 0或f(x) →A(当x →x 0)。

由“常数A 就叫做函数f(x)当x →x 0时的极限”一句可知,极限的本质是一个常数。所以要求出函数的极限,其实质也就是求出一个实数。

二、极限的思想

极限的思想是高等数学中基本思想。产生、归纳出这种思想的目的也是为了能够解决、分析实际问题。其实,世间上思想(想法)的产生也都只有一个目的,就是能够更准确,更迅速地分析和解决实际问题。极限的思想也不例外。

三、初等函数极限的求解方法

1、极限的求解方法之一一“ε-δ”定义法

在高等数学中,求解函数极限的方法可以归纳为两种。显然,极限的定义肯定就是求极限的一种方法。

“ε-δ”定义法是完全借助于极限的“ε-δ”定义来解决问题。“ε-δ”定义:设函数f(x)在点x 0的某一去心领域内有定义,如果存在存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当自变量x 满足不等式0<|x- x 0|<ε时,对应的函数值f(x)都满足不等式0<|f(x)-f(x 0)|<ε,那么就是常数A 是函数f(x)当x →x 0时的极限。

极限的“ε-δ”定义虽然没有告诉我们如何去求解函数极限的步骤与方法,但是却指明了函数极限所要满足的条件,我们可以用来验证某个常数是否是函数的极限。①

所以根据极限的“ε-δ”,我们可以先猜测出该函数的极限,然后再用定义去验证。如果符合定义,就表明这个常数就是该函数的极限。

2、“ε-δ”定义法适用的范围

定义法求解极限很容易想到,毕竟在任何时候,使用定义都是分析、处理问题的一种最基本方法。但是由于是先要猜测极限,然后再加以证明。那么在猜测的过程中就难免曾在一定的盲目性。由此,定义法不适合所有的复合函数以及其他的复杂函数。

相反,如果题目中没有数字,那么运用定义法是一个不错的选择。

3、极限的求解方法之二——用已知的极限通过四则运算法则求解出目标极限

前面已经学习过极限的“ε-δ”定义法,由于定义较难,计算时主要运用绝对值,所以不适合普通人来解决求解极限问题。所以需要寻找到一条,避开复杂的“ε-δ”定义的

①极限的“ε-δ”在求解极限中的意义。

一种求解极限的方法。用已知的极限通过四则运算法则求解出目标极限,就是一种建立在定义之上的一种求解极限方法,由于避开了复杂的定义,所以普通数学知识的人也能够运用自如。

由此,我们联想到电脑的Windows操作系统的诞生。Windows是英文窗户,窗口的意思,Windows操作系统就是将计算机操作、控制过程中所需要的复杂电脑语言用普通用户能够明白的对话框,窗口表现出来,使得原本需要高学历,高专业知识才懂得的计算机语言,普通用户也能够掌握。现如今有,在全世界有数量众多的用户的电脑安装的是Windows操作系统。这不仅是微软公司技术的先进,更重要的是微软想人之所想。可以说是微软在计算机普及的道理上有不可磨灭的作用。①

总之,“用已知的极限通过四则运算法则求解出目标极限”的方法意义就如同是我们熟悉电脑的操作系统,它让我们在没有学习极限定义或计算机编程的情况下就能熟练掌握极限或计算机操作。

第十三节对极限乘法运算的认识

一、极限乘法运算的内容

极限乘法运算的内容是:

如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B。

二、直观感性认识

直观感性认识也很重要,它是人们看待事物的第一感受,是事物让人最新联想到的。有了直观感性认识就可以能够迅速记住并且能够唤起对其他知识的记忆。看到上面的式子,不免让人心生疑惑。f(x)、g(x)是我们所熟悉的函数,如果说lim是一种运算的话,那么上式用文字来描述就可以是:f(x)与(x)的乘积通过lim运算所得到的结果等于f(x)与(x)分开lim运算的结果的乘积。

先不说上式可以这样等于的理由。其次,式子中全都是英文表示,这更让读者感到数学深奥与不解。

三、理性认识

1.正如上面感性认识所描述的一样,等式全是由英文组成,就连数学中常见的数字都没有

出现。更不用说函数f(x),(x)的解析式了。在中学数学中,我们常将没有解析式表示的函数称为“抽象函数”,所以对于上式没有解析式只有字母表示的极限,我们称为“抽象极限”。在中学数学中,对于抽象函数的解决办法就是赋值,所以,对于抽象极限的解决办法也采用赋值的方法。就如:limf(x)=A,limg(x)=B。

2.在等式的证明过程中,对于“抽象极限”问题就是采用“赋值法”求解。

令limf(x)=A,limg(x)=B。

那么依据“函数f(x)具有极限A的充分必要条件”②,有:

f(x)=A+α,g(x)=B+β

所以,我们得到等式f(x)·g(x)=AB+Aα+Bβ+αβ

对于等式f(x)·g(x)=AB+Aα+Bβ+αβ又用到无穷小的运算三个法则③。

再次根据“函数f(x)具有极限A的充分必要条件”,

①“用已知的极限通过四则运算法则求解出目标极限”的联想。

②即函数与极限的(等式)关系。同济大学数学教研室主编.高等数学第五版第38页.北京:高等教育出版社,2002

③无穷小是函数,只是用于初等函数中。即有限个无穷小之和仍是无穷小;有限个无穷小与无穷小之积仍是无穷小;有界函数与无穷小之积仍是无穷小。同济大学数学教研室主编.高等数学第五版第43页.北京:高等教育出版社,2002

就得到lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A ·B 。与之类似的还有极限的加法运算法则同样也是由limf(x)、limg(x)的存在,推导出的lim[f(x)±g(x)]一定存在。

3. 对于极限乘法运算lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A ·B 在现实生活中的联想。

在现实生活中我们会遇到很多事情,有点事情简单,有的事情复杂。简单的事情容易处理,这里也就不讨论了。然而我们常常遇到的问题都很棘手,如果将上式中的函数f(x)·g(x) ,f(x),g(x)看成我们遇到的事情,那么复杂的事情就是函数f(x)·g(x),简单的事物就是函数f(x),g(x),而将lim 认为是处理问题。那么上等式就表示:解决一个复杂的问题,如果直接求解有困难,那么分析该问题能否转化为若干个简单问题,如果能就转化为简单问题解决。实例:.000001lim 1lim 1lim )1111(lim =+++=++++=+++++∞→∞→∞→∞→ n

n n n n n n n n n n n 由于n →∞,超出初等函数极限运算法则的应用范围,故极限的运算法则不适合上式。

第三节 复合函数运算法则

一、函数的分类名称

在函数的定义和函数的分类基础知识中。函数常见的有复合函数,基本初等函数①,初等函数和分段函数等几类。

其中初等函数是指:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合后并且可以用一个式子表示的函数。②所以上面描述的极限运算法则和复合函数运算法则都只是针对于有限项,适用于初等函数。当然依据复合函数的定义,复合函数也属于初等函数。

二、复合函数运算法则产生的背景

前面已经学过极限的四则运算法则,能够解决一些“由常数和基本初等函数经过有限次四则运算”构成的函数极限问题。在初等函数的定义中还有一些函数,它们不能运算,是通过相互间的复合构成的函数

习题

一、 有界函数

有界函数的证明方法:对于任意给定的x ∈X ,证明存在正数M ,满足不等式|f(x)| ≤M.求出M 的值就可以。

1. 证明函数f(x)=10-x

sinx 在[0,+∞〕内是有界函数。 2. 证明2

sin ++=x x a x a y (a>0,a ≠1)在(-∞,+∞)内有界 3. 证明函数211)(x

x x f +-=在(-∞,+∞)内是有界函数 4. 证明下面函数f(x)=x

x 1sin 1 在(-∞,+∞)内不是有界函数③。 答案:1.f(x)= 10-x sinx ≤10-x =x 10

1 ≤>?+∞∈?)(,0),,0[x f M x x 101≤1=M ④

① 基本初等函数不包括常数函数。同济大学数学教研室主编.高等数学第五版第17页.北京:高等教育出版社,2002

②同济大学数学教研室主编.高等数学第五版第17页.北京:高等教育出版社,2002

不是有界函数就是无界函数。有界与无界是互斥的! ④证明有界函数,只需要证明出对于任意给定的x ∈X,存在正数M ,使得不等式|f(x)| ≤M 恒成立,求出M 的值就可以。

2.提示:对于任意给定的正数x ∈X ,|2

sin ++x x a x a |≤1=M 3.(UNKONW )

4.通常对于否定命题采用反证法。但此题不用反证法。用无界来证明。

证明无界:思路X x M ∈?>?0,0,使得|f(x)| >M. 当2

]12[10π+=M x 即:π]12[2

0+=M x 时,|f(x)| >M

二、无界函数

无界函数的证明方法:对于任意给定的正数M ,总是存在(一个)x ∈X ①,使得|f(x)| >M.

5. 函数f(x)=x ·sinx 在(-∞,+∞)内无界。

6. 证明函数y=x ·cosx 在(-∞,+∞)内无界。证明函数y=

x

x 1sin 1在区间(0,1]上无界。

第四节 极限存在准则

一、数学的产生

数学最初是为人们解决生活面临的实际问题而产生的。例如高等数学中的极限,就是为

求某些实际问题的精确解答而产生的②。起初的数学还能看到所处理问题时问题产生的背景,

例如刘徽的“割圆术”但由于数学经过千年的发展,早已经抽象称为一门科学学科,也就看不到处理问题的背景了。

高等数学极限章节为了让极限概念回源到数学的产生,更能反映极限是为求某些实际问题的精确解答而产生,故将数列的极限和函数的极限分开来的介绍。数列的极限更能体现抽象的数学与实际问题的联系,如割圆术。而函数的极限只不过是将数列极限的n 只能取正整数和n →∞等特殊性撇开抽象成为函数的极限。

与极限的讲解方法一样,极限存在准则也是先介绍数列的极限存在准则,然后再抽象出函数的极限存在准则。

二、极限存在准则产生的原因

极限存在准则是判断极限存在的一种方法。但在极限的“ε-δ”定义中“如果存在存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当自变量x 满足不等式0<|x- x 0|<ε时,对应的函数值f(x)都满足不等式0<|f(x)-A|<ε,那么就说常数A 就叫做函数f(x)当x →x 0时的极限”。

从文字的角度,如果常数A 存在,那么极限就存在;如果常数A 不存在,那么极限就不存在。所以极限的“ε-δ”定义也能作为判断极限是否存在的一种方法。

需要说明的是,极限的四则运算法则是初等函数的极限四则运算法则,不适合无限项的数列问题。例如:

只有证明出这样的x 是存在的就可以。 ② 《高等数学》23页。

.000001lim 1lim 1lim )1111(lim =+++=++++=+++++∞→∞→∞→∞→ n n n n n

n n n n n n n 和著名极限n x n

)11(lim +∞→的求解。但是对于一般的数列极限问题,极限四则运算法则仍然是适用的。

三、数列的极限存在准则之夹逼准则

夹逼准则 如果数列}{}{}{n n n z y x 及、

满足下列条件: (1))3,2,1( =≤≤n z x y n n n ①

, (2)a z a ,y n n n n ==∞→∞→lim lim ,那么数列}{n x 的极限存在,并且a x n n =∞

→lim 。 定理证明:

四、夹逼准则在运用过程中的思想

在实际运用夹逼准则时,需要自己去寻找到合适的数列{y n }、{z n }。但是数列

不定积分

一、不定积分的产生

不定积分是高等数学学习中“点-线-面”部分中第三阶段,“面”的阶段。积分是高等数学重要概念,有关于积分概念的产生,同济大学《高等数学》并没有如同极限是为人们生活的精确解答和导数是为解决瞬时速度和切线斜率而产生的一样,给出明确的产生原因。积分的产生可能与其几何意义有关,即是曲线与坐标轴围成的图形面积。如同减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算一样,积分也是导数的逆运算。

二、积分学研究的问题

积分学研究的基本问题是:寻找一个可导函数F(x),使得该可导函数的导数等于已知函数f(x)。

三、原函数的定义

原函数是积分学中的基础概念。原函数是指:在区间I 中,如果可导函数F (x )的导数是f(x)。即:对于任意的x ∈I,如果F '(x)=f(x),那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)的原函数。

例如(sinx )'=cosx ,那么函数sinx 就是cosx (或cosxdx )的原函数。

四、原函数存在定理

前面已经提到,积分学研究的基础问题是寻找到一个可导函数F(x)使得该可导函数的导数等于已知函数。现在将该可导函数称为原函数,那么在实际求解原函数中我们首先需要判断原函数是否存在。原函数存在定理就告诉我们原函数存在时需要满足的条件。

原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I 内连续,那么在区间I 内存在可导函数F(x),对于任意的x ∈I ,满足F '(x)=f(x)。简单的说就是连续函数必有原函数。

关于原函数存在定理的证明将在一下章节给出。

五、原函数的性质

1.原函数具有不唯一性。依据原函数的定义,如果有一个原函数F(x)使得F '(x)=f(x),那么就有无数个函数F(x)+C 满足[F(x)+C]'=f(x)。

2.原函数与原函数间的关系。前面已经知道原函数具有无数个,那么它们彼此间的关系

① 如果将n=1,2,3…改为,n>N ,其中N 代表某一正数时应该更能反映极限定义中|f(x)|< ε的意思。

又是怎么呢?已知F(x)、)(x ?是f(x)的原函数,即:

F '(x)=f(x),)()(x f x '

=?,那么[F(x)-)(x ?]'=0。

依据拉格朗日(Lagrange )中值定理,导数为0的函数是常函数。所以原函数与原函数之间相差是一个常数。

六、不定积分的定义

在区间I 上,连续函数f(x)带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)的不定积分,记作:∫f(x)dx ,其中∫称为积分号,f(x)称为积分函数,f(x)dx 称为被积表达式,x 称为积分变量。

所以不定积分的本质还是原函数,带有任意项的原函数是不定积分。根据不定积分的定义则有等式∫f(x)dx=F(x)+C 。

七、习题 第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念和性质

积分内容是高等数学中重要内容,很能够体现出一个人的高等数学水平和修养,所以对积分的学习也是要严格和刻苦的。关于高等数学积分还有很多问题目前不能解释,例如:在积分表达式中为什么要加入自变量的微分dx ,不定积分与定积分之间的关系等。这些问题或许将永远困扰在学习积分的整个过程中。

一、不定积分产生的原因

在提到积分定义之前,需要明白积分概念产生的原因。不定积分概念的产生可以说是数学思想的一次提高。积分的意义不止是微分的逆运算而产生的,其产生的背后有更深层次的原因,有更深层次看待问题的角度。先前我们学习过导数(微分),知道了导数(微分)的求解方法,也就是数学算法。而积分则是利用这种算法来求解原函数。

函数求导的目的在于研究函数的变化快慢,而积分则是研究这种变化快慢下符合的(所有)函数。这也是积分所研究的基本问题。

二、原函数的定义

如同上面所说的一样,函数求导是在于研究函数的变化快慢,积分则是研究符合这种变化快慢下的(所有)函数。符合这种变化快慢的(所有)函数中的一个就称为原函数。用数学专业术语来表示就是:如果在区间I 上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对于任意的 x ∈I, 都有

F '(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)的原函数。

对于原函数没有数学符合来表示,只有定义。

三、原函数存在定理

原函数存在定理 连续函数必有原函数。

关于原函数存在定理的证明同济大学高等数学将在下一章节给出。

四、原函数的性质 原函数

积分

求导

求积分

a 不唯一性

根据导数的算法和原函数的定义,原函数必定不止一个。举例说明,(sinx )'=cosx,所以y=sinx 是y=cosx 的一个原函数,而y=sinx+C (C 不为0)也是y=cosx 的一个原函数,所以原函数有无数个,具有不唯一性。

b 原函数之间相差一个常数

上面已经提到原函数有无数个,那么彼此原函数之间又是怎样的关系呢?

原函数的共同点是具有相同的导函数。

[F(a)-F(b)]'=0

拉格朗日(Lagrange )中值定理中有,导函数恒为0的函数是常函数。所以,原函数之间相差一个常数。

五、函数族

函数族是一个全新的数学概念。函数族是具有某种特定性质的函数构成的集合,其本质是集合。例如所有的原函数可以构成一个函数族,记作:

{F(x)+c|-∞

六、不定积分

如果函数在区间I 上有定义,那么连续函数f(x)的带有任意常数项的原函数是f(x)(或f(x)dx )在区间I 上的不定积分,记作:

F(x)+C=∫f(x)dx 。

其中,∫是积分号①,f(x)是被积函数,f(x)dx 是被积表达式,x 是积分变量。

不定积分、原函数、函数族中的区别是:函数族表示的是一个集合,原函数只是函数族中的一个元素,不定积分与函数族意思相近。

表达式∫f(x)dx 就代表原函数,

对原函数求微分则有:d ∫f(x)dx=f(x)dx. 对原函数求导数则有:)()(x f dx

dx x f d =?. 七、不定积分的运算法则(一)

a 不定积分的加法运算

如果f(x),g(x)的原函数都存在,那么∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

证明:不定积分其实是没有计算法则的,其计算法则的本质还是导数的求解方法。

[∫f(x)dx+∫g(x)dx]'=f(x)+g(x)

所以,函数f(x)+g(x)的原函数等于∫f(x)dx+∫g(x)dx ,

即∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

b 不定积分与常数间的运算

∫kf(x)dx=k ∫f(x)dx.

八、习题

1.求∫

dx x

1 函数y=x

1在(-∞,+∞)不连续,故要分开讨论。 ∫dx x 1=ln|x|+C.

① ∫类似与曲线,是莱布尼茨发明的积分符号。也可以理解为“原函数”中的“原”的意思。

2.求∫dx x

2 因为)3

1(3C x +'=2x 原式=C x +33

1 第二节 不定积分运算法则(二)

与极限、导数的运算法则不同,积分没有乘法、除法的运算法则。积分的运算法则其本质还是导数。本章节将重点学习复合函数的积分运算法则,即换元积分法。将复合函数的微

分法反过来用于求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法①。

一、换元积分发产生背景

先前我们学习过积分的定义(积分表)、积分与常数间的乘法运算和积分的加减运算法则。但只有这些还不够,还不能处理复合函数的积分问题。应用复合函数的微分求解方法,可以求出复合函数的积分。复合函数的积分有两类,即第一类换元法和第二类换元法。

二、第一类换元法及其证明

第一类换元法又被称为凑微(换元)法。求解积分∫f(u)du 。设f(u)的原函数是F (u ),那么∫f(u)du= F (u )+C 。

又因为函数F (u )是复合函数,

dF(u)=f ()(x ?))(x '?dx ,

那么∫f(u)du=∫f ()(x ?))(x '

?dx= F (u )+C 。

被积表达式中)(x '?dx 可以看成是u=)(x '?,du=)(x '?dx 的结果。第一类换元法其实只是对积分变量换元,主要是利用了函数F (u )是复合函数和复合函数的微分法则。 例如求解∫2cos2xdx

原式=∫cos2x ·(2x)'dx=∫cos2xd(2x)=sin2x+C. 第二节 不定积分运算法则(二)

本章节学习不定积分的运算。积分没有自己固定的类似与极限、导数通过定义来计算,不定积分运算的本质还是导数或微分的算法。本章节将重点学习积分的三种计算方法,分别是第一类换元法,第二类换元法和分部积分法。

一、第一类换元法

第一类换元法与第二类换元法应用的计算原理是复合函数的微分法。

求解积分∫f(u)du ,设函数f(u)的原函数是F (u ),则∫f(u)du= F (u )+C 。

如果F (u )又是复合函数,即dF(u)=f ()(x ?))(x '?dx ,

那么,∫f(u)du= F (u )+C= ∫f ()(x ?))(x '?dx 。

第一类换元法又称为凑微积分法。其中换元部分有u=)(x ?。

① 同济大学高等数学第191页。

第一类换元法告诉我们,被积表达式中du 可以看成是微分du= )(x '?dx ,从而表明被积表达式中也是可以进行计算的。其次第一类换元法也告诉我们,函数可以有无数个原函数但是原函数却只有一个导数。例如,原函数F (u )表面上虽然有f(u)和f()(x ?))(x '?两个导数,但是其本质通过换元,还只有一个导数。

例如∫sin 3xdx

原式=∫(1-cos 2x)sinxdx

=∫sinxdx-∫cos 2xsinxdx

=-cosx+∫cos 2xd(cosx) =-cosx+x 3cos 31+C.

二、第二类换元法

相比于第一类换元法,第二类换元法更复杂。第一类换元法是u=)(x ?,将要求的积分∫f(u)du 化为∫f ()(x ?))(x '?dx ,相当于在被积表达式中可以进行计算一样。第二类换元法则是取x=)(t ψ。

求解积分∫f(x)dx 。

如果∫f )()())((t dt t t 'φψψ=+C,即φ(t)是f )())((t t 'ψψ的原函数。

取φ))(((1t -ψ=F (x ),

那么F '(x )=dx

dt dt t d *)(φ= f )())((t t 'ψψ*)(1t 'ψ= f ))((t ψ=f(x), 所以,F (x )是f(x)的原函数。

所以,∫f(x)dx=F (x )+C=φ))(((1t -ψ

+C=dt t t ')())((ψψ。 例如∫dx x a 22-(a>0)

因为a 2-(asint)2=(acost)2,取x=asint.

原式=∫acost*acostdt

= a 2∫cos 2tdt

= a 2∫dt t 2

12cos + =??+tdt a dt a 2cos 2212

2

=dt t t a t a '?+)2(*2cos 4222=C t t a a x a ++cos sin 2

arcsin 222

=C a

x x a x a +-+22)(12arcsin 2。 在运用第二类换元法x=)(t ψ换元时,最后还需要用t=)(1x -ψ换回x 。

三、分部积分法

前面学习过换元积分法,换元积分法的理论依据是复合函数的微分法。现在学习积分的分部积分法。分部积分法主要是应用在被积表达式是乘积的形式。

在导数的乘法运算中,(uv )'=u 'v+uv '.

所以,uv '=(uv )'-u 'v

对上式两边同时积分计算,则有∫uv 'dx=uv-∫u 'vdx.这就是分部积分法。 如∫xcosxdx

原式=∫x*(sinx)'dx

=x*sinx-∫sinxdx

=xsinx+cosx+C

分部积分法求解步骤:1.在运用分部积分法解题时先要将被积表达式写出函数和导函数的形式。例如上题中将被积表达式写出x*(sinx)'的形式。