排列组合、概率问题)

（排列组合、概率问题）

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。

四．处理排列组合应用题

1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：

①直接法：

②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；

例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公

益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，

从而应当填＝48. 从而应填48．

例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

解一：间接法：即

解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

（3）相邻问题：捆邦法：

对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插

解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总

的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元

素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；

例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少

种排法？

分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，

只有1种排法，故共有·1=840种.

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排

列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数）

①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；

③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。

④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。

⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。

⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

4.组合应用题：

（1）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种.

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种.

（2）“含”与“不含” 用间接排除法或分类法:

2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛

（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；

（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；

（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；

（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法

5．分组问题：

均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。

非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。

混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

6．分配问题：

定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

7．隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题

五．二项式定理

3.二项式定理的应用

求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为整数；

证明整除或求余数；

利用赋值法证明某些组合恒等式；

近似计算。

4.二项式系数的性质：

5．区分

（1）某一项的二项式系数与系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。

展开式中的系数就是二项式系数。

（2）二项式系数最大项与系数最大项

①二项式系数最大项是中间项

②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组求k。

再求第k+1项值。

③系数的绝对值最大的项

二项展开式的系数绝对值最大项的求法，设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值，即由

求r

注意：二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先

求系数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负，则它为展开式中系数最小的项

（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。

注意：（1）二项展开式的各项系数绝对值的和相当于

的各项系数的和。即令原式中的x=-1即可。

（2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

六．事件分类

七．对某一事件概率的求法：

八.离散型随机变量

1.在的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

2.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为

X取每一个值(i=1,2,）的概率，

则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：

③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

公式：期望或平均数、均值E(X)＝

方差:

说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

(2)的算术平方根为随机变量X的标准差，

(3)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。

(4)性质：

4．二项分布：在n次独立重复试验中，一次试验中某事件A发生的概率是p, 某事件A发生的次数为X，

则在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为

p(X=k)=

X的分布列为

此时称ξ服从二项分布，记作X～B(n,p).

若X～B(n,p)，则,

在概率的计算中的排列组合

预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义

由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有

Session 3-permutaiton combination probability 排列组合和概率

1. PERMUTATION Suppose n objects are to be ordered from 1st to nth, each order is called a permutation. Apply the multiplication principle to count the number of permutations of n objects, i.e. n(n-1)(n-2)(n-3)....(3)(2)(1), or n!, called n factorial. e.g. Suppose that 10 students are going on a bus trip, and each of the students will be assigned to one of the 10 available seats. What is the number of possible different seating arrangements of the students on the bus? Notice: n objects should be distinguishable and they are always ordered in a line. If the objects are not ordered in a line but in other shapes, such as a circle or a square, how to calculate the number of permutations? e.g. Five students are going to sit around a table, how many arrangement can there be? (If the relative position of two students is the same, then we view it as one arrangement.) formula: (n-1)! If there are some objects are exactly the same, the number of permutations should be calculated in another way. e.g. How many different five-letter words can be formed when all letters in the word ENTER are used each time. formula: n!/(number of repeated objects)! Suppose that k objects will be selected from a set of n objects, where k<=n, and the k objects will be placed in order from 1st to kth. The number of permutation is n(n-1)(n-2)....(n-k+1). e.g. How many different five-digit positive integers can be formed using the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, and 7 if none of the digits can occur more than once in the integer? 2. Combination Given the five letters A, B, C, D, and E, determine the number of ways of selecting 3 of the 5 letters, but unlike before, you do not want to count different orders for the 3 letters. i.e. Note that n choose k is always equal to n choose n-k

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)

一、排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4． (1995年高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。

四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原

理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少

高中数学-排列组合概率综合复习

高中数学 排列组合二项式定理与概率统计

其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 例4、设88 018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5、组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1 n -1 D ．n r C r -1n -1 . 例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 1 84 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 )5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4 x

2013国家公务员考试行测暑期向前冲 数学运算：排列组合与概率问题重难点讲解

2013国家公务员考试行测暑期向前冲数学运算：排列组合 与概率问题重难点讲解 排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题常用以下三种策略解题： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥（互不相容）；②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立（不相互影响）；②步与步之间保持连续性。 3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。问有多少种选法？

A．120 B．600 C．1440 D．42000 中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题（参加五个不同的竞赛），又涉及组合问题（从12名学生中选出5名），应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 2.条件概率 在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。 P（AB）为AB同时发生的概率，P（B）为事件B单独发生的概率。

高中数学排列组合概率练习题

高中数学排列组合概率练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ） 37 （B ） 47 （C ） 114 （D ） 1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是3 9C ．所以3 9 613114 C - = ． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302 32 5=?C C 个，于是最多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有2 2 m n C C ?个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：4 12C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 45 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???

高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+

2015年国考数量关系：排列组合与概率问题重难点讲解

2015年国考数量关系：排列组合与概率问题重难点讲解 中公教育专家通过对真题的深入研究发现，排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多地涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被重视。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题，中公教育专家通过多年的研究经验找出了其常用的三种解题策略： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥(互不相容);②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立(不相互影响);②步与步之间保持连续性。

3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】奶奶有6 颗口味各不相同的糖，现分给3 个孙子，其中1 人得1 颗、1 人得2 颗、1人得3颗，则共有( )种分法。 A.60 B.120 C.240 D.360 中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题(参加6颗口味各不同的糖)，又涉及组合问题(分给三个孙子，每人分得糖数不同)，应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 【例题2】田忌与齐威王赛马并最终获胜被传为佳话。假设齐威王以上等马、中等马和下等马的固定顺序排阵，那么田忌随机将自己的三匹马排阵时，能够获得两场胜利的概率是( )。

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

高一数学排列组合和概率教案苏教版

江苏省白蒲中学2013高一数学排列、组合和概率教案01 苏教版 两个基本原理 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键． 2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理： 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计

例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 184 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408 1 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.16 625 B. 96625 C. 192625 D. 256625

排列组合概率专题讲解

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

排列组合与概率原理及解题技巧

排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1

高中数学竞赛_排列组合与概率【讲义】

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用 m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地 0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为 n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---222110.其

排列组合与概率

专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m ≤n)． 4.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N * ，且m ≤n). 5.组合数的两个性质： (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1+ （3）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =?！ . 7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 【题例分析】 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4 4A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －3 3A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23 3A ＋2 2A ） 种，故共有252种． 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有5 5A 种,共有5 513452335 )(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404 447=A C 种．

GRE数学排列组合和概率题目

GRE数学排列组合和概率题目 考生在答新gre数学试题时，一定要细心认真，把握好时间，最好有做完检查的时间，尽量在新gre数学部分获取高分。 1、15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法? C155 –C122 2、7人比赛，A在B的前面的可能性有多少种 P77 / 2 A在B前的次数与在其后的次数相等 3、3对人分为A,B,C三组，考虑组顺和组中的人顺，有多少种分法? P33 ×(P22 )3 先考虑组顺，再考虑人顺 4、17个人中任取3人分别放在3个屋中，其中7个只能在某两个屋，另外10个只能在另一个屋，有多少种分法? P72 P101 5、A,B,C,D,E,F排在1，2，3，4，5，6这六个位置，问A不在1，B不在2，C不在3的排列的种数? P66 -3P55 +3P44 -P33 (先取总数，后分别把A放1，B放2, C放3,把这个数量算出，从总数中减去即可，建议用三个同样的环相互交错取总数的方法计算) 6、4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，有多少种排法? 2P33 7、5辆车排成一排，1辆黄色，1两蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法? P55 /P33 如果再加一个条件2辆不可分辨的白色车，同理：P77 /P33 P22 8、4对夫妇，从中任意选出3人组成一个小组，不能从任一对夫妇中同时选择两人，问符合选择条件的概率是多少? (C83 –C61 C41 )/C83 9、从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。 C61 C52 C21 C21 /C124 10、3个打字员为4家公司服务，每家公司各有一份文件录入，问每个打字员都收到文件的概率? (C42 C21 )C31 /34 先把文件分为2，1，1三堆，然后把这三堆文件分给三个打字员。 虽然新版gre数学部分难度系数有所提高，但相信我们国内考生能够从容应对，以上即是搜索整理的有关新gre数学排列组合和概率题目解析，希望能对广大考生有所帮助。