北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册)
第一章 证明(二)
※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的
直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:2
22c b a =+(注意区分斜边与直角边)
②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线..。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示,
AO=BO=CO )
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。 (如图2所示,OD=OE=OF)
第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02
=++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程......
。 ※把02
=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。
※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2
=+m x 的形式>
②公式法 a
ac
b b x 242-±-= (注意在找ab
c 时须先把方程化为一般形式)
③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)
A C
B O 图1 图2 O
A C B
D E F
※配方法解一元二次方程的基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;
②将二次项系数化成1;
③把常数项移到方程的右边;
④两边加上一次项系数的一半的平方;
⑤把方程转化成0)(2
=+m x 的形式;
⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系:当b 2
-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;
当b 2
-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b 2
-4ac<0时,方程无实数根。
※如果一元二次方程02
=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2,则有:
a
c x x a
b x x =
?-
=+2121。 ※一元二次方程的根与系数的关系的作用: (1)已知方程的一根,求另一根;
(2)不解方程,求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值,特别注意以下公式:
①212
212
22
12)(x x x x x x -+=+ ②
2
12
12111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-
④
2
1221214)(||x x x x x x -+=- ⑤
||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+
⑥)(3)(21213
213
23
1x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。
(3)已知方程的两根x 1、x 2,可以构造一元二次方程:0)(2122
1=++-x x x x x x (4)已知两数x 1、x 2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程
0)(21221=++-x x x x x x 的根
※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:①设未知数(在设未知数时,大多数情况
只要设问题为x ;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);②寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。 ※处理问题的过程可以进一步概括为: 解答检验
求解
方程抽象分析问题
→→ 第三章 证明(三)
※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形.....
,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线...
。
※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距
离相等。这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形
..。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)
※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)
※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):
※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
鹏翔教图3
※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
第四章视图与投影
※三视图包括:主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正,高平齐,宽相等。一般地,俯视图要画在主视图的下方,左视图要画在正视图的右边。
主视图:基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图:基本可认为从物体上面视得的图象
左视图:基本可认为从物体左面视得的图象
※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面),而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框,一定是平面体(或曲面体)上凸出或凹的各个小的平面体(或曲面体)。
※在画视图时,看得见的部分的轮廓线通常画成实线,看不见的部分轮廓线通常画成虚线。物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影
..。
太阳光线可以看成平行的光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影
....。
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的,像这样的光线所形成的投影称为中.
心投影
...。
※区分平行投影和中心投影:①观察光源;②观察影子。
眼睛的位置称为视点
..;由视点发出的线称为视线
..。
..;眼睛看不到的地方称为盲区
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影,是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点;
②线段在一个面上的投影可分为三种情况:
线段垂直于投影面时,投影为一点;
线段平行于投影面时,投影长度等于线段的实际长度;
线段倾斜于投影面时,投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况:
平面图形和投影面平行的情况下,其投影为实际形状;
平面图形和投影面垂直的情况下,其投影为一线段;
平面图形和投影面倾斜的情况下,其投影小于实际的形状。
第五章 反比例函数
※反比例函数的概念:一般地,x
k
y =
(k 为常数,k ≠0)叫做反比例函数,即y 是x 的反比例函数。
(x 为自变量,y 为因变量,其中x 不能为零) ※反比例函数的等价形式:y 是x 的反比例函数 ←→ )0(≠=
k x
k
y ←→ )0(1≠=-k kx y ←→ )0(≠=k k xy ←→ 变量y 与x 成反比例,比例系数为k.
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法:①按照反比例函数的定义判断;②看两个变量的乘积是否为定值<即k xy =>。(通常第二种方法更适用)
※反比例函数的图象由两条曲线组成,叫做双曲线 ※反比例函数的画法的注意事项:①反比例函数的图象不是直线,所“两点法”是不能画的;
②选取的点越多画的图越准确;
③画图注意其美观性(对称性、延伸特征)。
※反比例函数性质:
①当k>0时,双曲线的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随x 的增大而减小; ②当k<0时,双曲线的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随x 的增大而增大; ③双曲线的两支会无限接近坐标轴(x 轴和y 轴),但不会与坐标轴相交。 ※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有
|21|
|
||S k xy S AOB OAPB =
==?矩形第六章 频率与概率
※在频率分布表里,落在各小组内的数据的个数叫做频数..; 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率..
; 即:实验次数
频数
数据总数频数频率==
在频率分布直方图中,由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率,而各组频率的和等于1。因此,各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式,前者准确,后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 可用列表的方法求出概率,但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m 个黑球,通过多次试验,我们可以估计出布袋内随机摸出一球,它为白球的概率;
※要估算池塘里有多少条鱼,我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号,再放回池塘,之后再从池塘中捉上200条鱼,如果其中有10条鱼是有标记的,再设池塘共有x 条鱼,则可依照
200
10
100=x 估算出鱼的条数。(注意估算出来的数据不是确切的,所以应谓之“约是XX ”)
※生活中存在大量的不确定事件,概率是描述不确定现象的数学模型,它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小,并不表示一定会发生。
北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册)
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切:
定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..
,记作tanA ,即的邻边
的对边
A A A ∠∠=
tan ;
①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;
④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;
⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大; ∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
※二. 正弦..: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边
的对边
A A ∠=
sin ;
※三. 余弦: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边
的邻边
A A ∠=
cos ;
※余切: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边
的邻边
A A A ∠∠=
cot ;
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A 为锐角,则 ①)90cos(sin A A ∠-?=;
)90sin(cos A A ∠-?=
②)90cot(tan A A ∠-?=;
)90tan(cot A A ∠-?=
※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线
图
1
图 3
图4
所成的锐角称为仰角..
※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成 的锐角称为俯角..
※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当
角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系:
倒数关系:tg α·ctg α=1。
※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;
(2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°; (3)边与角之间的关系:
;cot ,
tan ,
cos ,
sin a b
A b a
A c b
A c a
A ====
;cot ,
tan ,
cos ,
sin b
a
B a
b
B c
a
B c
b
B ====
(4)面积公式:chc ab 2
1
21S ==
?(hc 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2c
b a r -+=
(6)直角三角形的外接圆半径c R 2
1
=
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:
图
2
h
※ 如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角.. (或叫做坡比..
)。用字母i 表示,即A l
h
i tan ==
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
第二章 二次函数
※二次函数的概念:形如)0(2
≠++=,a a 、、b、c bx ax y 是常数的函数,叫做x 的二次..函数..
。自变量的取值范围是全体实数。 )0(2
≠=a ax y 是二次函数的特例,此时常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围........。 ※二次函数y =ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线...。 描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数;
②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y 轴(或称直线x =0)。
③当a >0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a <0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性:
A 、当a >0时???≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小
随时x y x x y x B 、当a <0时
??
?≥≤.,0;,0增大而减小
随时增大而增大
随时x y x x y x
⑤当|a |越大,抛物线开口越小;当|a |越小,抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值:当a >0,且x =0时函数有最小值,最小值是0;当a <0,且x =0时函数有最大值,最大值是0. ※二次函数c ax y +=2
的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线
※二次函数c bx ax y ++=2的图象是以a b x 2-
=为对称轴,顶点在(a
b 2-,a
b a
c 442
-)的抛物线。(开口方向和大小由a 来决定)
※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越慢。
※二次函数c ax y +=2的图象中,a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c 决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。 ※二次函数c bx ax y ++=2的图象与y =ax 2的图象的关系:
c bx ax y ++=2的图象可以由y =ax 2的图象平移得到,其步骤如下: ①将c bx ax y ++=2配方成k h x a y +-=2)(的形式;(其中h=a
b 2-
,k=a
b a
c 442-);
②把抛物线2ax y =向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;
③再把抛物线2)(h x a y -=向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|个单位,便得到
k h x a y +-=2)(的图象。
※二次函数c bx ax y ++=2的性质:
二次函数c bx ax y ++=2
配方成a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=则抛物线的
①对称轴:x =a b
2-
②顶点坐标:(a
b 2-,a b a
c 442-) ③增减性: 若a>0,则当xa
b
2-时,y 随x 的增大而增大。......
代数定义: 几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附:典型例题 1.已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类: 1.代数式与有理式
初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求:1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义,能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3:相似三角形的概念 考核要求:以相似三角形的概念为基础,抓住相似三角形的特征,理解相似三角形的定义. 考点4:相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质,并能较好地应用. 考点5:三角形的重心 考核要求:知道重心的定义并初步应用. 考点6:向量的有关概念 考点7:向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求:掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8:锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念,30度、45度、60度角的三角比值. 考点9:解直角三角形及其应用 考核要求:1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题,尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点
考点10:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数 考核要求:1通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法,知道符号的意义. 考点11:用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求:1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原. 考点12:画二次函数的图像 考核要求:1知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像,体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13:二次函数的图像及其基本性质 考核要求:1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质,建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标,并说出二次函数的有关性质. 注意:1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14:圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求:清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念,并会用这些概念作出正确的判断. 考点15:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求:认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上,运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16:垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17:直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中,常需要分类讨论求解. 考点18:正多边形的有关概念和基本性质
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点: a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)) (4)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (5)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如x k y = (k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解: ⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数; ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = (0k ≠), ②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =?(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y = (0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值 0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0) 21.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法: 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。 1.转化:将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式) 2.系数化1:将二次项系数化为1 3.移项:将常数项移到等号右侧 4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方:左右同时开平方 7.求解:整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.
初三知识整理
全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容,在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合,使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容,学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节: 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下: 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式,知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式”一章就来认识这种式子,探索它的性质,掌握它的运算。 在这一章,首先让学生了解二次根式的概念,并掌握以下重要结论: (1)是一个非负数; (2)≥0); (3)(a≥0). 注:关于二次根式的运算,由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握,教科书先安排二次根式的乘除,再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性,并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0,b≥0),(a≥0,b>0), 并运用它们进行二次根式的化简。
“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容,再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中,注意类比整式运算的有关内容。例如,让学生比较二次根式的加减与整式的加减,又如,通过例题说明在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念, “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 (1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。 (2)在介绍公式法时,首先借助配方法讨论方程的解法,得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及有两个相等实数根的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 (3)在介绍因式分解法时,首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程,引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种