对于概率密度的不连续点如何从分布函数求得解读

对于概率密度)(x f 的不连续点。如何从分布函数)(x F 求得)(x f ？

答： 由概率密度性质，若)(x f 在点x 处连续，则有)()(x f x F ='。如果)(x f 在点x 处不连续时，可以补充定义0)(=x f ，因为这并不会影响分布函数的取值。因此，除有限个点外，如果)(x F '存在且连续，则概率密度)(x f 可以用下面方法确定：

???'''=不存在时当存在时当)(0

)()()(x F x F x F x f

概率论第三章：二维随机变量及其联合分布

第三章 二维随机变量及其联合概率分布 考试内容： 二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求： 1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。 2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率 分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。 3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独 立性的关系。 4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。 一、知识要点 1、二维随机变量的分布函数 ),(Y X 的联合分布函数 },{),(y Y x X P y x F ≤≤=， 性质:1),(0≤≤y x F ，单调不减，右连续， 0),(=-∞-∞F ，0),(=-∞y F ，0),(=-∞x F ，1),(=+∞+∞F ； X 的边缘分布函数：),()(+∞=x F x F X ； Y 的边缘分布函数：),()(y F y F Y +∞=. 2、二维离散型随机变量),(Y X 联合分布律：ij j p y Y x X P ===),(1， ,2,1,=j i ，一般用矩形表格列出； 边缘分布律：?===∑i j ij i p p x X P 记)(， ,2,1=i j i ij j p p y Y P ?== =∑记 )(， ,2,1=j . 3、二维连续型随机变量),(Y X 若?? ∞-∞ -= x y v u v u f y x F d d ),(),(，称),(y x f 为),(Y X 的联合密度函数； ),(y x f 的性质: (1) 0),(≥y x f ； (2) 1d d ),(=?? ∞+∞-∞ +∞ -y x y x f ； (3)若),(y x f 连续，则),() ,(2y x f y x y x F =???； (4)??= ∈D y x y x f D Y X P d d ),(}),{(；

标准正态分布的密度函数样本

幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的． ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布．幻灯片3 －标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布,

记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时，①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10

两个随机变量和与商的分布函数和密度函数

设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分 (,)z y f x y dx --∞ ?作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-???? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞ =-? （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞ =-? ， （1.5） 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y F z f z y f y dx f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的密度函数。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积，常记为*()X Y f f z 。因此式（1.6）又称为独立和分布的卷积公式。

设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），又X Z Y =，现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 1 2 (){} (,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1） 而 1 (,)(,)yz D f x y dxdy f x y dxdy +∞ -∞=?? ? ? （2.2） 对于固定的z ，y ，积分 (,)yz f x y dx -∞ ?作换元x u y = （这里y>0），得 (,)(,)yz z f x y dx yf yu y du -∞ -∞ =?? （2.3） 于是 01 (,)(,)(,)z D z f x y dxdy yf yu y dudy yf yu y dydu +∞-∞+∞ -∞==????? ? （2.4） 类似的可得 2 (,)(,)(,)yz D z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dydu +∞ -∞-∞-∞ ==-??? ? ? ? (2.5) 故有 12 0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z z F z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du +∞-∞ -∞ +∞-∞-∞ =+=-=?????? ? ?? (2.6) 有概率密度定义可得X Z Y = 的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞ -∞ =? (2.7) 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞-∞ =? (2.8)

一十种概率密度函数

一十种概率密度函数 function zhifangtu(x,m) %画数据的直方图,x表示要画的随机数,m表示所要画的条数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=min(x); b=max(x); l=length(x); h=(b-a)/m; %量化x x=x/h; x=ceil(x); w=zeros(1,m); for i=1:l for j=1:m if (x(i)==j) %x(i)落在j的区间上，则w(j)加1 w(j)=w(j)+1; else continue end end end w=w/(h*l); z=a:h:(b-h); bar(z,w); title('直方图') function y=junyun(n) %0-1的均匀分布，n代表数据量，一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% y=ones(1,n); x=ones(1,n); m=100000; x0=mod(ceil(m*rand(1,1)),m); x0=floor(x0/2); x0=2*x0+1; u=11; x(1)=x0; for i=1:n-1 x(i+1)=u*x(i)+0; x(i+1)=mod(x(i+1),m); x(i)=x(i)/m; end %x(n)单位化

x(n)=x(n)/m; y=x; function y=zhishu(m,n) %指数分布,m表示指数分布的参数,m不能为0.n表示数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1;n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=log(x); y=-(1/m)*u; function y=ruili(m,n) %瑞利分布,m是瑞利分布的参数,n代表数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=(-2)*log(x); y=m*sqrt(u); function y=weibuer(a,b,n) %韦布尔分布,a,b表示参数,b不能为0.n表示数据量,一般要大于1024 %a=1时,是指数分布 %a=2时,是瑞利分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end

标准正态分布的密度函数

正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算 幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布， 这可以由 以下情形加以说明： ⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的． 可以证明， 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标 一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵正态分布有许多良好的性质， 许多分布所不具备的． ⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布． 幻灯片3 －标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数 若连续型随机变量X的密度函数为 定义 则称X服从标准正态分布， 记为 标准正态分布是一种特别重要的 它的密度函数经常被使用， 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 （2）根据反常积分的运算有 可以推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质

，X的密度函数为 则密度函数的性质为： 的图像称为标准正态（高斯）曲线。 幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知，阴影面积为概率值。 对同一长度的区间 ，若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。 标准正态分布的分布规律时“中间多，两头少”. 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数 分布函数为 幻灯片8 2、标准正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决标准正态分布的概率计算. 表中给的是x > 0时, Φ(x)的值. 幻灯片9 如果 由公式得 令 则 幻灯片10 例1 解 幻灯片11 由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时， 这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 幻灯片12 三、一般正态分布的密度函数 如果连续型随机变量X的密度函数为 （其中 为参数） 的正态分布，记为 则随机变量X服从参数为 所确定的曲线叫 作正态(高斯）曲线. 幻灯片13

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布)生存分析贝叶斯概率公式全概率公式(新)

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：

离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布 抽样分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution）：例子抛硬币 1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定———— 伯努利试验） 2、

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................

1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2

利用Excel的NORMSDIST计算正态分布函数表1

利用Excel的NORMSDIST函数建立正态 分布表 董大钧，乔莉 沈阳理工大学应用技术学院、信息与控制分院，辽宁抚顺113122 摘要：利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值,极大的提高了数理统计的效率。该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数，将其引入到统计及数据分析处理过程中，代替原有的手工查找正态分布表，除具有直观、形象、易用等特点外,更增加了动态功能,极大提高了工作效率及准确性。 关键词：Excel；正态分布；函数；统计 引言 正态分布是应用最广泛的连续概率分布，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，某种产品的张力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。在科学研究及数理统计计算过程中，人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表去查找，非常麻烦。若手头有计算机，并安装有Excel软件，就可以利用Excel的NORMSDIST( x )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值，或建立一个正态分布表，准确又方便。 1 正态分布及其应用 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为N(μ，σ2 )。则其概率密度

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

正态分布及其经典习题和答案

4 3 2 1 -1 -4 -2 2 4 2 1专题：正态分布 例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于） 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 【课内练习】 1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。 2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么() ∑=-n i i x x n 1 21是指 A ．σ B ．μ C ．2σ D ．2 μ（ ） 答案：C 。解析：由方差的统计定义知。 4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，则n 的值是 。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()(1)4D np p ξ=-= 5．对某个数学题，甲解出的概率为2 3 ，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E （X ）= 。 答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412 P X P X ==?===?+?=231 (2)342P X ==?=。

正态分布的概率密度函数的推导

正态分布的概率密度函数的推导 An interesting question was posed in a Statistics assignment which was to show that the standard normal distribution was valid - ie the integral from negative infinity to infinity equated to one and in doing so showed the derivation of the part of the normal pdf. A friend of mine and I decided to try to derive the normal pdf and the thinking went along the lines of the central limit theorem which states that the mean of any probability distribution becomes normal as the number of trials increases. The derivation of this is well known.but we asked ourselves how the normal distribution was first achieved.There is another 'normal' derivation which is the binomial approximation and it is through this direction that we wondered how to derive the normal distribution from the binomial as n gets large. So the general approach we will take is to take a binomial distribution, then increase the number of samples n. (提出一个有趣的问题是在统计分配，这是表明，标准正态分布是有效的- 即从负无穷到正无穷的积分等同于一个，并在这样做表明推导了部分正常的PDF 。 我，我的一个朋友决定尝试推导出正常的PDF和沿中心极限定理指出，任何概率分布的均值作为试验增加的正常思维。 这个推导是众所周知的。但我们问自己如何正态分布首次实现。有另一种“正常”的推导，这是二项式近似和它是通过这个方向，我们想知道如何从二项式正态分布为n变大。 因此，我们将采取的一般方法是一个二项分布，再增加样本N.的数量)

两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数

两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数 一、两个随机变量的和的分布 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分(,)z y f x y dx --∞ ? 作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-? ??? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞ -∞ =-? 注意：积分限为?∞到+∞ （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞ -∞ =-? 注意：积分限为?∞到+∞ （1.5） （1.4）与（1.5）相当于分别在 x z y y z x =-=-或条件下，求X 或Y 的边缘概率密度。 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y f z f z y f y dy f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的边缘概率密度。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积公式，常记为()*()X Y f z f z 。因此式（1.6）又称为独立随机变量和的分布的卷积公式。 二、两个随机变量的商的分布 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为

求随机变量函数的概率密度函数的教学方法

浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法 摘要:针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一,在借鉴前人研究成果的基础上,提出求概率密度的四步教学法。 概率论与数理统计就是一门很有特色的数学分支,无论就是综合类大学还就是高职、高专院校,都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中,随机变量函数就是一个重点也就是一个难点,尤其就是连续性随机变量函数的概率密度,教材中只就是一般给出两种方法:一种就是先求其分布函数,然后对分布函数求导,来得概率密度函数;二就是教材中的定理1[1] 关键字: 随机变量函数 概率密度 一、 定义1:如果存在一个函数()g x ,使得随机变量,X Y 满足()Y g X = 则称随机变 量Y 就是随机变量X 的函数,那么随机变量Y 的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。 二、 (经典公式法)定理1:设随机变量X 具有概率密度 (),X f x x R ∈,又设 ()y g x =出处可导且恒有 ()()''0(0) g x g x ><或则 () Y g X =就是一个连续性 随机变量,其概率密度函数 ()()()11' ,0,X Y f g y g y y f y αβ--???<

附表标准正态分布累积概率函数表

附表：标准正态分布累积概率函数表 当)(0x N x 时≤表 这个表表示了当)(0x N x 时≤的值。使用这张表时可与内插法结合起来使用。例如： )]13.0()12.0([34.0)12.0()1234.0(-----=-N N N N 4509 .0)4483.04522.0(34.04522.0=-?-= x .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446 0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409 0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372 0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336 0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300 0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264 0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.4621 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192 0.4681 0.4286 0.3897 0.3520 0.3156 0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 0.3085 0.2743 0.2420 0.2119 0.1841 0.3050 0.2709 0.2389 0.2090 0.1814 0.3015 0.2676 0.2358 0.2061 0.1788 0.2981 0.2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.2946 0.2611 0.2296 0.2005 0.1736 0.2912 0.2578 0.2266 0.1977 0.1711 0.2877 0.2546 0.2236 0.1949 0.1685 0.2843 0.2514 0.2206 0.1922 0.1660 0.2810 0.2483 0.2177 0.1894 0.1635 0.2776 0.2451 0.2148 0.1867 0.1611 -1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 0.1587 0.1357 0.1151 0.0968 0.0808 0.1562 0.1335 0.1131 0.0951 0.0793 0.1539 0.1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.1515 0.1292 0.1093 0.0918 0.0764 0.1492 0.1271 0.1075 0.0901 0.0749 0.1469 0.1251 0.1056 0.0885 0.0735 0.1446 0.1230 0.1038 0.0869 0.0721 0.1423 0.1210 0.1020 0.0853 0.0708 0.1401 0.1190 0.1003 0.0838 0.0694 0.1379 0.1170 0.0985 0.0823 0.0681 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 0.0668 0.0548 0.0446 0.0359 0.0287 0.0655 0.0537 0.0436 0.0351 0.0281 0.0643 0.0526 0.0427 0.0344 0.0274 0.0630 0.0516 0.0418 0.0336 0.0268 0.0618 0.0505 0.0409 0.0329 0.0262 0.0606 0.0495 0.0401 0.0322 0.0256 0.0594 0.0485 0.0392 0.0314 0.0250 0.0582 0.0475 0.0384 0.0307 0.0244 0.0571 0.0465 0.0375 0.0301 0.0239 0.0559 0.0455 0.0367 0.0294 0.0233 -2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 0.0228 0.0179 0.0139 0.0107 0.0082 0.0222 0.0174 0.0136 0.0104 0.0080 0.0217 0.0170 0.0132 0.0102 0.0078 0.0212 0.0166 0.0129 0.0099 0.0075 0.0207 0.0162 0.0125 0.0096 0.0073 0.0202 0.0158 0.0122 0.0094 0.0071 0.0197 0.0154 0.0119 0.0091 0.0069 0.0192 0.0150 0.0116 0.0089 0.0068 0.0188 0.0146 0.0113 0.0087 0.0066 0.0183 0.0143 0.0110 0.0084 0.0064 -2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 0.0062 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0060 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0059 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0057 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0055 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0054 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0052 0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0051 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0049 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0048 0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 -3.0 -3.1 -3.2 -3.3 -3.4 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0013 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0013 0.0009 0.0006 0.0005 0.0003 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0012 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 -3.5 -3.6 -3.7 -3.8 -3.9 -4.0 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 附表：当0≥x 时)(x N 表 这个表表示了当0≥x 时)(x N 的值。使用这张表时可与内插法结合起来使用。例如： )]62.0()63.0([78.0)62.0()6278.0(N N N N -+= 7350 .0)7324.07357.0(78.07324.0=-?+=