(完整版)初等数论教案

初等数论教案

一、数论发展史

数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。

初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。

近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。

“数学是科学之王，数论是数学之王”。 -----高斯

由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。

二 几个著名数论难题

初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。

其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。

1、哥德巴赫猜想：

1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：

一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。

陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。

2、费尔马大定理：

费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。

经过8年的努力，英国数学家 安德鲁·怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。

3、孪生素数问题

存在无穷多个素数 p , 使得 p +2 也是素数。

究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k 为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想(3)n n n x y z n +=≥方程无非0整数解

歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。)

4、最完美的数——完全数问题

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14.接着是496和8128.他们称这类数为完美数.

欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。

三、我国古代数学的伟大成就

1、周髀算经

公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。

2、孙子算经

约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。

具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年，英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》中物不知数问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国剩余定理” 。

3、算数书

1983年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步整理，其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》。 《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年，而且《九章算术》是传世抄本或刊书，《算数书》则是出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以《算数书》引起了国内外学者的广泛关注，目前正在被深入研究之中。

4、数术记遗

《数术记遗》相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家认为本书是北周甄鸾自著。

《数术记遗》把大数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明，它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的书籍。

5、九章算术

根据研究，西汉的张苍 、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。

三国时期的刘徽为《九章》作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来。 唐代的李淳风又重新做注(656年)，作为《算数十经》之一，版刻印刷，作为通用教材。 《九章算术》的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，当中有以下的一些特点：

1.是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；

2.以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，“术”是主要需阐述的内容；

1212(21)n n n ---若是素数，则是完全数

3.以算筹为工具。

《九章算术》取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。《九章算术》的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自隋唐之际，《九章算术》已传入朝鲜、日本，现在更被译成多种文字。

6、海岛算经

《海岛算经》由三国刘徽所着，最初是附于他所注的《九章算术》（263）之后，唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。

全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了数学基础。

7、算经十书

唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失传，实际刊刻的只有九种）。

8、测圆海镜

《测圆海镜》由中国金、元时期数学家李冶所著，成书于1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。

李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以后才完全作到这一点。

数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。

第一章整数的整除性

第一节整除的概念

?一、基本概念

1、自然数、整数

2、正整数、负整数

3、奇数、偶数

关于奇数和偶数性质：

1.奇数+奇数=偶数；

奇数+偶数=奇数；

偶数+偶数=偶数；

2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）。

3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个。

关于奇数和偶数性质：

4.奇数×奇数=奇数；

奇数×偶数=偶数；

偶数×偶数=偶数；

5.若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个是偶数。

6.若a 是整数，则|a | 与a 有相同的奇偶性。

7.若a ，b 是整数，则a +b 与a -b 奇偶性相同。

例1 在1,2,3，Λ ，1998,1999这1999个数的前面任意添加一个正号或负号，问它们的代数和是奇数还是偶数？

例2 设n 为奇数， 是1,2， Λ ，n 的任意一个排列， 证明 必是偶数。

例3 将正方形ABCD 分割成 个相等的小方格（n 是正整数），把相对的顶点A,C 染成红色，B,D 染成蓝色，其他交点任意染成红蓝两色中的一种颜色，证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的数目必是偶数。

例4 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合 中可以找到两个数a ，b ，使得a b-1 不是完全平方数。

12,,,n a a a

L 12(1)(2)()n a a a n ---

L 2n {}2,5,13.

d

? 一个性质：

整数+整数=整数

整数-整数=整数

整数*整数=整数

二、整除

? 1、定义：设a ，b 是整数，b ≠0。如果存在一个整数q 使得等式：

a=bq

成立，则称b 能整除a 或a 能被b 整除，记b ∣a ；

如果这样的q 不存在，则称b 不能整除a ，记为b a 。

注：显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。

素数：

定义 设整数n ≠0，±1.如果除了显然因数±1，±n 以外，n 没有其他因数，那么，n 叫做素数（或质数或不可约数），否则，n 叫做合数.

规定：若没有特殊说明，素数总是指正整数，通常写成p 或 p1， p2，…， pn. 例 整数2，3，5，7都是素数，而整数4，6，8，10，21都是合数.

2、整除的性质

设a ，b ，c 是整数

（1）a ∣ a

（2）如果 a ∣ b ， b ∣ c ，则a ∣ c

（3）如果 a ∣b ， a ∣c ,则对任意整数m ，n 有a ∣mb+cn.

（4）如果a ∣ c ，则对任何整数b ， a ∣ b c .

（5）若（ a ，b ）=1，且a ∣ b c ，则a ∣ c

（6）若（ a ，b ）=1，且a ∣c ， b ∣ c 则a b ∣ c

（7）若（ a ，b ）=1，且a b ∣c ，则a ∣c ， b ∣ c

（8）若在等式 中，除某一项外，其余各项都能被c 整除，则这一项也能被c 整除。

常用结论：

（1）设p 为素数 ，若p ∣ b a ，则p ∣a 或 p ∣b .

（2） p|a 或 (p ，a )=1 . p ∣ ? p ∣a

例6 证明：121 ，n ∈Z 。

1

1m n i j i j a b ===∑∑

2a 2212n n ++

（3）素数判定法则：

设n 是一个正整数，如果对所有的素数p ≤ ，都有p n ，则n 一定是素数.

（4） 任何大于1的整数a 都至少有一个素约数。

推论 任何大于1的合数a 必有一个不超过 的素约数。

10以内的素数是 2,3,5,7，用它们除100以内大于10的数，删去所有能被它们整除的数，剩下的(含2,3,5, 7在内)就是100以内的所有素数．

最后剩下2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89和97 . 这25个数就是100 以内的全部素数．

再用这25个素数除1002＝10000以内大于100的数，删去所有能被它们整除的数，可以得到10000以内的所有素数．

重复这个做法可以得到任意给定的正整数以内的所有素数．这个方法叫做埃拉托斯特尼(Eratosthene)筛法．

人们一直在寻找更大的素数。

近代已知的最大素数差不多总是形如 2n – 1 的数。当n 是合数时， 2n – 1 一定是合数．

设n=ab ，其中a>1,b>1，有

当n 为素数时, 22 – 1=3, 23 – 1＝7, 24 – 1＝31, 27 – 1=127 都是素数,

而 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 是合数．

设P 为素数, 称如 2p –1的数为梅森(Matin Merdenne)数.

到 2002年为止找到的最大梅森素数是213466917 – 1, 这个数有 4百万位．

可除性判别方法

? 判别方法1：（整数被2整除）

如果一个整数的末尾数字能被2整除，则该数能被2整除。即：若2∣a0，，则2 ∣N.

? 判别方法2：（整数被5整除）

如果一个整数的末尾数字能被5整除，则该数能被5整除。即：若5∣a0，，则5∣N.

? 判别方法3：（整数被3整除）

如果一个整数的各位数字之和能被3整除，则该数能被3整除。即：若3∣an+an-1+…a1+a0，，则3 ∣N.

? 判别方法4：（整数被9整除）

如果一个整数的各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除。即：若9∣an+an-1+…a1+a0，，则9 ∣N.

例6 有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？

n

a )12...22)(12(12)2()1(++++-=---a

b a b a b ab