2019全国1卷高考数学文科(最终版)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1.设312i

z i

-=+，则z =（ ） A.2

D.1 答案： C

解析： 因为3(3)(12)1712(12)(12)5i i i i

z i i i ----=

==++-

所以z =

=2. 已知集合}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，

=A ，7}63{2，，，=B ，则=A C B U （ ） A. }6,1{ B.}7,1{

C.}7,6{

D. }7,6,1{ 答案：

C

解析：

}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，=A ，则7}6{1，，=A C U ，又 7}63{2，，，=B ，则

7}{6，=A C B U ，故选C.

3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a << 答案： B

解答：

由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，

0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是2

15-（

618.02

1

5≈-称为黄金分割比例）

，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是2

1

5- .若某人满足上述两个黄金分割比

例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）

A.cm 165

B.cm 175

C.cm 185

D.cm 190 答案： B

解析： 方法一：

设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-2

1

5， 根据题意可知

λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DF

AD

，故t DF λ

λ1+=

； 所以身高t DF AD h λλ2

)1(+=

+=，将618.02

1

5≈-=

λ代入可得t h 24.4≈.

根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；

即26+t λλ，将618.02

1

5≈-=λ代入可得4240<

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

215-（618.02

1

5≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至

肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是2

1

5-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头

顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接

近，故选B. 5. 函数2

sin ()cos x x

f x x x

+=

+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A.

B.

C.

D.

答案： D

解答： ∵()()()

2

sin ()cos x x f x x x ---=

-+-=2

sin cos x x

x x

+-

+()f x =-，

∴()f x 为奇函数，排除A.

又2

2

sin 422

2

()02

cos

22f π

π

π

π

ππ

π+

+==

>??

+ ???

，排除C ，

()

2

2

sin ()01cos f πππ

ππ

ππ+=

=

>++，排除B ，故选D. 6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,

,1000，从这些新生

中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）. A.8号学生

B.200号学生

C.616号学生

D.815号学生 答案： C

解答：

从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为

106(099,)n n n N +≤≤∈，可得出616号学生被抽到.

7. tan 255?=（ ）

A.2-

B.2-

C.2

D.2 答案： D

解析：

因为tan 255tan(18075)tan 75?=?+?=?tan 45tan 30tan(4530)1tan 45tan 30?+?

=?+?=-???

化简可得tan 2552?=+8. 已知非零向量a ，b 满足||2||b a =，且b b a

⊥-)(，则a 与b 的夹角为（ ）

A.

6

π

B.3π

C.32π

D.6

5π

答案： B

解答：

||2||b a =，且b b a ⊥-)(，∴0)(=?-b b a ，有0||2

=-?b b a ，设a 与b 的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-?b b a θ，即0||c o s ||222=-b b θ，0)1cos 2(||2=-θb ， 0||≠b ，∴21cos =

θ，3πθ=，故a 与b

的夹角为3

π，选B . 9. 右图是求11

2+12+2

的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A.1

2A A =

+ B.1

2A A =+

C.1

12A A =+

D.1

12A A

=+

答案： A

解答：

把选项代入模拟运行很容易得出结论

选项A 代入运算可得

1=

1

2+

12+2A ，满足条件，

选项B 代入运算可得

1

=2+

12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得1

2

A =,不符合条件，

选项D 代入运算可得1

1+

4

A =,不符合条件. 10.双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x C ：的一条渐近线的倾斜角为?130，则C 的离心率为

（ ）

A.?40sin 2

B.?40cos 2

C.?50sin 1

D.?

50cos 1 答案： D

解答： 根据题意可知?=-

130tan a b ，所以?

?=?=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率?

=?=??+?=??+=+=50cos 1

50cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 112

2222222a b e . 11. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n s i n 4s i n a A b B c C

-=

，1cos 4A =-，则b

c

=（ ）

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

答案： A

解答：

由正弦定理可得到：222sin sin 4sin 4a A b B c C a b c -=?-=，即2224a c b =+，

又由余弦定理可得到：2221

cos 24

b c a A bc +-==-，于是可得到6b c =

12. 已知椭圆C 的焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若

222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）

A. 2212x y +=

B. 22132x y +=

C. 22

143x y +=

D. 22

154

x y +=

答案： B

解答：

由222AF F B =，1AB BF =，设2F B x =，则22AF x =，13BF x =，根据椭圆的定义21212F B BF AF AF a +=+=，所以12AF x =，因此点A 即为椭圆的下顶点，因为

222AF F B =，1c =所以点B 坐标为3(,)22b ，将坐标代入椭圆方程得291

144

a +=，解得

223,2a b ==，故答案选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.曲线2

3()x

y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 答案：

3y x =

解答：

∵2

3(21)3()x

x

y x e x x e '=+++2

3(31)x

x x e =++，

∴结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k =， ∴切线方程为3y x =.

14. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33

4

S =，则4S = . 答案：

58

解析：

11a =，312334

S a a a =++=

设等比数列公比为q ∴2

11134

a a q a q ++=

∴12q =-

所以4S =5

8

15．函数3()sin(2)3cos 2

f x x x π

=+-的最小值为___________． 答案： 4- 解答：

23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12

f x x x x x x x π

=+

-=--=--+， 因为cos [1,1]x ∈-，知当cos 1x =时()f x 取最小值， 则3()sin(2)3cos 2

f x x x π

=+

-的最小值为4-． 16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的

，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案：

解答：

如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做

,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在

Rt PCF ?中，由2,PC PF ==1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，

结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1O E O F =

=，OC =，

PO ==

三、解答题：共70分。第17-21题为必考题，第22,23为选考题，考生需要按照要求作答. （一）必考题：共60分

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的

（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2） 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：2

2

()()()()()

n ad bc a b c d a c b d κ-=++++

答案：

(1)男顾客的的满意概率为404505P =

= 女顾客的的满意概率为303505

P =

= (2) 有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

解答：

（1） 男顾客的的满意概率为404505P =

= 女顾客的的满意概率为303505

P =

=. (2) 2

2

100(40201030) 4.762(4010)(3020)(4030)(1020)

κ?-?=

=++++ 4.762 3.841>有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a S -=；

（1）若43=a ，求{}n a 的通项公式；

（2）若01>a ，求使得n n a S ≥的n 的取值范围. 答案：

（1）102+-=n a n （2）+∈N n 解答：

（1）由59a S -=结合591992

)

(9a a a S =+=

可得05=a ，联立43=a 得2-=d ，所以102)3(3+-=-+=n d n a a n

（2）由59a S -=可得d a 41=，由01>a 可知0>d ，所以等差数列{}n a 是0>n a 的单调递增数列，故n n a S ≥在+∈N n 时恒成立.

19. 如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=，

,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.

（1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离.

答案： 见解析 解答：

（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，

NG .

,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.

于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ，

由

MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2）

E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=

DE BC ∴⊥，又

1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又

12,4AB AA ==，

1DE C E ∴，设点C 到平面1C DE 的距离为h

由11C C DE C DCE V V --=得

1111

143232

h ?=??

解得h =

所以点C 到平面1C DE 20. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '是()f x 的导数. （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0,]x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围. 答案： 略 解答：

（1）由题意得()2cos [cos (sin )]1f x x x x x '=-+--cos sin 1x x x =+- 令()cos sin 1g x x x x =+-，∴()cos g x x x '=

当(0,]2

x π

∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，

当(

,)2

x ππ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，

∴()g x 的最大值为()12

2

g ππ

=

-，又()2g π=-，(0)0g =

∴()()02g g ππ?<，即()()02

f f π

π''?<，

∴()f x '在区间(0,)π存在唯一零点.

（2）令()()F x f x ax =-2sin cos x x x x ax =---， ∴()F x 'cos sin 1x x x =+-a -，

由（1）知()f x '在(0,)π上先增后减，存在(

,)2

m π

π∈，使得()0f m '=，且(0)0f '=，

()=1022

f ππ

'->，()2f π'=-， ∴()F x '在(0,)π上先增后减，(0)F a '=-，()12

2

F a ππ

'=

--，()2F a π'=--，

当()02

F π

'≤时，()F x '在(0,)π上小于0，()F x 单调递减，

又(0)0F =，则()(0)0F x F ≤=不合题意，

当()02F π'>时，即

102a π

-->，12

a π

<

-时，

若(0)0F '≥，()0F π'≤，()F x 在(0,)m 上单调递增，在(,)m π上单调递减，

则(0)0()0F F π≥??≥?

解得0a ≤，

而(0)0()20

F a F a π'=-≥??'=--≤?解得20a -≤≤，故20a -≤≤，

若(0)0F '≥，()0F π'≥，()F x 在(0,)π上单调递增，且(0)0F =，

故只需(0)0()20F a F a π'=-≥??'=--≥?

解得2a ≤-；

若(0)0F '≤，()0F π'≤，()F x 在(0,)2

π

上单调递增，且(0)0F =，

故存在(0,)2

x π

∈时，()(0)0F x F ≤=，不合题意，

综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.

21. 已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，过点,A B 且与直线20x +=

相切.

（1）若A 在直线0x y +=上，求

的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由. 答案：

（1）2或6； （2）见解析. 解答：

（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上，设圆的方程为

222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=得2242a r +=；

∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0,2a r ==或4,6a r ==. （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+即2

2242x y x ++=+ 化简得2

4y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线，所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=. （二）选考题：共10分，请在22、23题中选一题作答

22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ?-=??+?

?=?+?

为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程

为

2cos sin 110ρθθ++=.

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）求C 上的点到l 距离的最小值. 答案： 略 解答：

(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+

++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2

214

y x +=

而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==

代入即可得到2110x +=

（2）将曲线C 化成参数方程形式为

则

d==

所以当

3

62

ππ

θ+=

23.已知a，b，c为正数，且满足1

=

abc，证明：

（1）2

2

2

1

1

1

c

b

a

c

b

a

+

+

≤

+

+；

（2）24

)

(

)

(

)

(3

3

3≥

+

+

+

+

+a

c

c

b

b

a.

答案：（1）见解析；

（2）见解析.

解析：（1） ab

b

a2

2

2≥

+，bc

c

b2

2

2≥

+，ac

a

c2

2

2≥

+，

∴ac

bc

ab

c

b

a2

2

2

2

2

22

2

2+

+

≥

+

+，即ac

bc

ab

c

b

a+

+

≥

+

+2

2

2，当且仅当c

b

a=

=

时取等号. 1

=

abc且a，b，c都为正数，∴

c

ab

1

=，

a

bc

1

=，

b

ac

1

=，故

2

2

2

1

1

1

c

b

a

c

b

a

+

+

≤

+

+.

（2） 33

3

3

3

3

3)

(

)

(

)

(

3

)

(

)

(

)

(a

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a+

+

+

≥

+

+

+

+

+，

当且仅当3

3

3)

(

)

(

)

(a

c

c

b

b

a+

=

+

=

+时等号成立，即c

b

a=

=时等号成立.又

)

)(

)(

(3

)

(

)

(

)

(

333

3

3a

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a+

+

+

=

+

+

+ac

bc

ab2

2

2

3?

?

?

≥abc

42

=，当且仅当c

b

a=

=时等号成立， 1

=

abc，故24

24

)

(

)

(

)

(

333

3

3=

≥

+

+

+abc

a

c

c

b

b

a，即得24

)

(

)

(

)

(3

3

3≥

+

+

+

+

+a

c

c

b

b

a.