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模型组合讲解——对称性模型

模型组合讲解一一对称性模型

马秀红王世华

［模型概述］

对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考

命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作

为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。

［模型讲解］

1.简谐运动中的对称性

例1.劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高

度为h,用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则：

A.运动过程中距地面的最大高度为2h

B.球上升过程中势能不断变小

C.球距地面高度为h时，速度最大

D.球在运动中的最大加速度是kh/m

解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，

当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h,利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高

点速度为零时距平衡位置也为h,所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h,由于球的振

k k

幅为h,由a x可得，球在运动过程中的最大加速度为 a h，球在上升过程中动

m m

能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正确选项为

ACD。

2.静电场中的对称性

例2. （2005上海高考）如图1所示，带电量为+ q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d, 点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中b点处产生的电场强度为零，根据对称

性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k）。

解析：在电场中a点:图1

E a E 板E q 0

板上电荷在a、b两点的电场以带电薄板对称，带电薄板在b点产生的场强大小为kE d 方向水平向左。

点评：题目中要求带电薄板产生的电场，根据中学物理知识仅能直接求点电荷产生的电场，无法直接求带电薄板产生的电场；由E a= 0，可以联想到求处于静电平衡状态的导体的

感应电荷产生的场强的方法，利用E板E q来间接求出带电薄板在a点的场强，然后根

据题意利用对称性求出答案。

例3.静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布

如图2所示。虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为x0）时，速度与Ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区

域时仅在Ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度v y,随位置坐

标x变化的示意图是：

图2

解析：由于静电场的电场线与等势线垂直，且沿电场线电势依次降低，由此可判断Ox

轴上方区域y轴左侧各点的场强方向斜向左上方，y轴右侧各点的场强方向斜向左下方。电

子运动过程中，受到的电场力的水平分力沿x轴正方向，与初速方向相同，因此，电子在x 方向上的分运动是加速运动，根据空间对称性，电子从x = x0运动到x x0过程中，在y

轴左侧运动时间比在y轴右侧运动的时间长。电子受到电场力的竖直分力先沿y轴负方向,

后沿y轴正方向。因此电子在y方向上的分运动是先向下加速后向下减速，但由于时间的不对称性，减速时间比加

速时间短，所以，当x x0时，v y的方向应沿y轴负方向。正确答案为D。

3.电磁现象中的对称性

例4. （2005年全国高考）如图3所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+ q的粒子，以

相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间

的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R= mV。哪个图是正

确的？（）

X X X X X

X X 0 X X X

X X X X X

M --------

——N

图3

A E

解析：由于是许多质量为m带电量为+ q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。

在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。

①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到：

Bqv ?叱，解得R = 。所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。

R Bq

②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半

圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。

③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点0为转动点，以2R为直径从右

扫到左的一片区域。即如图4所示。

JI 0 N

图4

4.光学中的对称性

例5. （2005年江苏高考）1801年，托马斯?杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。1834

年，洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。

（1）洛埃镜实验的基本装置如图5所示，S为单色光源，M为一平面镜。试用平面镜成像作图法在答题卡上

画出S经平面镜反射后的光与直接发出的光在光屏上相交的区域。

光屏

—^7 ---------------------- ：

图5

（2）设光源S到平面镜的垂直距离和到光屏的垂直距离分别为a和L,光的波长为，

在光屏上形成干涉条纹。写出相邻两条亮纹（或暗纹）间距离x的表达式。

解析：（1）如图6

（2）x -

因为d 2a，所以

点评：试题以托马斯?杨的双缝干涉实验为引导，以洛埃镜实验为载体，将平面镜对光

的反射与光的干涉综合在一起，考查考生对“一分为二”及干涉过程的理解和对课本知识的

所示。

X X X X X X X

迁移能力。

［模型特征］

在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准确地解决问题。

对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。

它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。女口，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看作是一个初速度为零的匀加速直线运动，于是便

可将初速度为零的匀加速直线运动的规律和特点，用于处理末速度为零的匀减速运动，从而简化解题过程。具体如：竖直上抛运动中的速度对称、时间对称。沿着光滑斜面上滑的物体运动等具有对称性；简谐振动中|v|、|a|、|FI、动势能对称以平衡位置的对称性；光学中的球型对称等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一种科学的思维方

法。

利用对称法解题的思路：①领会物理情景，选取研究对象；②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某一过程或某一状态；③透析研究对象的属性、运动特点及规律；④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对称性特点，依物理规律，对题目求解。

［模型演练］

将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图7甲表示小滑块（可视为

质点）沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的AA之间来回滑动。A、A点与0点连线

与竖直方向之间夹角相等且都为，均小于10°,图7乙表示滑块对器壁的压力F随时间t

变化的曲线，且图中t= 0为滑块从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中（包括图中）所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量。（g取10m/s2）

T 2g

斗代入数据，得R= 0.1m

在最高点A，有F min

在最低点B ,有F max

答案：由图乙得小滑块在A、A之间做简谐运动的周期

由单摆振动周期公式T

.R，得球形容器半径R g

mg cos，式中F min0495 N

mg m—，式中F max0510 N

从A到B过程中，滑块机械能守恒

—mv mgR(1 cos )

联立解得：cos 0.99，则m 滑块机械能

E mv2

2 mgR(1 cos )

=0.05kg

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