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影响线练习题

四、例题解析

(一)概念题

例3-2荷载处于某一最不利位置时,按梁内各截面的弯矩值竖标画出的图形,称为简支梁的弯矩包络图。()(大连理工1999)

答案:×。

例3-3简支梁绝对最大弯矩值是:()(天津大学1997)

A、梁中某截面的最大弯矩值;

B、梁跨度中点附近某截面的弯矩值;

C、梁中各截面最大弯矩中的最大值;

D、梁中间截面的最大弯矩值。

答案:C。

例3-4静定结构中任何量值的影响线都是由直线段组成。()(西南交大1997)答案:×。静定结构的位移影响线是曲线。

例3-5 用静力法作影响线,影响线方程中的变量代表截面位置的横坐标。()(华中理工1999)

答案:×。代表单位力的位置。

例3-6 图3-4所示结构BC杆轴力影响线应画在BC杆上。()(华中理工2000)

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图3-4

答案:×。影响线的作用范围是单位荷载的移动范围,应画在AB杆上,而不是在BC 杆。

例3-7简支梁跨中截面C弯矩影响线的物理意义是荷载F P=1作用在截面C的弯矩图。()(湖南大学2005)

答案:×。

例3-8 结构上某截面剪力的影响线,在该截面处必定有突变。()(中南大学2005)答案:×。提示:间接荷载下的剪力影响线在该截面处不一定有突变。

例3-9 作影响线时,只需考虑单位集中荷载,不需要考虑结构上的实际荷载。()(中南大学2007)

答案: 。

例3-10 影响线仅用于解决活载作用下结构的计算问题,不能用于恒载作用下的计算。()(西安交大2003)

答案:×。

例3-11 图3-5所示结构,M A影响线(下侧受拉为正)D处的纵标为:( )(西南交大2002)

A、0;

B、l;

C、-l;

D、-2.236l/2。

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图3-5

答案:C。提示:根据影响线的概念,本题实际是求荷载移动至D点时,M A的值。

例3-12 机动法作静定结构内力影响线的依据是:()(西安交大2005)

A、刚体体系的虚力原理;

B、变形体的虚功原理;

C、刚体体系的虚位移原理;

D、变形体的虚位移原理。

答案:C。

例3-13 图3-6a所示结构a杆的内力影响线如图b所示。()(天津大学2005)

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(a)(b)

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图3-6

答案: 。提示:桁架的每一节间影响线都是直线,故可将单位荷载分别作用在结点,求出a杆的轴力,再连成直线。

例3-14 图3-7所示结构,某截面剪力影响线已作出如图所示,则竖标y C表示:()(浙江大学2005)

A、F P=1在B时,C截面的剪力值;

B、F P=1在C时,C截面的剪力值;

C、F P=1在C时,

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时,B截面右侧的剪力值。

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图3-7

答案:C。

例3-19 图3-12a所示梁的最大弯矩发生在距支座A m

225

.6处。()(四川大学2005)

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(a)60kN

图3-12

答案:×。提示:当第二个力和合力分布于中点两侧时,第二个力下的弯矩最大,此时,距支座A为5.875m。

例3-20 什么是影响线?影响线的作用?(中国地震局工程力学研究所2006)

答案:详见一“基本概念”和三“影响线的应用”。

例3-21 举例说明弯矩图和弯矩影响线的区别。(四川大学2007)

答案:详见一“基本概念”

(二)求作影响线

例3-23 F P=1在上层梁移动,试用静力法作图3-14a所示结构的F QD左,M F的影响线。(北京工业大学2006)

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D

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P=1

(b)

y

2l

x

2

1

= -

2l

x

2

1

= -2l x

2

1

= -

(d)

1/4

(e)

M F的影响线

l/32

图3-14

解:(1)求F QD左的影响线。取上层梁分析,上层梁为两端有悬挑的伸臂梁。设C为坐标原点,x、y轴方向如图b所示:

对C点取矩(图b) F RD?l=1×x?F RD=

l

x

x∈(

4

5

4

l

l

-)

对D点取矩(图b) F RC?l=1×(l-x) ?F RC=1-

l

x

x∈(

4

5

4

l

l

-)

当F P=1在D点以左移动时,F QD左=-F RD= -

l

x

x∈(l

l

4

-)

当F P=1在D点以右移动时,F QD左=F RC=1-

l

x

x∈(

4

5l

l,)

F QD左的影响线见图d。

(2)求M F的影响线(设M F下侧受拉)。取下层梁分析(图c)。

M F=F RB×

4

l

8

8

x

l

-x∈(

4

5

4

l

l

-)

M F的影响线见图e。

例3-25 有单位力在AB、CD杆上移动(图3-16a),作F RA及F QF的影响线。(天津大学2007)

D

D

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D

(d)

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的影响线

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F RA F QF 的影响线

图3-16

解:(1)求F RA 的影响线。去约束后体系发生的虚位移图见图b 。取出AB 和CD 段的位移图放于同一坐标系中,即得F RA 的影响线如图d 。(注意,虚位移图并非由F RA 引起,而是由于体系缺少约束而产生的,因此CD 段不发生位移,因为不缺少约束。)

(2)同理可绘出F QF 的影响线,见图d 。

例3-26 图3-17a 所示结构F P =1在DG 上移动,作F RD 、F NCE 、M C 和F QC 右的影响线。(华南理工2006)

(a)

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(c)

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(c')

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3/2

的影响线的影响线

M C (d')

F NCE

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的影响线F QC 右

图3-17

解: 撤去F RD 对应的约束,用一反力来代。令体系沿F RD 的正方向发生单位位移(图b ),则杆DEFG 的位移图就是F RD 的影响线(图b ′)。

同理,F NCE 、M C 和F QC 右的影响线如图c′~e ′所示。

例3-27 作图3-18a 所示结构A 点的弯矩和剪力影响线。(东南大学2005)

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的影响线F QA

(c)

图3-18

解:用机动法,过程略,虚位移图和影响线见图b 、c ,影响线中的虚线为直接荷载下

的影响线。

例3-28 当F P =1沿AC 移动时,作图3-19a 所示结构中F RB 、M K 的影响线。(华南理工2007)

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(d)1/2

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l/8

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虚位移图

K RB

图3-19

解:用机动法作影响线。

去掉相应的约束,F RB 、M K 的方向示于图b,c 中,画出虚位移图,影响线见图d 。过程略。

例3-29 求出图3-20a 所示结构F QC 、F QB 的影响线,单位荷载F P =1在E~F 间移动。(华中科技大学2005)

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F QC 的影响线

(b)

主梁的虚位移图(一)

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QB 左1/4

1/4

(c)

主梁的虚位移图(二)

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1/2

1

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的影响线

F QB 右主梁的虚位移图(三)

(d)

图3-20

解:用机动法。

先作直接荷载下的影响线,再将结点向下投影所得的竖标连成直线即得所求影响线。注意:F QB 应分为B 左和B 右两个截面分别计算。

例3-30 图3-21a 所示结构,单位荷载F P =1在HIJ 杆上移动,试作支座C 反力F RC (向上为正)和截面B 的弯矩M B (下侧受拉为正)的影响线。(浙江大学2004)

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虚位移图二

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(d)

27/8H

的影响线

F RC 图3-21

解:用机动法

(1)求F RC 的影响线,撤除F RC 的约束,体系虚位移如图b ,F RC 的影响线如图d 。 (2)求M B 的影响线,去除约束后,体系的虚位移如图c ,M B 的影响线如图d 。 例3-32 作图3-23a 所示结构杆a 内力F N a 的影响线,单位荷载F P =1在下弦杆移动。(浙江大学2007)

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F F x1

1

(b)

(d)

A

B

C

的影响线

F Na

图3-23

解:用静力法。本题几何组成为三刚片规则,求支座反力应解联立方程,先取图b 分析。 由()12

12012112120111x

F F x F F M y RA y RA O -=+?=-?=?+??=∑ (a) 再取左半部分分析(图c ),当F P =1在C 点左侧移动时,由

0=∑C

M

得:

()0

61261=-?-?+?x F F x RA ()

606261≤≤-=+?x x

F F x RA

(b)

当F P =1在C 点右侧移动时,由()

1260

2601≤≤=+?=∑x F F M x RA C (c)

联立求解(a )、(b )和(a )、(c )可得()()

???

????≤≤??? ??-=≤≤=1262823608211x x F x x F N N 。 又由结点平衡条件知1N Na F F =,故Na F 的影响线如图d 。

例3-35 当单位荷载F P 在垂直于AB 、BC 、CE 杆的外围移动时,求图3-26a 所示结构指定截面D 的弯矩与剪力影响线。(D 点弯矩以使CE 杆外围受拉为正,剪力以使所研究单元顺时针转动为正)。(北京航空航天大学2004)

(a)(b)

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(c)P L/2

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L/2

(e)

图3-26

解:用机动法,先分别去掉M D 、F QD 的约束,画出相应机动体系的虚位移图(见图b 、图c )。再由虚位移图画出影响线如图d 、e 。

注意:画影响线时,应先假设好坐标系中的正方向(与单位荷载相反的方向为y 轴的正方向,见图b ),若位移图在y 轴正向,则影响线为正号,否则为负号。

例3-37 对图3-28a 所示结构:(1)作CD 梁上截面C 处M C 的影响线;(2)作AB 梁上支座B 竖向反力F RB 及梁中点E 竖向位移ΔEV 的影响线(梁的刚度为EI )。F P =1在A-C-D 上移动(M C 以下侧受拉为正)。(北京交大2004,西南交大2002)

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C D

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(d)

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的影响线

?E V

图3-28

解:(1)求M C和

RB

F的影响线。撤去与

C

M有关的约束,令体系沿

C

M正方向产生虚位

移,

C

M的影响线如图b所示。同理作

RB

F的影响线(图c)。注意:作

RB

F的影响线时,C 点为定向结点,其连接的上下两根杆件发生位移后应保持平行。

(2)ΔEV的影响线。根据位移互等定理,求E点竖向位移的影响线相当于求单位力作用在E点时,ACD段的位移图(见图d)。其中,E点的位移用图乘法可求,为EI

l6/3;CD 段的位移为竖向平移,ΔEV的影响线如图d。

例3-38 试作图3-29a所示结构的M K、

QK

F、

QC

F的影响线。(四川大学2004)

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M K

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的影响线

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的影响线0.5

F QK QC

图3-29

解:用机动法求解。M A假设下侧受拉。虚位移图和影响线分别如图b,c,d。

例3-48试求图3-39a所示移动荷载组作用时C截面上的最大弯矩M C(max)。(同济大学2004)

2×100kN 20kN

100kN 20kN

F P1F P2F P4F P5

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F P3

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(b)

20kN 100kN 20kN

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2×100kN

图3-39

解:(1)用机动法画出M C 的影响线(图b)。

(2)求临界荷载

经分析,F P1、F P5不是临界荷载,只需分析其余三个荷载。

当F P2位于影响线顶点E ,荷载左移12

2021004

10020+?>+,右移12

2031004

20+?<,故F P2

是临界荷载。

当F P3位于影响线顶点, 荷载左移12

201004

20020+>+,右移12

2021004

10020+?>+,故F P3

不是临界荷载。F P4也不是临界荷载。 (3)求M Cmax

由以上知,当F P2作用在影响线顶点时,C 截面上产生最大弯矩

M Cmax =m kN ?=?+?+?+?+?37575.020875.010011005.1100125.120

例3-53 作图3-44a 所示结构的右QB F 影响线,并求图示移动荷载作用下右QB F 的最大值。(大连理工2004)

F P2=50kN

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(b)H

F

E

的影响线

2

(c)

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F QB 右

图3-44

解:体系虚位移图如图b ,右QB F 的影响线如图c 所示。求右QB F 的最大值时,可以排除

3P F 作用在顶点的情况,只讨论F P1和F P2。

当1P F 作用在顶点时,kN F QB 35518023502100=?+?+?=右;

当2P F 作用在顶点时,kN F QB 32011008023250=?+?+?=右;

因此kN F QB 355max =右,此时1P F 作用在顶点。