巧用椭圆的对称性解题

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巧用椭圆的对称性解题

作者：卜以军

来源：《高中生·高考指导》2015年第12期

一、求弦长

例1 已知直线y =3x+2 被椭圆+=1（a>b>0）截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8 的有______（填上直线的序号）.

①y =3x-2；②y =3x+1；③y =-3x-2；④y =-3x+2；⑤y =-3x.

分析若用弦长公式解决这个问题，则没有认清问题的本质，费时费力.利用椭圆的对称性就可以轻松求解.

解作出椭圆和有关直线（图略）.由于椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称，直线

①③④与直线y =3x+2是关于坐标轴或原点对称，所以直线①③④与直线y =3x+2被椭圆截得的弦长相等.又由图知，直线②⑤被椭圆截得的弦长都大于8.故应选①③④.

二、求最值

例2 过原点的直线与椭圆+ y2=1交于A，B两点，F 是椭圆的右焦点，求△ABF 面积的最大值.

分析由椭圆的对称性，可知A，B 两点关于原点对称.

解如图1，由椭圆的对称性知，A，B 两点关于原点对称，所以|OA|= |OB|，S△AOF

=S△BOF .由于焦点F 的坐标为（，0），点A到x轴距离的最大值为1，所以S△ABF

=2S△AOF =2××|yA|≤.所以，△ABF 面积的最大值为.

三、解答直线过定点问题

例3 M，N是椭圆+ y2=1上不同的两个动点，P 是椭圆上不同于M，N 的一个动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为-，求证：直线MN 必过定点.

分析可以在椭圆上先取一些关于坐标轴对称的特殊点进行观察、分析，初步确定定点的

位置后，再进行一般性论证.

取M为椭圆的上顶点（0，1），P为左顶点（-2，0），则直线PM的斜率为.由椭圆的对称性知，若取N 为椭圆的下顶点（0，-1），则此时直线PN的斜率为 -.直线PM与直线PN的斜率之积为-，从而所求的定点应该在y 轴上.再取M为椭圆的左顶点（-2，0），N为右顶点