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高考数学试题主观题分类剖析

2009年高考数学试题主观题分类剖析

马兴奎（云南省文山州砚山一中，663100）

在高考数学试卷中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：

(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。

(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。

(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。

(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。

(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.

一、三角与三角函数的综合问题

【例1】已知函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f

（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，

画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.

命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。

【分析及解】（Ⅰ）)32sin(22cos 32sin 2sin )sin 21(3)(2π+

=+=+-=x x x x x x f 所以，)(x f 的最小正周期ππ==

22T ，最小值为2-

（Ⅱ）列表：

故画出函数],0[)(π在区间

x f y =上的图象为

评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan b a

?=确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.

二、概率与统计的综合问题

【例2】如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到

C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到

D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；

（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，

用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.

命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。属中档题的范畴。从命题者立意看，命题材料源于课本，贴近考生，贴近生活，背景公平，设问新颖。解题时，多读题目，多审题，注意语言转换是关键。

【分析及解】（I ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为

1621==P 因为只投掷一次不可能返回到A 点；若投掷两次点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为

13)31(22=?=P ，若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为9

13)31(33=?=P

若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）其概率为81

1)3

1(44==P 所以，点P 恰好返回到A 点的概率为： 81378119131432=++=++=P P P P （II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，

因为，71)4(,73)3(,73)2(=====

=ξξξP P P 所以，E ξ=2·73+3·73+4·71=716

C B

评注：高考中概率大题多以实际问题为背景，时代感强.其解题的关键是利用语言转换策略把“问题情景”译为数学语言，抽象成数学问题，以“摸球”为背景的；以体育竞赛（比赛胜负、射击、投篮命中率）为背景的；以知识能力（选题、做题、抢答、面试、考驾照）为背景的；其他的还有像投掷硬币、旅游交通、经济利润、产品的（抽取、检验，加工）等为背景的。这些背景在教材或高考复习备考资料中均能找到与其相关的习题、例题。平时训练既要熟悉以这些材料背景为试题的题型特点，又要归纳整理解题思路。

三、立体几何问题

【例3】如图所示，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，

PD=AD=2.

（1）求异面直线PC 与BD 所成的角；

（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ？

若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.

命题意图：立体几何问题主要考点是底面为四边形的柱体或锥体或折叠问题，主要考距离、二面角、线面垂直、平行。重点是处理空间线、面关系的能力，运动的观点、探究、开放的思想（存在性问题）。从这个角度来看，变化并不大，题目的难度也不大，属中档题的范畴，但是还要关注立体几何试题命题的一些变化趋势，关注试题的创新。因此，立体几何的复习要在强化常规题训练和关注试题创新这两个方面下功夫。本题一道已从解决现成问题发展为探究问题的存在性,解决问题的尝试性。

【分析及解】如图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），

A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），

B （2，2，0），

（1）),0,2,2(),2,2,0(=-=

∴ ,2

122224

||||,cos =?=?>==<60,，∴异面直线PC 与BD 所成的角为60°

（2）假设在PB 上存在E 点，使PC ⊥平 ADE ，记,λ=

),22,2,2(),2,2,2(),2,2,2(λλλλλλ-∴-=∴-=E PE PB

∴ ),22,2,22(λλλ--=若PC ⊥平面ADE ，则有PC ⊥AE ，即048=-=?λ，∴ ),1,1,1(,2

E =λ ∴存在E 点且E 为PB 的中点时，PC ⊥平面ADE.

评注：立体几何的试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几何量的计算，即围绕平行，垂直，距离和角的问题进行命题设计，其中平行和垂直是线面的位置关系，距离和角是线面的数量关系，在试题设计时，仍然是以正方体，长方体，棱柱，棱锥为载体，在解法上，则注意解法的多样化，对于一道立体几何试题，往往既能用传统方法求解又能用向量方法求解，有的题目可以用两种方法结合求解。有些立体几何试题,已经不是单一的几何背景,还涉及到解析几何,方程,不等式,最值,概率等其它数学分支,从而考查综合运用数学知识和技能的灵活性.

四、函数与导数的综合问题

【例4】已知.2

1)(),1ln()(2bx ax x g x x f +=+= （1）若)()1()(,2x g x f x h b --==且存在单调递减区间，求a 的取值范围；

（2）若1,0==b a 时，求证),1(0)()(+∞-∈≤-x x g x f 对于成立；

（3）利用（2）的结论证明：若.2

ln )(ln ln ,0y x y x y y x x y x ++>+<<则命题意图：函数与导数的综合问题主要考点是函数、导数、单调性、极值、切线、不等式，重点是三次或含自然对数的函数的导数、单调性、极值、切线、不等式（主要是恒成立、能成立或利用导数证明不等式问题）。属高档题的范畴，考查交汇知识综合处理能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想

【分析及解】（1）x ax x x h b 22

1ln )(22--==时 21)(--='ax x x h ，)(x h 有单调减区间，∴ 021,0)(2<--<'x

x ax x h 即有解有解 0>x ， ∴0122>-+x ax 有解

①0≥a 时合题意

②0+=?a ，即1->a ， ∴a 的范围是),1(+∞-

（2）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(?， 1

111)(+-=-+=

'x x x x ?，1->x

∴)(0x x ?时当=有最大值0，∴0)(≤x ?恒成立

即10)()(->≤-x x g x f 对成立

（3）y x <<0

)2ln (ln )2ln (ln 2ln