最新届高考数学一轮复习教学案数列的综合应用(含解析)

数列的综合应用

[知识能否忆起]

1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：

2．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是前n 项和S n 与S n ＋1之间的递推关系．

[小题能否全取]

1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( )

A ．800

B ．820

C ．840

D ．860

解析：选B 由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a －d ，a ，a ＋d . 则a －d ＋a ＋a ＋d ＝2 460，解得a ＝2 460

3＝820.

故高二年级共有820人．

2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )

A ．6秒钟

B ．7秒钟

C ．8秒钟

D ．9秒钟

解析：选B 设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －

1≥100，

即1－2n 1－2

≥100，解得n ≥7. 3．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ) A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10

C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10

D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定

解析：选B a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 26＝2a 6＝2b 7＝b 4＋b 10，当且仅当a 3＝a 9

时，不等式取等号．

4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π

36，则这个多边形

的边数为________．

解析：由于凸n 边形的内角和为(n －2)π， 故2π3n ＋n (n －1)2×π

36

＝(n －2)π. 化简得n 2－25n ＋144＝0.解得n ＝9或n ＝16(舍去)． 答案：9

5．设曲线y ＝x n ＋

1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，x n ＝________，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．

解析：∵y ＝x n ＋1，∴y ′＝(n ＋1)x n ，

它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－

1n ＋1＝n

n ＋1

， 由a n ＝lg x n 得a n ＝lg n －lg(n ＋1)， 于是a 1＋a 2＋…＋a 99

＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 答案：

n

n ＋1

－2 1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

等差数列与等比数列的综合问题

典题导入

[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.

(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1

a n ＝log 2q 为常数，

∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2， ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0， ∴b 5＝0.

∴????? b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得?????

b 1＝4，d ＝－1，

∴S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－1)＝9n －n 22

.

∵?????

log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴?????

q ＝12，

a 1＝16，

∴a n ＝25－n (n ∈N *)．

试比较(2)求出的S n 与a n 的大小． 解：∵a n ＝25－n >0，

当n ≥9时，S n ＝n (9－n )

2≤0，

∴n ≥9时，a n >S n .

∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1， a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18

，

S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10， S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， ∴当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n S n .

由题悟法

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

以题试法

1．(2012·河南调研)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7

＝16.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n

2n (n 为正整数)，求数列{b n }的

前n 项和S n .

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意知d >0， 由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②

由①得2a 1＝16－7d ，将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220.∴d 2＝4，又d >0，

∴d ＝2，代入①得a 1＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.

(2)∵当n ＝1时，a 1＝b 1

2

，∴b 1＝2.

当n ≥2时，a n ＝b 12＋b 222＋b 3

23＋…＋b n －12n －1＋b n 2n ，

a n －1＝

b 12＋b 222＋b 3

23＋…＋b n －12n －

1，

两式相减得a n －a n －1＝b n

2

n ，∴b n ＝2n ＋1，

∴b n ＝?

????

2，n ＝1，2n ＋1

，n ≥2.

当n ＝1时，S 1＝b 1＝2；

当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 2(1－2n －1)1－2＝2n ＋2－6，

当n ＝1时上式也成立．

综上，当n 为正整数时，S n ＝2n ＋2－6.

等差数列与等比数列的实际应用

典题导入

[例2] (2011·湖南高考改编)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.则第n 年初M 的价值a n ＝________.

[自主解答] 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；

当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，3

4为公比的等比数列，

又a 6＝70，所以a n ＝70×????34n －6

. [答案] a n ＝?

????

130－10n ，n ≤6，70×????34n －6，n ≥7. 由题悟法

1．数列实际应用题的解题策略

解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在

语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．

2．处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．

以题试法

2．从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1

5，本年度当地旅游业估计收入400

万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1

4

.

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800????1－1

5万元， 第n 年内的总投入为800????1－1

5n －1万元， 所以，n 年的投入为：

a n ＝800＋800????1－15＋…＋800????1－1

5n －1 ＝4 000－4 000????45n

.

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 400???

?1＋1

4万元． 第n 年旅游业收入为400????1＋1

4n －1万元， 所以，n 年内的旅游业总收入为 b n ＝400＋400????1＋14＋…＋400????1＋1

4n －1 ＝1 600????54n

－1 600.

(2)设经过n 年旅游业的总收入超过总投入，由此b n －a n >0， 即1 600????54n

－1 600－4 000＋4 000????45n >0， 化简得2????54n ＋5????45n

－7>0，

设????45n

＝x ，代入上式，得5x 2

－7x ＋2>0， 解此不等式，得x <2

5或x >1(舍去)，

即????45n <25，由此得n ≥5.

故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．

数列与函数、不等式的综合应用

典题导入

[例3] (2012·安徽高考)设函数f (x )＝x 2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列

为{x n }．

(1)求数列{x n }的通项公式； (2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n . [自主解答] (1)令f ′(x )＝1

2＋cos x ＝0，

得cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π

3(k ∈Z )．

由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知， x n ＝2n π－2π

3

(n ∈N *)．

(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π

3，

所以sin S n ＝sin ?

???n (n ＋1)π－2n π

3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数， 所以sin S n ＝－sin 2n π

3

.

当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ????2m π－4π3＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ????2m π－2π3＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin 2m π＝0.