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高等数学课件：函数的连续性

1.7函数的连续性

教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。

教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容:

1.6.1函数的连续性

1 函数在一点的连续性

xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量

yfx,()000

，相应地函数值的增量 ,x

,,，,,yfxxfx()() 00

xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。

lim0,,y00,,x0

x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0

xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数

lim()()fxfx,000xx,0

xfx()在点处连续。 0

左连续及右连续的概念。

xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00

x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000

xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00

x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0

2 区间上的连续函数

如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。

yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。

x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x

,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,,

,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,,

,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,,

xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0

意性，在内连续。 yx,sin(,),,，,

xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1

x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x

xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1)

x由于时，，因此 axa,1lnx,0

xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx

xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，,

1.6.2 函数的间断点

xxx如果函数yfx,()在一点处不连续，就称函数yfx,()在点处间断，称为函数000

x的一个间断点。而根据函数连续的定义，函数在点处连续必须满足以下三个fx()yfx,()0条件:

x(1) 函数点处有定义; fx()0

2) (存在; lim()fxxx,0

(3) 。 lim()()fxfx,0xx,0

x因此，如果上述条件有一个不能满足，则就是函数fx()的间断点。 0

下面分别给出上述至少有一条不满足时，函数间断的例子。

x情形1 函数fx()点处无定义，存在或不存在 lim()fx0xx,0

sinx例3 讨论函数在处的间断情况。 y,x,0x

sinxsinxsinx在处无定义，是它的一个间断点。但lim存在，若将

limy,x,0x,0x,0x,0xxx

补充为函数在处的函数值，即 x,0

sinx, 0x,, y, x,

,1 0x,,

则函数在处就变成连续的了。 x,0

,例4 讨论函数yx,tan在,处的间断情况。 x2

,,,,limtanxyx,tan在x处无定义，x是它的一个间断点。不存在，但,22x,2

。 limtanx,,,x,2

1例5 讨论函数在处的间断情况。 y,sinx,0x

1在处无定义，因此，是函数的一个间断点。时，函数值在与y,sin,1，

1x,0x,0x,0x

1之间无限次地振荡，因此不存在。 limsinx,0x

图1.6.2

x情形2 函数点处有定义，但不存在 fx()lim()fx0xx,0

2,xx 0,

,fxx()0 0,,例6 讨论函数的连续情况. ,

,1 0 ，,xx,

，。该函数在的左、右极限都存在，但不相等，因此

lim()0fx,lim()1fx,x,0,，x,0x,0

不存在，是它的一个间断点。 lim()fxx,0x,0

x情形3 函数fx()在点处有定义，且存在，但。

lim()fxlim()()fxfx,00xx,xx,00

1,xxsin 0,,例7 fx(),x,

,2 0 x,,

1f(0)f(0)该函数在有定义，且x存在(=0)，但不等于。若将改为其极限limsinx,0x,0x值，即

1,xxsin 0,, fx(),x,1

,0 0 x,,则函数在处就变成连续的了。 x,0

xxyfx,()如果该函数在点的左、右极限都存在，则称是函数的第一类间断点;否则00xyfx,()称是函数的第二类间断点。在第一类间断点中，若左、右极限相等，则称该间断点0

为函数的可去间断点，如，例3和例7中都是函数的可去间断点;若左、右极限不相等，x,0则称该间断点为函数的跳跃间断点，如例6中的间断点是函数的跳跃间断点。在第二类间断点

xyfx,()lim()fx,,中，又有无穷间断点和振荡间断点。若，称是函数的无穷间断点，0xx,0

,1如例4中是的无穷间断点，例5中是的震荡间断点。 ,xyx,tany,sinx,02x 有些函数除了一点连续外，其他点处均间断。例如

xx, rational , fx(),,0, irrational x,

仅在处连续，其他点均间断。 x,0

1.6.3 连续函数的运算

1 函数和、差、积、商的连续性

x定理1.6.1 设函数和在点处连续，则 fx()gx()0

fx() g()0x,x，，(当时)都在处连续。 fxgx()(),fxgx()(),00gx()

根据连续函数的定义和极限运算法则，立即可以得到证明。

sinxcosxcosx因为与在(,),,，,内均连续，根据定理1.6.1，，在其

tanx,cotx,sinxcosxsinx

定义域内都连续。

2 反函数的连续性

I定理1.6.2 设函数yfx,()在区间上单调增加(或减少)且连续，则它的反函数x

,1xfy,()存在并且在相应的区间上单调增加(或减少)且连续。

IyyfxxI,,,{(),}yx

3 复合函数的连续性

ux,,()x定理1.6.3 如果,()x在处连续，fu()在处连续，则复合函数000

xyfxfx,,()()[()],,在处连续。 0

yfu,()ux,,()yfx,[()],对于由连续函数，复合而成的连续函数，有

，即极限符号和函数符号f可以交换顺序。

lim[()][lim()][()]fxfxfx,,,,,0xxxx,,00

,yx,例8 证明幂函数在时连续。 x,0

,u,,lnlnxxye,证明可以看成是由函数与ux,,ln复合而成。由于x,0yxee,,, uye,ux,,ln时，函数连续，而函数在整个数轴上连续，因此，由复合函数的连续性

,yx,定理，函数在时连续。 x,0

1.6.4 初等函数的连续性

基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间(定义域内的区间)内

是连续的。

ln(1)x，例9 求。 limx,0x

11ln(1)x，xx解 limlimln(1)lnlim(1)ln1,，,，,,xxe。 ,,,xxx000x

xe,1lim.例10 求 x,0x

xey,,1,解令则当时， y,0.xy,，ln1.x,0，，

所以

xey,11 limlimlim1.,,,1,,,000xyyxyln1，，，yln1，y，，

xa,1limln.,a同理可证 ,0xx

x，123x，,,例11 求 lim.,,x,,21x，,,

21x，，，21x，x，,1221x，232x，,,,,limlim1,，

解 ,,,,xx,,,,2121xx，，,,,,

21x，，，21x，，，

22,,,,limln1,，,,,,x,,2121xx，，,,,,1ln,e，，,,,eee.

lim1,lim,uxvx,,,，，，，例 12 设 xxxx,,00

lim1uxvx,，，，，，，，，vx，，xx,0lim.uxe,，，则 xx,0

vx,,，，vxvxuxln11，,，，，，，，，，lnux，，，，uxee,,证明，，1ux,1，，，，vxuxux,，,1ln11，，，，，，，，，，，，，，,e.

ux,，，，，lim1ln11vxuxux,，,1，，，，，，，，，，，，vx，，，，xx,0limuxe,，，所以 xx,0

lim1uxvx,，，，，，，，，xx,0,e. x,,注时，上述命题也成立。

22cotxlim(13tan)，x例13 求。 ,x0

,解属于型极限。由例12 得 1

22lim(13tan1)cot，,,xx22cot3xx,0 。 lim(13tan)，,,xeex,0

1fx,例14 讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。，，x1,x1,e

解的定义域为在其定义区间内连续。是

xx,,0,1fx,,，,,00,11,,fx，，，，，，，，，，

的间断点，下面判断其类型。 fx，，

1fx,,,limlim. ，，1xx,,00,x1,e1所以是的第二类间断点中的无穷间断点。x,0fx，，

1fx,,limlim0,，，1,,xx,,111,x,e1 11fx,,,limlim1.，，1，，

xx,,11,101,x1,e所以是的第一类间断点中的跳跃间断点。 fxx,1，，作业

1(求下列极限

ln1，ax，，lim(1) x,0x

nx，3,,(2) lim,,,,xx，1,,

1xsin(3) lim1sin，x，，,x0

1sin,x(4) lim,cosxx,2

334xx，2(8) limx,0ln12，x，，

2(指出下列函数在给定点处是否连续,若不连续，指出间断点的类型。

,sinx,0x,,(1) 于处 fx,x,0，，x,

,1, 0x,,

1,x,ex，,1, 0

,(3)于处 fxax,,, 0 x,0，，,

,1,1sin 0，,xxx,

xa,a3(若在处连续，则也在点连续。 fxfx，，，，

2cos, xxc当,,a5(设其中是已知常数。试选择，使为连续函数。bc,fxfx,，，，，,2axbxc，,, 当,

高等数学函数的极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

大学高等数学函数极限和连续

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

高等数学课件：函数的连续性

高等数学课件：函数的连续性 1.7函数的连续性教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容: 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量 yfx,()000 ，相应地函数值的增量 ,x ,,，,,yfxxfx()() 00 xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。 lim0,,y00,,x0 x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0 xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数 lim()()fxfx,000xx,0 xfx()在点处连续。 0 左连续及右连续的概念。 xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00

x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000 xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00 x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0 2 区间上的连续函数如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。 x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x ,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,, ,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,, ,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,, 45 xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0 意性，在内连续。 yx,sin(,),,，, xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1 x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1) x由于时，，因此 axa,1lnx,0 xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，, 1.6.2 函数的间断点

关于高等数学函数的极限与连续习题及答案

关于高等数学函数的极限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x

高数函数-极限和连续总结

高数函数-极限和连续总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第一章函数.极限和连续第一节函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。第二节极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|

高等数学课件：函数的连续性

1.7函数的连续性教学目的：理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。教学重点：函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容： 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域0()U x 内有定义，自变量x 在点0x 处有增量 x ?，相应地函数值的增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果0 lim 0x y ?→?=，就称函数()f x 在点0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点。函数()f x 在点0x 处连续还可以描述如下。设函数()y f x =在点0x 的某个邻域0()U x 内有定义，如果0 0lim ()()x x f x f x →=，就称函数 ()f x 在点0x 处连续。左连续及右连续的概念。如果0 0lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在点0x 处左连续；如果0 0lim ()()x x f x f x +→=，称函数()f x 在点0x 处右连续。由于0 lim ()x x f x →存在的充要条件是0 lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=，因此，根据函数连续的定义有下述结论：若函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，则它在点0x 处连续的充分必要条件是在点0x 处左连续且右连续。 2 区间上的连续函数如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。例1 证明sin y x =在(,)-∞+∞内连续。证明 (,)x ?∈-∞+∞，当x 有增量x ?时，对应的函数值的增量 sin()sin 2sin cos 22x x y x x x x ?????=+?-=+ ??? 由于 cos 12x x ?? ? + ≤ ??? ， sin 22x x ??≤