毕业设计5“跟踪控制器设计”阅读材料-WSC

阅读材料5： 跟踪控制器设计

实际工作中，许多系统都存在确定性扰动，如阵风对雷达天线的扰动，海浪对船体纵摇或横摇的扰动，飞行体在大气中受到气浪的扰动等，确定扰动的函数形式如冲击函数、阶跃函数、斜坡函数、正弦函数等。此处只讨论确定性扰动。

在诸如数控机床、导弹控制等实际控制中，常常要求闭环系统的输出以给定精度跟踪参考输入信号，实现精确的跟踪控制。

例1（149P 例5.4.1）被控对象为x y u x Bu Ax x )23(104310=????

??+???? ??--=+=，

设计状态反馈控制器使闭环极点为)54(--，讨论闭环系统的稳态性能。 解：被控对象为能控标准形，系统能控，系统开环传递函数的特征多项式为

34431det )det(2

++=???? ??+-=-s s s s A sI )31(21--=，

s （1-1） （1-1）式表明原开环系统极点为)31(21--=，s ，原系统是稳定的。 传递函数分子为01b s b +，而x x b b y )23()(10==

3

43

2)(2012010+++=

+++=

s s s a s a s b s b s G （1-2） 期望的闭环特征多项式为 209)5)(4()(2++=++=s s s s s f （1-3）

（1-3）式表明引入状态反馈控制器后，闭环系统也是稳定的，但性能有所改变。 所要设计的状态反馈增益矩阵为 )517()49320(=--=K （1-4）

所以，相应闭环系统状态矩阵为 ???? ??--=-92010BK A （1-5）

对应的闭环传递函数分母，即期望的闭环特征多项式

209)(2++=s s s f （1-6） 分子仍然为01b s b +，而x x b b y )23()(10

==

? 20

932)(201201c +++=+++=

s s s a s a s b s b s G （1-7）

考察参考输入为单位阶跃函数)(1)(t t u =，s s R /1)(=，系统的稳态输出为

)(lim )

(lim )(0

s sY t y y s t →∞

→==∞经典控制理论结论

定义

)0()()(lim 0

G s R s sG s ==→（∵1)(=s sR ）

由（1-3）开环系统输出稳态值为 1)0()(00==∞G y （1-8）

说明开环系统可以精确跟踪单位阶跃输入，跟踪误差为0，该开环系统无静差（参见例5-9图1）。而由（1-8）闭环系统输出稳态值为

15.020

3

)0()(c c ===∞G y （1-9） 说明该系统闭环后

静态绝对误差 85.0)()(c -=-∞t r y ； 相对误差 85%。 系统闭环后不能精确跟踪单位阶跃输入（参见例5-9图2）。

结果表明，极点配置尽管改善了闭环系统的动态特性，却使稳态性能变差了。此外实际系统还不可避免的存在随机扰动（只知道其均值、方差等统计特性）和确定性扰动（具有确定的函数形式）。

渐近跟踪调节器设计方法

以下针对外部阶跃扰动的线性时不变系统，提出一种能实现“无静差”跟踪参考输入信号的渐近跟踪调节器设计方法。

考虑以下状态空间模型描述的m 维输入、p 维输出，)(t d 是n 维扰动输入

Cx y d Bu Ax x

=++=， （5-37） 假定系统的参考输入是阶跃输入)(1)(0t r t r =，“窜入”系统输入的阶跃扰动为)(1)(0t d t d =，控制的目的是在存在阶跃扰动)(t d 的情况下，仍希望闭环系统的输出)(t y 能很好地跟踪参考输入)(t r 。为此，定义误差向量

例5-9图1开环系统单位阶跃响应（无静差）

例5-9图2 闭环系统单位阶跃响应（有静差）

)()()(t r t y t e -= （5-38） 引入误差向量的积分)(t q ττd )()(0?=t

e t q （5-39）

]d )(d )(d )([])()()([)(0

2

121τττ

ττ

τ???==t

p

t

t

p T

e

e e t q t q t q t q

)()()()(t r t Cx t e t q

-== （5-40） 在状态方程中，将积分器的输出选择为状态向量的分量，按此，也可以将“误差向量的积分)(t q ”选为状态向量的分量，于是，综合（5-37）、（5-40）可得“增广系统”方程为

????

??=???? ??-+???? ??+???? ?????? ??=???? ??q x C y r d u B q x C A q x )0(000， （5-41） 新的状态向量是p n +维的。

对系统（5-41），若能设计一个状态反馈控制器 q K x K q x K K u 2121

)(--=???

?

??-= （5-42） 使增广的闭环系统（5-42）代入（5-41）

???

?

??-+???? ?????? ??--=???? ??r d q x C BK BK A q x 021 （5-43） 是渐近稳定的，此时，矩阵???

?

??--021

C

BK BK A 是非奇异的，可逆的。对（5-43）两边取Laplace 变换，整理后得到

???

?

??-??

?

??????? ?

?---=???? ??-)()(0)()(1

21

s r s d C BK BK A sI s q s x （5-44） 由Laplace 终值定理（参考输入

s

r 0和外部扰动s d

0都是阶跃信号）

???

? ??-??

?

??????? ??---=???? ??=???? ??-→→∞→s r s d C BK BK A sI s s q s x s t q t x s s t //0lim )()(lim )()(lim 001

210

44-50）（

???

? ??-???

?

?

?---=-001

21

0r d C

BK BK A （注意0→s ，0=sI ） 这表明)(t x 、)(t q 都趋于常值向量，因此)(t x

、)(t q 都必将趋于0

)(lim )(lim 0))()((lim )(lim t r t y t r t y t q

t t t t ∞

→∞

→∞

→∞

→==-= （5-45）

从而实现精确地跟踪控制。

小结：对增广系统（5-41）设计一个稳定化状态反馈控制器（5-42），就可以保证系统输出跟踪阶跃参考输入，而且没有稳态误差。进一步，若增广系统是能控的，可以通过对增广系统的极点配置，使其具有一定的动态性能。

定理5-5（152P 定理5.4.1）增广系统（5-41）能控的充要条件为原系统（5-37）

是能控的。且p C p m p n C A =≥+=???

?

??rank

,,00rank （证明略） 将增广系统的控制器（5-42）写为

?--=t

e K x K u 021d )(ττ （5-46）

它相当于一个比例积分“PI 控制器”，第一项是原系统的状态反馈，而第二项是为了改善稳态精度而加的积分控制作用。

根据增广的闭环系统（5-43）??

???==-=+--=Cx y t e r Cx q

d q BK x BK A x

)()(21 （5-47） （5-47）可以画出反馈控制的状态结构如图5-3。

由上分析可知，对于一个多变量系统，尽管有一个不能测量（或未知）的阶跃扰动输入，仍可以设计一个控制器，使得闭环系统的输出无静差的跟踪阶跃参考输入。

例2（155P 例5.4.2）倒立摆的状态方程和输出方程为

图5-3 增广系统的状态反馈

u x Bu Ax x

??

????

? ??-+??????? ?

?-=+=1010011

0010000100

0010 ，x Cx y )0001(== 式中：T T y

y

x x x x x )()(43

21θθ == —系统状态向量； y —小车的位移； y

—小车的速度； θ—摆杆的角位移； θ

—摆杆的角速度； u —作用在小车上的力。 控制目标为：将倒立摆保持在垂直位置0=θ，同时要求系统输出能跟踪一个阶跃输入信号，即要求小车移动一个单位距离，停在预定位置。要求调节时间为

s 5~4，最大超调为15%。

解：利用（5-43）得到相应的“增广系统”模型，假设系统没有受到干扰0=d 。 根据控制目标的性能要求，选择闭环极点为

5313154321-===--=+-=s s s j s j s 32

2)5](3)1[()(+++=s s s f 希望125)75514)(2(232+++++=s s s s s 500550335109172345+++++=s s s s s （1） 应用（5-41）式

???????

? ??-+???????? ??-+???? ?????????? ??-=???

? ??-+???? ??+???? ?????? ??=???? ??r u q x r d u B q x C A q x 000001010000

1

00

11000100000100

00010000 （2） ????

??=q x y )00001( （3）

采用极点配置，基于增广系统设计控制器 q K x K q x K K u 2121

)(--=???

? ??-= ???????

? ??-=-????

??

? ??-=q x x x x k k k k k q k x x x x k k k k 432124

131211

12432141312111)()(

???????

? ??-+???????? ???

?

?

???

?

?

??--???????? ?????????? ??-=???????? ??r q x x x x k k k k k q x x x x q x

x x x

0000)(01010000010011000100000100000

10432124

131211

143214321 ???????

? ??-+???????? ??????????

??-----+???????? ?????????? ??-=r q x x x x k k k k k k k k k k q x x x x 000000

00000

00000

0000

1

0011000100000100000

104321214131211

2413121114321 ???????

? ??-+???????? ?????????? ??+------=r q x x x x k k k k k k k k k k 000000

1

1101000100010432121413

12112413

12111 ??

?????

? ??--------++-=??

???

????? ??---s k k s k k k s k k k k s k s

C

BK BK A sI 0

1

11010010001det 0det 214

13

12

112413

12

11

121 “-”下划线表示按该元素第1次展开，“=”下划线表示按该元素第2次展开。

????

??

?

?

?-------++??

?

??

??

??------++=s k k s k k s k k k k s k k s k k s

k k k k s s 0

111010

1de t 0

00110101de t 214

13

112413

11

1214

13

12241312

1 ????

?

?

?-----++=1413

124131212

1110

1de t k s k k

s k k k s s ?

???

?

?

?

?-----++?

?????

?

?-----++1413

11413

11

1214

132413111101det 11011det k s k k s k k k s k k s k s

k k k

???

?

??---+++???? ?

?--+=1312312

121412412

13111det det k k k k s s k s k

k k s s

???

?

??-+-???? ??

----+11det 111det 413

1214132s k k k k s k

s k ???

?

??-+-???? ??

----+11det 111det 413

111141311s k k s k k s k

s s k 10)(10)(]10)11([])([2112221132142123-+-+---+-+=s s k s k k k s s s k k s s

2112212313114142151010)10()11()(k s k s k k s k k s k k s ---+--+-+= （4） 比较（1）（4）两式可得

?????????=-=-=-=-=-50010550

1033510120172

1

1212131114

21k k

k k k

k k k ?????

????-=-=-=-=-=50

55.51755

.3855

2

1413

1211

k k k k k 与Matlab 运行的结果一致 （5） 以下求闭环系统时，小车对单位阶跃输入的响应（输出）

)(det 10000)(det )()00001()()(151K K b K K K A sI b A sI A sI B A sI C s G --=???????

? ??---=-=- 由（1）式 32

2)5](3)1[()()(det +++==-s s s f A sI K 期望

?????

??+-----=????

??? ?

?+------=5055.5164015055.5174de t 5055.51645.380105055.51745.380001

de t 15s s s s s b

????

??----???? ??+-=155.5174det 5055.51641det 50s s s 10)50()55.517416455.550(22-=--++=s s s s 单位阶跃输入函数为 s

s U 1

)(=

，所以输出函数为3

22215)5](3)1[(10)

50(1)(det 1)()()(+++--=--==s s s s A sI b s s U s G s Y K K

5)5()5(23

)1(3)1(6

253422321+++++++++++=

s a s a s a s a s a s a 1)

5](3)1[(10)

50(1lim 322201=+++--?=→s s s s s a s 89.719

150

)5](3)1[(10)50(1)5(lim 232223

54≈=+++--?

+=-→s s s s s a s ???

?????+++++++++++==--5)5()5(89.73)1(3)1(1)()(6253223

21

1

s a s a s s a s a s L s Y L t y t t t t t a t a t t a t a 56555232e e e 95.33sin e 3cos e 1-----+++++= 参见例5-10图，这就是小车的输出响应。

容易验证增广系统（2）是能控的，因此可以运行Matlab 文件对增广系统进行给定极点的配置。执行以下m-文件

)01100100001000010(A ；；；-=；

)1010(B -=；；；； )0001(C =；

)0C ;zeros(4,1)A (AA =； )0B;(BB =；

)555sqrt(3)*j 1sqrt(3)*j 1(J -----+-=；

)J BB AA (acker K ，，=

可得增广系统的状态反馈增益矩阵

2

14

13

12

11

50.0000

55.5000175.000038.500055.0000K k k k k k -----=

因此，要设计的控制器为 x u )5.551755.3855(=?-+t

t y 0

d ))(1)((50ττ

若要观察实施效果，可以针对阶跃参考输入，编写和执行以下m-文件

)01100100001000010(A ；；；-=；

)1010(B -=；；；；)0001(C =；

)55.0000175.000038.500055.0000(K1----=；-50.0000K2=； % 闭环增广系统状态空间模型系数矩阵

)0C K2;*B K1*B A (Ac --=； )10;0;0;0;(Bc -=；

)0

(

Cc=；0

C

Dc=；

t=% 时间t从0→6（秒）间隔0.02秒取值:0

6:

0.02

step(Ac,

[y,=；

x,

t]

Bc,

Dc,1,

t)

Cc,

plot(t,% 绘制t-y图

y)

grid% 绘制格子

xlabel('；% x轴打印time(sec)

)

time(sec)'

O utput'

ylabel('% y轴打印Output

)

从5-10图可以看出，小车的位移很好的跟踪了单位阶跃信号。

例5-10图小车输出响应