数理逻辑习题
判断题
1.任何命题公式存在惟一的特异析取范式 ( √ ) 2. 公式)(q p p →?→是永真式 ( √ ) 3.命题公式p q p →∧)(是永真式 ( √ ) 4.命题公式r q p ∧?∧的成真赋值为010 ( × ) 5.))(()(B x A x B x xA →?=→? ( √ )
6.命题“如果1+2=3,则雪是黑的”是真命题 ( × ) 7.p q p p =∧∨)( ( √ )
8.))()((x G x F x →?是永真式 ( × ) 9.“我正在撒谎”是命题 ( × ) 10. )()(x xG x xF ?→?是永真式( √ )
11.命题“如果1+2=0,则雪是黑的”是假命题 ( × ) 12.p q p p =∨∧)( ( √ )
13.))()((x G x F x →?是永假式 ( × )
14.每个命题公式都有唯一的特异(主)合取范式 ( √ ) 15.若雪是黑色的:p ,则q →p 公式是永真式 ( √ ) 16.每个逻辑公式都有唯一的前束范式 ( × ) 17.q →p 公式的特异(主)析取式为q p ∨? ( × ) 18.命题公式 )(r q p →∨?的成假赋值是110 ( √ ) 19.一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →?是闭式( × )
单项选择题
1. 下述不是命题的是( A )
A . 花儿真美啊!
B . 明天是阴天。
C . 2是偶数。
D . 铅球是方的。
2.谓词公式(?y )(?x )(P (x )→R (x,y ))∧?yQ (x,y )中变元y ( B ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
3.下列命题公式为重言式的是( A ) A .p→ (p ∨q ) B .(p ∨┐p )→q C .q ∧┐q
D .p→┐q
4. 下列语句中不是..命题的只有( A ) A .花儿为什么这样红? B .2+2=0
C .飞碟来自地球外的星球。
D .凡石头都可练成金。 5.在公式),()())(),()()((z y P y z Q y x P y x ?→∧??中变元y 是( B ) A .自由变元 B .约束变元
C .既是自由变元,又是约束变元
D .既不是自由变元,又不是约束变元 6.下列命题公式为重言式的是( A ) A .p→ (p ∨q ) B .(p ∨┐p )→q C .q ∧┐q
D .q→┐p
7.给定如下4个语句:
(1)我不会唱歌。 (2)如果天不下雨,我就上街。 (3)我每天都要上课。 (4)火星上有人吗? 其中不是复合命题的是( B )
A .(1)(4)
B .(3)(4)
C .(1)(3)
D .(1)(3)(4) 8.下列含有命题p ,q ,r 的公式中,是特异(主)析取范式的是 ( D )
A .(p ∧ q ∧ r ) ∨ (?p ∧ q )
B .(p ∨ q ∨ r ) ∧ (?p ∧ q )
C .(p ∨ q ∨ r ) ∧ (?p ∨ q ∨ r )
D .(p ∧ q ∧ r ) ∨ (?p ∧ q ∧ r ) 9.设个体域为整数集,则下列公式中值为真的是( A )。
A . (?y )(?x )(x ·y=2)
B .(?x )(?y )(x ·y=2)
C . (?x )(x -y=x )
D .(?x )( ?y )(x+y=2y ) 10. 下述不是命题的是( D )
A . 花儿是红色的
B . 月亮上有水
C . 3是偶数
D . 3>x
11. 用P 表示:天下大雨;Q 表示:他乘公共汽车上班。将“如果天下大雨,他就乘公共汽车上班。”符号化正确的是( A )
A .P →Q
B .Q →P
C .P ∧Q
D .P ∨Q
12.谓词公式(?y )(?x )(P (x )→R (x,y ))∧?xQ (x,y )中变元y ( C ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
13.下列命题公式为永假式的是( C )
A .p → (p ∨q )
B .p ∧q →q
C .q ∧┐q
D .p →q
14.下列语句中,不是命题的是( C ) A . 铅球不是球。
B . 要是他不上场,我们就不会输。
C . 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟,你说他是不是运动健将呢?
D . 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟,他是一个真正的运动健将。 13.关于命题变元P 和Q 的成假赋值为01对应的极大项是( C )
A .┐P ∧Q
B .┐P ∨Q
C .P ∨┐Q
D .P ∧┐Q
14.谓词公式(?y )(?x )(P (x )→R (x,y ))∧?yQ (x,y )中变元y ( B ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
15. 设:p 开关A 开,q :开关B 开,则“开且只开A 、B 中一个开关”的命题公式是( C ) A . q p ?∧ B . q p ∧?
C . (q p ?∧)∨(q p ∧?)
D . (q p ?∧)∧(q p ∧?) 16.下列等价式正确的是( C )
A .┐)()(x A x ???┐A
B .A y x A y x ))(())((?????
C .┐)()(x A x ???┐A
D .)()()()())()()((x B x x A x x B x A x ?∨??∧? 17.在论域D={a,b}中与公式(x ?)A (x )等价的不含存在量词的公式是( B ) A .)b (A )a (A ∧ B . )b (A )a (A ∨ C . )b (A )a (A →
D . )a (A )b (A →
18.下列命题公式为重言式的是( C ) A .p→ (p ∧q ) B .(p ∨┐p )→q C .p ∨┐p
D .p→┐q
19.下列命题中真值为1的是( B )
A .若2+2=4, 则3+3≠6
B .若2+2=4, 则3+3=6
C .2+2=4, 当且仅当3+3≠6
D .2+2≠4, 当且仅当3+3=6 20.设个体域为整数,下列公式中真值为1的是( B ) A . ?x ?y (x + y = 1) B . ?x ?y (x + y = 1) C . ?x ?y (x + y = 1) D . ? ?x ?y (x + y = 1 21. 下列命题中真值为0的是( C )
A .若2+2=5, 则3+3≠6
B .若2+2=4, 则3+3=6
C .2+2=5, 当且仅当3+3≠6
D .2+2≠4, 当且仅当3+3=6 22.谓词公式)),()(()((y x L y
E y x M x →?∧?中变元x ( C ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
23.设个体域为整数,下列公式中真值为1的是( B ) A . ?x ?y (x + y = 1)
B .?x ?y (x + y = 1)
C . ?x ?y (x + y = 1)
D .? ?x ?y (x + y = 1
填空题
1.n 个命题变元的极小项有 2n 个。
2.设3:,022:q p =+是奇数,则q p →的真值是 1 。 3.含n 个命题变项的重言式的特异(主)合取范式为 1 4.设个体域为整数集合Z ,命题3(=+??y x y x )的真值为 1 5.公式?xP (x )∨?xQ (x )的前束范式为 ?x(P(x) Q(x))
6.设p :我很累,q :我去学习,命题:“我很累,但我还去学习”的符号化为 q p ∧ 7.设P 表示:天下大雨;Q 表示:他乘公共汽车上班,则命题“如果天下大雨,他就乘公共
汽车上班。”的符号化是 q p →
8.设P :2+2=4,Q :3是奇数,则命题“2+2=4,当且仅当3是奇数.”的符号化为 Q P ? 9. 含n 个命题变项的矛盾式的特异(主)析取范式为 0 10.命题公式q p ?成假的解释是 01,10 11.q p ?的成假解释为 01,10
计算题
1.求)()(x xG x xF ??∧?的前束范式。 解:
()()()()()()()()
()
3x F x x G x x F x x G x x F x G x ?∧????∧????∧?分3分 2.求r q p →∧?)(的真值表,并写出它的特异(主)析取范式和特异(主)合取范式。 解:真值表如下:
故主析取范式为
()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧
主合取范式为
()()()p q r p q r p q r ∨∨∧∨?∨∧?∨∨
3.求命题公式的p r q p →→∨))((成真赋值。 解:
()()p q r ∨→p →
=
()()p q r p ?∧?∨→ =()(
)
p q r p ??∧?∨∨
=
()()p q r p ∨∧?∨
=()()p r q r p ∧?∨∧?∨ 成真赋值 100,010,101,110,111
4.将公式)())()((x xF y yR x xP ?→?∨?化为前束范式。 解: ()()()
()x P x y R y x F x
?∨?→? ()()()()x y P x R y xF x ???∨→?
()()()
()x y P x R y zF z ???∨→? ()()()
()x y z P x R y F z ????∨→
5.求公式 (p ∨(q ∧r ))→(p ∧q ∧r ) 的特异(主)析取范式,并求成真赋值。
解:()()()r q p r q p ∧∧→∧∨
()()()()()()
()()()
()()()()
r q p r q p r q p r q p r q p r p q p r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧?∨∧?∧?∨?∧?∧??∧∧∨?∧?∨?∧??∧∧∨?∨?∧??∧∧∨∧∨??
成真赋值为:000,001,010,111
6.用谓词公式表示“有人喜欢吃所有的食物”。 解:()x x M :是人,()y y N :是食物
()x y x H :,喜欢吃y 符号化:()()()()()y x H y N y x M x ,→?∧?
7. 用作真值表方法确定下列命题公式的类型: ).())()((q p p q q p ∨?→→∧→ 解: 设原式=A ,真值表如下:
()()0011101011100011
1
1
1
1
p q p q q p p q A →∧→?∨ 则原式为永真式。
8.用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间不能相联”。 解:()C x :x 是计算机,()D x :x 为外部设备,
(),P x y :x 与y 相联
符号化为)),()()((y x P y D x C y x ?∧∧??
9.在个体域},{b a D =,消去公式))()((y yG x F x ?∧?的量词。 解:原式=))()(())()((y yG b F y yG a F ?∧∧?∧
=)))()(()(()))()(()((b G a G a F b G a G a F ∨∧∧∨∧ =))()(())()((b G a G b F a F ∨∧∧
10. 给定一阶逻辑公式)(),(y yQ y x xP ?→?,求该公式的前束范式。 解:原式()(),xP x y zQ z ??→? ()()()
,x z P x y Q z ???→
11.用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间能相联”。 解: ()C x :x 是计算机,()D x :x 为外部设备,
(),P x y :x 与y 相联
符号化为)),()()((y x P y D x C y x ∧∧??
12.用等值演算求命题公式┐(p ∨q )∧(q→r )的特异(主)析取范式,并判断该公式的
类型。
解:原式()()p q q r ??∧?∧?∨ ()()p q q p q r ??∧?∧?∨?∧?∧ ()()p q p q r ??∧?∨?∧?∧ ()()p q r p q r ??∧?∧∨?∧?∧? 公式类型为非永真的可满足式。
13.设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→,试将G 化成与其等价的前束范式。
解:)))()((),((x R z zQ y x P y x G →?→???=
=)))()((),((x R z Q z y x P y x →?→??? =)))()((),((x R z Q y x P z y x →→????
14. 设公式G 的真值表如下,试求出G 的特异(主)析取范式和特异(主)合取范式。
解:
主析取范式 )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧?∧∨∧∧?∨?∧∧?∨?∧?∧? 主析取范式)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∨?∨?∧∨?∨?∧∨∨?∧?∨∨
15.求公式),()(y x yG x xF ?→?的前束范式。 解:原式=),()(y z yG x xF ?→? =)),()((y z G x F y x →??
证明题
1.用等值演算证明等值式r q p r q r p →∨=→∧→)()()(。 证明: 右边
左边=→∨?∨∨??∨?∧??∨?∧??r q p r q p r q p r q p v r )()()()()(
2.设R Q P ,,是三个命题,构造下列推理证明:
前提:P R Q Q P ?→∨,, 结论:R 证明:
()()()()()()()()
()()()
12312445344P P Q Q Q R R
?∨→前提引入前提引入
析取三段论
分前提引入
假言推理
分
3.证明下列推断
前提:)(s q p →→,q ,p r → 结论:s r →
证明:(1)r 附加前提引入 (2)p r →? 前提引入 (3)p (1)(2)拒取 (4)()p q s →→ 前提引入
(5)q s → (3)(4)假言推理 (6)q 前提引入 (7)s (5)(6) 假言推理
4.用构造证明法证明下列推理:
前提:)(,)(,s p r r q q p ∧???∧∨?→ 结论:s ?
证明:
()s
1 否定结论引入
()
()s p ∧??2 前提引入
()s p ?∨3 ()2置换 ()p 4 ()1()3析取三段论 ()()r r p ?∧∨?5 前提引入 ()r p ∨?6 ()5简化 ()r ?7 ()5简化 ()r 8 ()4()6析取三段论 ()r r ?∧9 ()7()8合取
5.证明:q r p r q p ?→?∧=→→)()(。 证明:左边()p q r =?∨?∨ ()p r q =?∨∨? ()p r q
=?∨∨? ()p r q =?∧?∨? ()p r q =∧?→?
=右边
6.证明公式G =((P→Q ) ∧(Q→P )∧P ) →P 是永真式。 证明: P P P Q Q P G →∧∨?∧∨?=))()(( =P P Q P →∧∨?))((
=P Q P P P →∧∨∧?))()(( =P Q P →∧)( =P Q P ∨?∨? =Q ?∨1
=1 G 为永真式
离散数学试题(A卷答案) 一、(10分)求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解:(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解设设P:王教授是苏州人;Q:王教授是上海人;R:王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P∧Q 乙:?Q∧P 丙:?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为:
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则由定理4.19知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 综上可知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、(15分)集合A ={a ,b ,c ,d ,e }上的二元关系R 为R ={,,,,,,,,
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不? (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不? B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学试题(A卷及答案) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分) 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D
(7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数,证明:在任取m+1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍 证明设 1 a,2a,…,1+m a为任取的m+1个整数,用m去除它们所得余数 只能是0,1,…,m-1,由抽屉原理可知, 1 a,2a,…,1+m a这m+1个整 数中至少存在两个数 s a和t a,它们被m除所得余数相同,因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15分)证明∵x∈ A-(B∪C)? x∈ A∧x?(B∪C)? x∈ A∧(x?B∧x?C)?(x∈ A∧x?B)∧(x∈ A∧x?C)? x∈(A-B)∧x∈(A-C)? x∈(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=____________________; (A)-(B)=__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G=(PQ)∧R,则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB= _________________________;AB=_________________________;A-B=_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G=(P(QR)),则使公式G为真的解释有 __________________________, _____________________________,__________________________. 9.设集合A={1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
离散数学证明题 离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格 证明设a,b均是链A的元素,因为链中任意两个元素均可比较,即有a≤b或a≤b,如果a≤b,则a,b的最大下界是a,最小上界是b,如果b≤a,则a,b的最大下界是b,最小上界是a,故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论: ⑴b≤a或c≤a ⑵a≤b且a≤c 如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c) 如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c) 无论那种情况分配律均成立,故A是分配格. 一.线性插值(一次插值) 已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。 1. 插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知: 把此式按照 yk 和yk+1 写成两项: 记
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表: 从而 P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x) 此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关,而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 . 例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。 解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设 x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010 则插值基函数为: 于是, 拉格朗日型一次插值多项式为: 故 : 即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792). 二.二次插值多项式 已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足, P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 . 其几何意义为:已知平面上的三个点 (xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
常熟理工学院20 ~20 学年第学期 《离散数学》考试试卷(试卷库01卷) 试题总分: 100 分考试时限:120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.下列表达式正确的有( ) (A)(B)(C)(D) 2.设P:2×2=5,Q:雪是黑的,R:2×4=8,S:太阳从东方升起,下列( )命题的真值为 真。 (A)(B)(C)(D) 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1.n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2.设〈L,≤〉为有界格,a为L中任意元素,如果存在元素b∈L,使,则称b是a 的补元。 3.设*,Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算,如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4.设T是一棵树,则T是一个连通且的图。 5.一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6.量词否定等价式? ("x)P(x) ?,? ($x)P(x) ?。 7.二叉树有5个度为2的结点,则它的叶子结点数为。 8.设中的幺元是,α的逆元是。 10.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} = 。 = 。 三、判断题(每题1分,共10分) 1.命题公式是一个矛盾式。() 2.,若,则必有。() 3.设S为集合X上的二元关系,则S是传递的当且仅当(S S)S。() 4.任何一棵二叉树的结点可对应一个前缀码。() 5.代数系统中一个元素的左逆元一定等于该元素的右逆元。() 6.一个有限平面图,面的次数之和等于该图的边数。() 7.A′B = B′A () 8.设*定义在集合A上的一个二元运算,如果A中有关于运算*的左零元θl和右零θr,则A中 有零元。() 9.一个循环群的生成元不是唯一的。() 10.任何一个前缀码都对应一棵二叉树。() 四、解答题(5小题,共30分) 1.(5分)什么是欧拉路?如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出? 2.(8分)求公式 (P∨Q)R 的主析取范式和主合取范式。
一.判断题(共10小题,每题1分,共10分) 在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误: 1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ? p ( ) 2.?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3.初级回路一定是简单回路。( ) 4.自然映射是双射。( ) 5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6.群的运算是可交换的。( ) 7.自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20.7阶圈的点色数是。 三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分) 21.求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。 23.设A={a,b,c,d,e,f},R=I A?{,},则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24.求图示带权图中的最小生成树,并计算最小生成树的权。 25.设R*为正实数集,代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群?是群者,求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题(共3小题,共20分) 26 (8分)在自然推理系统P中构造下述推理的证明: 前题:p→(q∨r),?s→?q,p∧?s 结论:r 27 (6分)设
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B =_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________, _____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
五、证明题 1.设G 是一个n 阶无向简单图,n 是大于等于3的奇数.证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等. 证明:设,G V E =<>,,G V E '=<>.则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的.所以对于任意结 点u V ∈,u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数.由于n 是大于等于3的奇数,从而n K 的每个结点都是偶数度的( 1 (2)n -≥度),于是若u V ∈在G 中是奇数度结点,则它在G 中也是奇数度结点.故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等. 2.设连通图G 有k 个奇数度的结点,证明在图G 中至少要添加 2 k 条边才能使其成为欧拉图. 证明:由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k 是偶数. 又根据定理4.1.1的推论,图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G 的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图. 故最少要加2 k 条边到图G 才能使其成为欧拉图. 五、证明题 1.试证明集合等式:A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ). 证:若x ∈A ? (B ?C ),则x ∈A 或x ∈B ?C , 即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C . 即x ∈A ?B 且x ∈A ?C , 即x ∈T =(A ?B ) ? (A ?C ), 所以A ? (B ?C )? (A ?B ) ? (A ?C ). 反之,若x ∈(A ?B ) ? (A ?C ),则x ∈A ?B 且x ∈A ?C , 即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C , 即x ∈A 或x ∈B ?C , 即x ∈A ? (B ?C ), 所以(A ?B ) ? (A ?C )? A ? (B ?C ). 因此.A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ). 2.对任意三个集合A , B 和C ,试证明:若A ?B = A ?C ,且A ≠?,则B = C . 证明:设x ∈A ,y ∈B ,则
填空10% (每小题 2 分) 1、若P,Q,为二命题,P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数,都存在比它大的实数” 令F(x):x 为实数,L(x, y) : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号,公式其余的部分不变,这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元,A的论域为D,A(x)关于y 是自由的,则被称为存 在量词消去规则,记为ES。 选择25% (每小题分) 1、下列语句是命题的有()。 A、明年中秋节的晚上是晴天; C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0; D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有()。 A、2+2=4当且仅当3是奇数; B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数; C、2+2≠4 当且仅当3是奇数; D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数; 3、下列符号串是合式公式的有() A、P Q ; B、P P Q; C、( P Q) (P Q); D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有( )。 A、P QQ P ; B、P(P R) R; C、P (P Q) Q; D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ,且A1 A2 A n B 则 ( )。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件; B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论
C 、 x(M (x) Mortal (x)) ; D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为:个体域 D={2} ,P(x) :x>3, Q(x) :x=4则 A 的 真 值为( ) 。 A 、 1; B 、 0; C 、 可满足式; D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是( )。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x); B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x); C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ; D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在( )。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②; B 、④; C 、⑤; D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ,B 为二合式公式,且 B ,则( )。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式; B 、 B ; E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为( )。 论域为全总个体域) M (x ) : x 是人; Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ; B M (x) Mortal (x)
离散数学练习题 第一章 一.填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01;10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题,q, s 为假命题,则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01;10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式,B为重言式,则B A∨的类型为重言式 5.设p, q均为命题,在不能同时为真条件下,p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二.将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解:) ? ?,其中p: 7是无理数;或p,其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦,又很爱钻研。 解:其中 ?p: 小刘怕吃苦,q:小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难,才能战胜困难。 解:p →,其中p: 怕困难,q: 战胜困难 q? 或q →,其中p: 怕困难, q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难,老王就帮助别人,除非困难解决了。 解:) → ?,其中p: 别人有困难,q:老王帮助别人,r: 困难解决了 p (q r→ 或:q ?) (,其中p:别人有困难,q: 老王帮助别人,r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解:q p?,其中p: 整数n是偶数,q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P:2能整除5, q:旧金山是美国的首都, r:在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解:p, q 为假命题,r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
一、填空 20% (每小题2分) 1.设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且(N :自然数集,E + 正偶数) 则 =?B A 。 2.A ,B ,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 。 3.设P ,Q 的真值为0,R ,S 的真值为1,则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4.公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6.设A={1,2,3,4},A 上关系图为 则 R 2 = 。 7.设A={a ,b ,c ,d},其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。
8.图的补图为 。 9.设A={a ,b ,c ,d} ,A 上二元运算如下: 那么代数系统的幺元是 ,有逆元的元素为 ,它们的逆元分别为 。 10.下图所示的偏序集中,是格的为 。 二、选择 20% (每小题 2分) 1、下列是真命题的有( ) A . }}{{}{a a ? ; B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ; C . }},{{ΦΦ∈Φ; D . }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有( ) A .{4,3}Φ?; B .{Φ,3,4}; C .{4,Φ,3,3}; D . {3,4}。 3、设A={1,2,3},则A 上的二元关系有( )个。
A.23 ;B.32 ;C.332?;D.223?。 4、设R,S是集合A上的关系,则下列说法正确的是() R 是自反的; A.若R,S 是自反的,则S R 是反自反的; B.若R,S 是反自反的,则S R 是对称的; C.若R,S 是对称的,则S R 是传递的。 D.若R,S 是传递的,则S 5、设A={1,2,3,4},P(A)(A的幂集)上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P(A)/ R=() < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A.A ;B.P(A) ;C.{{{1}},{{1,2}},{{1,2,3}},{{1,2,3,4}}};D.{{Φ},{2},{2,3},{{2,3,4}},{A}} 6、设A={Φ,{1},{1,3},{1,2,3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为() 7、下列函数是双射的为() A.f : I→E , f (x) = 2x ;B.f : N→N?N, f (n) =
离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E,?E→(A∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2),I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式 x((A(x) B(y ,x)) z C(y ,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是 (4) 是,T (5) 不是 (6) 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死 7、设P :我生病,Q :我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 是奇数,Q(x):x 是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。 答:2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答:(2) 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为( ),公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为( )。 答:?P ,Q →P