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二次函数练习题(含答案)

1. 若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（） A ．

m ＞1

B ．

m ＞0

C ．

m ＞﹣1 D ．

﹣1＜m ＜0

2. 若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为

A ．120,4x x ==

B ．121,5x x ==

C ．121,5x x ==-

D ．121,5x x =-=

3. 对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

4. 将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）

A ．y =（x ﹣1）2+4

B ．y =（x ﹣4）2+4

C ．y =（x +2）2+6

D ．y =（x ﹣4）2+6 5. 在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

6. 如图，抛物线y =－x 2+2x +m +1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个判断：①当x >0时，y >0；②若a =－1，则b =4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m =2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其

中正确判断的序号是（）

（A）①（B）②（C）③（D）④

7. 二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，②当

时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（）

A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④

8.如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）

A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3

9.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）

A．cm2B．cm2 C．cm2 D．cm2

10. 已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；

②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）

A． 1 B．2 C．3 D．4

11. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）

①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b2=4A．

12.二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．

13. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2．

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；

(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4A C ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 5

4 ，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

区域① 区域② 区域 ③

岸堤 A

E F

G H 第22题图

x y

C 备用图

x y

O A

l C E

15. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．

（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；

（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：

1.B

2.D

3.C

4.B

5.C

6.C

7.B

8.B

9.C 10.B 11③④ 12.

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；

(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

考点：二次函数的应用．.

专题：应用题

分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE =2BE ，设BE =a ，则有AE =2a ，表示出a 与2a ，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；

（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可．

解答：

解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，

区域① 区域② 区域 ③

岸堤 A

E F

G H 第22题图

∴AE=2BE，

设BE=a，则AE=2a，

∴8a+2x=80，

∴a=﹣x+10，2a=﹣x+20，

∴y=（﹣x+20）x+（﹣x+10）x=﹣x2+30x，

∵a=﹣x+10＞0，

∴x＜40，

则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；

（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，

∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．

点评：此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4A C．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5

4，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边

形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】：（1）A （－1，0），y ＝ax ＋a ；

（2）a ＝－ 2

5 ；

（3）P 的坐标为（1，－ 267

7 ）或（1，－4）

【解析】：

（1）A （－1，0）

∵直线l 经过点A ，∴0＝－k ＋b ，b ＝k

∴y ＝kx ＋k

令ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即ax 2－( 2a ＋k )x －3a －k ＝0

∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4

备用图

∴－3－k

a＝－1×4，∴k＝a

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F

设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE －S△CFE

＝1

2(ax2－3ax－4a)(x＋1)－

2(ax2－3ax－4a)x

＝1

2(ax2－3ax－4a)＝

2a(x－

2)2－

∴△ACE的面积的最大值为－25 8a

∵△ACE的面积的最大值为5 4

∴－25

8a＝

4，解得a＝－

（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0 解得x1＝－1，x2＝4

∴D（4，5a）

∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1

设P （1，m ）

①若AD 是矩形的一条边，则Q （－4，21a ）

m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P （1，26a ）

∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°

∴AD 2＋PD 2＝AP 2

∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a －5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2

即a 2＝ 1

7 ，∵

a ＜0，∴a ＝－ 7

∴P 1（1，－ 267

7 ）

②若AD 是矩形的一条对角线

则线段AD 的中点坐标为（3 2 ，5a

2 ），Q （2，－3a ）

m ＝5a －( －3a )＝8a ，则P （1，8a ）

∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°

∴AP 2＋PD 2＝AD 2

∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a －5a )2＝5 2＋( 5a )2

即a 2＝ 1

4 ，∵

a ＜0，∴a ＝－ 1

∴P2（1，－4）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形

点P的坐标为（1，－267

7）或（1，－4）

（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；

（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．.

分析：（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA 在在射线AC与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；

（3）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得P点坐标．解答：解：（1）由A、B点的函数值相等，得

A、B关于对称轴对称．

A（4﹣0），对称轴是x=1，得

B（﹣2，0）．

将A、B、D点的坐标代入解析式，得

，

解得，

抛物线所对应的二次函数的表达式y=x2﹣x﹣4；

（2）如图1作C点关于原点的对称点D，

OC=OD=OA=4，

∠OAC=∠DAO=45°，

AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，

直线AD的解析式为y=﹣x+4，

联立AD于抛物线，得，

解得x=﹣4或x=4，

∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，

P点的横坐标的取值范围是﹣4＜m＜0；

（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，

如图2，

设P（a，a2﹣a﹣4），

由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°．

∴△PQO∽△COB，

∴=即=，

化简，得a2﹣3a﹣8=0．

解得a=，a=（不符合题意，舍），

a2﹣a﹣4=（）2﹣﹣4=，

P点坐标为（，）．

点评：本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AD之间是解题关键，利用了相似三角形的判定与性质．

九年级数学二次函数测试题含答案精选5套

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二次函数压轴题专题及答案

2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)

二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2

P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1）求这条抛物线的函数关系式. （2）两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x