第5讲 导数及其应用

第5讲 导数及其应用

一、教学目标

1、 理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值.

2、 应用导数解决一些综合和实际问题，如恒成立及方程解的个数问题等. 二、课前诊断

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏.上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误.

2、结合课件点评.必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程.

题1: 已知,P Q 为抛物线2

2x y =上两点，点,P Q 横坐标分别为4,2-，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 .

【点评】本题考查利用导数过求曲线上点的切线方程，并利用方程组求交点的坐标，题目简单，但有一定的运算量，重点训练学生用导数求切线的斜率，解方程组的准确性。 【备选题】函数()ax x x f +=3在()2,1处的切线方程为 .

【点评】强调导数的几何意义，求切线方程满足的条件.

指出在00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 【拓展题】过该函数上任一点作切线，则其倾斜角的取值范围是什么？

2()311f x x '=+≥，即tan 1k α=≥，所以倾斜角的取值范围是

4

2

π

π

α≤<

.

将【拓展题】与题1、【备选题】进行联系，使学生感悟“特殊性与一般性”。 题2：已知函数3

3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c = ．

【点评】学生已经了解三次函数图象的大致特征，本题关键是函数的图象在怎样的情况下与x 轴恰有两个公共点，然后利用已有的导数知识求解。提出如下问题，供教学中参考： 问题1：一般地，三次函数图象的大致形状是什么？

根据学生实际水平，可以先由学生简单画出草图；也可以由学生观察函数解析式3

3y x x c =-+的特征，使其所画图形与之趋于吻合；学生基础掌握很好，也可以直接进行第二个问题。 问题2：你能够画出符合题意的函数图象吗？

教师观察、浏览学生作图，可以发现学生中存在的不足： ①左支方向；②极值点位置；③有两种情况。

建议：具体利用导数确定c 的值，由学生自行完成，教师简单点评即可，注意学生中出现一解的失误。

【变题】若函数2

3

3()2x f x ax a

=-+在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的值为________.

教师提醒学生由'

(1)0f =得到a =a =.

题3： 已知函数()x x mx x f 2ln 2

-+=在定义域内是单调增函数，则实数m 的取值范围为 ．

【点评】先求定义域，再求导，将问题转化成导函数的函数值大于等于零恒成立的条件，

（实物投影学生答案） 问题1：定义域是什么？()+∞∈,0x ，)(x f 的导函数是什么？()21

2-+='x

mx x f ； 问题2：问题转化为021

2>-+

x

mx 在()+∞∈,0x 恒成立？ 方案一：构造函数()21

2-+=x

mx x f ，()+∞∈,0x 最小值大于0；

方案二：2211x x m ->在()+∞∈,0x 恒成立， 2

21

1x x y -

=，()+∞∈,0x 的最大值怎么求？

问题3：()m f x ≥恒成立，则满足什么条件？如果是存在x ，使()m f x ≥成立呢？

()m f x ≤恒成立，则满足什么条件？如果是存在x ，使()m f x ≤成立呢？

【变题1】: 当[]2,1-∈m 时，022

2

<++-m m x x 恒成立，则x 的范围是 ．

建议:教师指导学生注意分清变量与参数． 【变题2】：当[]2,1-∈x 时，022

122

3<++--

m m x x x 恒成立，则实数m 的范围是 ． 建议：教师引导学生理解条件给出的不等式，恒成立问题实质是函数求最值问题．

题4：设曲线(1)x

y ax e =-在点01(,)A x y 处的切线为1l ，曲线(1)x

y x e -=-在点02(,)B x y 处的切线为2l ，若存在03

02

x ≤≤

，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 . 【点评】本题考查存在性问题、两直线位置关系、导数几何意义及运算法则. ()()()()00

000012121x

x ax a e x e ax a x -+-?-?+-?-=-，

问题1：存在0302x ≤≤

，使得12l l ⊥，可做怎样的转化？（上述方程在3

[0,]2上有解） 问题2：上述方程在3[0,]2

上有解，可做怎样的转化？（求函数0

003(1)(2)

x a x x -=+-的值域）

问题3：函数的值域如何处理？（1、换元法；2、导数法．）

3、诊断题归纳

（1）导数的几何意义就是在()()00x f x ,处切线的斜率等于()0x f '，如题1；

（2）函数的单调性取决于导函数值的正、负,即在区间()b a ,内，若()0>'x f ，函数在区间()b a ,单调递增，若()0<'x f ，函数在区间()b a ,单调递减，如题3； （3）()00='x f ，0x 未必是极值点；

（4）恒成立问题一般和最值有关，而导数是求复杂函数最值常用的工具，求最值的步骤是先求极值，再求端点值，最后比较得最值，如题3.注意“永恒成立”与“存在成立”的区别； （5）重视等价转化在导数综合问题中的广泛使用.如题4．

三、例题探究

例1：已知函数()x x e x f x

322

-+= ．

（1）求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当21≥

x 时，若关于x 的不等式()a x x x f +-≥32

32

恒成立，试求实数a 的取值范围． 【教学处理】要求学生自已分析或板演或提问学生口答教师板书. 【启发谈话与引导分析】 问题：求切线的方程缺少什么？

第（1）问：()34-+='x e x f x

，() ='1f ，

第（2）问，条件不等式可变为221x e a x

+

≤在21≥x 恒成立，22

1

x e x +的最小值怎么求？ 建议：教师能规范学生的过程，最好通过表格寻找最值，可展示.

【变题1】对于任意的实数1[,)2

x ∈+∞，是否存在实数a ，使得函数2

()23x f x e x x =+-的图像恒在

2

3()32

g x x x a =

-+的上方？如果存在，求出a 的取值范围，如果不存在，请说明理由. 【变题2】已知函数2

()23x f x e x x =+-，23()32

g x x x a =-+，是否存在实数a ，对于任意的实数

121

,[,2]2x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立？如果存在，求出a 的取值范围，如果不存在，请说明理由.

例2：已知函数()b x ax x x f +--=8ln 62

()

为常数b a ,，且3=x 是()x f 的一个极值点.

（1）求a ；（2）求函数()x f 的单调减区间；（3）若()x f y =的图像与x 轴有且仅有三个交点，求b 的取值范围.

【教学处理】指导学生认真读题，独立完成第（1）问，聚焦（2），（3）问，建立它们的联系，得出结论. 【启发谈话与引导分析】

第（1）问：() 03='f ；第（2）问：()x

x x x f 6

822+-='

方案一：从()0>'x f 入手，得到单调增区间？同理：()0<'x f 得到单调减区间 ？

方案二：先找()0='x f ，列表求解？（判定单调区间可用特殊点代入） 建议：教师选用方案二，条理清楚，关系明确，有助于后续解题.

第（3）问：()x f y =的图像与x 轴有且仅有三个交点转化为什么问题？从图像上能有发现吗？

()?

?

?<'>'0)3(0

1f f 解得3ln 6157-<

3

()1(0),().f x ax a g x x bx =+>=+

（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求,a b 的值；

（2）当2

4a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值．

【分析】本题考查函数的导数、导数的几何意义以及利用导数求函数的最值问题，考查学生利用导数解决函数问题的能力．

【教学处理】第（1）问由学生自主完成，学生板演或提问学生口答教师板书.第（2）问： 【启发谈话与引导分析】

问题1：函数()()f x g x +中除了自变量x ，还有几个参数？

令()()(),h x f x g x =+因有2

4a b =，通过代换仅有一个参数。将函数表示为

()()3222211

1,3244

h x x ax a x h x x ax a '=+++=++，求其导数，列表，判断等由学生自主完成。

问题2：我们已经知道，函数()h x 的单调递增区间为,2a ?

?-∞-

???和,6a ??-+∞ ???

；单调递减区间为,26a a ??-- ???

现在求函数在区间(,1]-∞-上的最大值，研究函数()h x 在(,1]-∞-上的单调性，如何处理？

交流讨论：1、0,026

a a

a >-

<-<； 2、讨论时，分类标准依据1-落在怎样的单调区间上；

3、由12a -≥-，得02a <≤；12a -<-，且16a -≥-，得26a <≤；得16

a

-<-，得6a >；

4、由学生给出对讨论结果的“概括”，检查学生“结论”是否正确。 【备选题】已知函数f (x )＝

a ln x x ＋1＋b

x

，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0． (1) 求a ，b 的值；

(2) 证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x

x －1

．

【教学处理】指导学生读题、树立解题信心，第（1）引导学生自行处理？第（2）问让学生先尝试完成，

教师延迟引导.教师做好学生（2）问的思路整理.

【启发谈话与引导分析】

第（1）问：教师放手让学生处理，容易得到a ＝1，b ＝1. 第（2）问：比较大小的常见处理方法有哪些？

由第（1）问知：f (x )＝ln x x ＋1＋1x ，所以，f (x )－ln x x －1＝－2ln x x 2－1＋1x ＝1

1－x 2(2ln x ＋1－x 2

x )，

令h (x )＝2ln x ＋

1－x 2

x (x >0)，通过导数可以证明：

当x ∈(0，1)时，h (x ) >0，所以1

1－x 2

h (x ) >0；

当x ∈(1，＋∝)时，h (x )＜0，所以1

1－x 2

h (x ) >0. 综上，得证.

思考：为什么不是研究“左－右”的差函数：－2ln x x 2－1＋1

x

？

四、解题反思：

1、 三道例题围绕函数的单调性、区间上的最值，图像上的点的切线问题，而导数是解决这类问题的常用

方法；

2、 导数综合问题常常需要转化，如例1中的（3）问，例2中（3）问等；

3、 证明过程中的合理变形是解决问题的关键，如例3的【备选题】；

4、 遇到复杂问题时要冷静有恒心，善于数形结合，注意分类讨论，达成等价转化.

执笔：扬州市江都区仙城中学 郭有春

(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 8．积分 =-? -a a dx x a 22（ ）．

高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]

第三章《导数及其应用》单元测试题 一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A)x x f π4)(=' (B)x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D)x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B)[]8,2 (C)[]2,1 (D)[]2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ）2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294 e Ｂ．22e Ｃ．2 e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞， 内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的

高考数学讲义导数及其应用.板块五.微积分与定积分的应用.学生版

1．函数定积分： 设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-L ，，，，，． 记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑． y=f (x ) O y x b a n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b a f x dx ?，即10 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?． 其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()b a S f x dx =?． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[]a b ， 中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ， ，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯 形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限． 3．求积分与求导数互为逆运算． ()()()b a F x dx F b F a '=-? ，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差． 4．微积分基本定理 如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()b a f x dx F b F a =-?，其中()F x 叫做()f x 的一个 原函数． 由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数． 知识内容 板块五.微积分 与定积分的应用

导数的简单应用

第三讲导数的简单应用 考点一导数的几何意义1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0)； (4)(log a x)′＝1 x ln a(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [对点训练] 1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为() A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C. [答案]C 2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()

A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0) 处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x － y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1 ＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1 ＝0，所以A 正确，故选A. [答案] A 3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 [解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以 令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点 (1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. [答案] B 4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________. [解析] y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的 切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x

第三章导数及其应用单元测试(带答案)

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （） | A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（）

A．B． ， C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （） A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）！ A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（） A．B．

C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 , 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a． 。

2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题

第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0 ＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A 3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .

答案：B 4．若函数f (x )＝2x 3 －3mx 2 ＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.? ????－∞，52 D.? ????－∞，52 解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2 －6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5 2，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝12x 2 －ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2 －1 x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得00， －2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ， f 3＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115， 解得a ＝2. 答案：C 7．(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时， xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2

1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．

导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意 义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率 例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5讲课后作业理含解析

高考数学一轮复习第2章： 第2章 函数、导数及其应用 第5讲 A 组 基础关 1．设a ＝22.5，b ＝2.50 ，c ＝? ?? ??12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >c D ．b >a >c 答案 C 解析 因为a ＝22.5>1，b ＝2.50 ＝1，c ＝? ????12 2.5b >c . 2．(2018·河北八所重点中学一模)设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其 结果是( ) A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32 答案 C 解析 原式＝ a 2 ? ????a ·a 23 1 2 ＝ a 2 a 53 12 ＝a 2－ 56 ＝a 76 . 3．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3 x －9 ，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．27 答案 D 解析 由2x ＝8y ＋1 得2x ＝2 3y ＋3 ，所以x ＝3y ＋3，① 由9y ＝3 x －9 得32y ＝3 x －9 ，所以2y ＝x －9，② 联立①②，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 4．(2018·南阳、信阳等六市一模)设x >0，且10时，11.∵x >0时，b x 0时，? ?? ??a b x >1.∴a b >1，∴a >b ，∴1

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()

3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数

导数的简单应用专题训练

导数的简单应用专题训练 1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B ． 2． 已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示， 则函数g (x )＝ f (x ) e x 的递减区间为( ) A ．(0,4) B ．(－∞，1)，???? 43，4 C ．??? ?0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞) 解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2 ＝f ′(x )－f (x ) e x ，令g ′(x )＜0即 f ′(x )－f (x )＜0， 由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D ． 3． 若函数f (x ) ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的序 号为( ) ①f (x )＝1 ②f (x )＝x ③f (x )＝1 x ④f (x )＝x A ．①②④ B ．①③ C ．①③④ D ．②③ 解析：选B 当x >1时：f (x )ln x ＝1 ln x 单调递减，①是；????x ln x ′＝ln x －1ln 2x ，所以函数在(e ，＋∞)上单调递增， ②不是；????1x ln x ′＝－(ln x ＋1)ln 2 x ＜0，∴③是；????x ln x ′＝(ln x －2)2x ln 2x ，所以函数在(e 2，＋∞)上单调递增，④不是；选B ． 4．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 解析：选C 由函数的解析式可得y ′＝a e x ＋1，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝a e x 0＋1，

第2章 第5讲-函数、导数及其应用

课时达标 第5讲函数、导数及其应用 一、选择题 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1 x ＋1 D ．f (x )＝－|x | C 解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3－x 为减函数．当x ∈????0，3 2时，f (x )＝x 2－3x 为减函数；当x ∈????32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1 x ＋1为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) A 解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝? ???? x 2－2x ，x ≥2， －x 2 ＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是 [1,2]． 3．(2019·烟台九中期末)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 B 解析 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即m ＝－2. 4．(2019·南昌二中月考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.????0，3 4 B.????0，3 4 C.??? ?0，34 D.??? ?0，34 D 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由

第一章导数及其应用练习题

第一章导数及其应用练习题 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

第一章导数及其应用 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念 1．已知函数f(x>＝2x2－4的图象上一点(1，－2>及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy>，则错误!等于( >．b5E2RGbCAP A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx>2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( >． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2>(s的单位为m，t的单位为s>，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( >．p1EanqFDPw A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋错误!，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝错误!，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝错误!＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x>＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( >． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x>可导，则错误!错误!等于( >．DXDiTa9E3d A．f′(1> B．3f′(1> C.错误!f′(1> D．f′(3>

9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．RTCrpUDGiT 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝ 1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5PCzVD7HxA 12．(创新拓展>已知f(x>＝x2，g(x>＝x3，求满足f′(x>＋2＝g′(x>的x的值． 1.1.3导数的几何意义 1．已知曲线y＝错误!x2－2上一点P错误!，则过点P的切线的倾斜角为( >．jLBHrnAILg A．30° B．45° C．135° D．165° 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2>，则A处的切线斜率等于( >． A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx>2D．6 3．设y＝f(x>存在导函数，且满足错误!错误!＝－1，则曲线y＝f(x>上点(1，f(1>>处的切线斜率为( >．xHAQX74J0X A．2 B．－1 C．1 D．－2 4．曲线y＝2x－x3在点(1,1>处的切线方程为________．

第三章导数及其应用

第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4 x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2 x 2－2x 1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项， y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3 2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题设有?????f （0）＝0?d ＝0， f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1?c ＝－1， f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－1 2，c ＝－1，d ＝0. 故该函数的解析式为y ＝12x 3－1 2x 2－x ，选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1 e －x ，则曲线y ＝f (x ) 在

点(1，2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2， y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案y＝2x 3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 3.解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 4.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1 x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切 线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案8 5.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝a ax ln，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 5.解析f′(x)＝x a ln＋ax·1x＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3.

高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题一函数与导数第2讲导数及其应用练习文

高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题一函数与导 数第2讲导数及其应用练习文 「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型. 核心知识回顾 1.导数的几何意义 (1)函数y ＝f (x )在□01x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，即k ＝□ 02f ′(x 0)． (2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为□03y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的单调性 (1)在某个区间(a ，b )内，如果□01f ′(x )＞0(f ′(x )<0)，那么函数y ＝f (x )在这个区间内□ 02单调递增(单调递减)． (2)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： ①确定函数□03f (x )的定义域； ②求□ 04导数f ′(x )； ③在函数f (x )的定义域内□ 05解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的□06单调区间． 3．导数与极值 函数f (x )在x 0处的导数□ 01f ′(x 0)＝0且f ′(x )在x 0附近“□02左正右负”?f (x )在x 0处取得□03极大值；函数f (x )在x 0处的导数□04f ′(x 0)＝0且f ′(x )在x 0附近“□05左负右正”?f (x )在x 0处取得□ 06极小值． 4．求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤 (1)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的□ 01极值； (2)比较函数y ＝f (x )的□02各极值与□03端点处的函数值□04f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 热点考向探究 考向1 导数的几何意义 例 1 (1)(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f (x )＝? ???? x 2 ＋2x ，x ≤0， －x 2 ＋ax ，x ＞0为奇函 数，则f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A ．6 B ．－2

《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议(精)

《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议 广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆 导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具． 在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有： (1)导数概念及其几何意义； (2)导数的运算； (3)导数在研究函数中的应用； (4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)； (5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求) 本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章. 一、课标要求 导数及其应用的基本教学要求是： 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x =的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表． 3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求) 7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求) 8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值． 二、课时安排 1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下： 变化率与导数 约3课时

3第三讲导数与微分法研究

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析教研室 通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌 握导数的各 种求导方法。 第三讲导数与微分法研究 、基本概念 1?导数及其变形 2?分段函数的导数通过左右导数来求 3. 导数的几何意义 4. 微分的定义 二、求导方法 1 .求导公式及其应用 2. 复合函数求导法 3 ?隐函数的导数求法 4.参数方程确定的函数的导数求法 5?极坐标方程表示的的函数的导数求法 6 .形如y = f(x)g(X) 的函数的导数求法一一取对 数求导法 7?分段函数的导数 8?变动上线的积分表示的函数的导数 课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第三讲导数与微分法研究 课时数 教学 目的 重 点 难 占 八\、 1. 2. 3. 隐函数的导数求法 参数方程确定的函数的导数求法 形如y = f (X) g(X) 的函数的导数求法一一取对数求导法 变动上线的积分表示的函数的导数

教学过程与内容 教学 后记 第三讲导数与微分法研究 元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、 求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导 数、隐函数的导数、参数(极坐标)方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函 数的导数每年都考。 一、基本概念 1 .导数及其变形 ,f(X)-f(X 0), lim = lim f X - x 0 4° 例1：设f (X)在x 0可导，求 f(X 0 —3h)-f(X 0) (1) lim h T f(X o 中心 X)— f(X o ) _ lim f (X o +h)- f(X o ) -h m o h 1 ⑶ lim n[ f(X 0 +-) - f (X o - T n f(X0+2h)-f(X0-2h) ⑵h m o 丄)] 2n 2 .分段函数的导数通过左右导数来求 例2：设f(X)斗X - a I ?(x),护(X)在X = a 连续，文在什么条件下 f (x)在x = a 可 导? 【解】lim f(X ^f(a ^ lim -?(x) = -?(a) X —a lim fg-f (a) = lim 畀(X)=护(a) T X — a X T 〒 当—q)(a)=W (a)，即 W (a) =0时，f (x)在 x = a 可导。 2 【讨论】f(x)=|x|, f(x)=x|x|, f(x) =x(x +1)(X -1) I X -1 I 分别有几个不可导 点。 例3:已知函数f(x) =? ” 2 x l ax + b X A 1 X ^1处处可导，试确定 a 、b 的值。 【解】(1)欲使f (x)在X =1处可导，必先在X = 1处连续, 故有 lim f(X)= limf (x) = f(1)，即 a + ^1 x —! — H 十 (2)又f (x)在X=1处的左、右导数分别为 2 5= 十斗 ad + 也 x)+b —1 「5、 .. a(1+也 x)+b —1 r a 也X f Q=J x s + 纵 二四盂=a 故a = 2，从而b = -1，所以，当a = 2 , b = —1时f (x)处处可导。

2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第3讲 导数及其应用学案

第3讲导数及其应用 [考情考向分析] 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 热点一导数的几何意义 1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k ＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 答案 D 解析方法一∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1， ∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D. 方法二∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D. (2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则实数b＝________. 答案ln 2 解析设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋1和曲线y＝ln(x＋2)的切点分别为(x1，ln x1＋1)，(x2，ln(x2＋2))．∵直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线， ∴1 x1 ＝ 1 x2＋2 ，即x1－x2＝2.

数学选修2-2第一章导数及其应用练习题汇编

第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．