三角形五心性质[1]

三角形的五心定理

一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.

垂心是三角形的三条高的交点

旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心

二、三角形五心性质

内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.

重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.

2、若O 是ABC ?的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）.

4、外心到三顶点的距离相等.

垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.

2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等. OA OC OC OB OB OA ?=?=?

旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.

2、旁心到三边的距离相等.

注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三、三角形五心性质证明

垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB .

证明：

连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆

∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB

重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.

证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心

做BG中点H，GC中点I

∴HI为△GBC的中位线

∴HI//BC,且 2HI=BC

同理：FE是△ABC中位线

∴FE//BC,且 2FE=BC

∴FE//HI,且 FE=HI

∴四边形FHIE是平行四边形

∴HG=GE

又H为BG的中点

∴HG=BH

∴HG=BH=GE

∴2GE=BG

∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍

五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质

三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．

（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.

下面是更为详细的性质：

1、垂心

三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。

性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH〃HD=BH〃HE=CH〃HF。

性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。

性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP〃tanB+ AC/AQ〃tanC=tanA+tanB+tanC。

性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

2、内心

三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：

性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等。

性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠A，类似地还有两式；反之亦然。

性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。

性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，令p= (1/2)(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p〃AI〃BI〃CI。

性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D 在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。

性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。

3、外心

三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质：

性质1三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。

性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。

性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△。

性质 4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP 〃sin2B+ AC/AQ〃sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。

性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

4、重心

性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QD〃QE〃QF 最大；反之亦然。

性质2 设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。

性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然。

5、旁心

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

三角形五心及其性质

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形垂心的性质 设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的 垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF。 5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 垂心的向径 定义 设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c， 则h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐标的解析解： 设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。 其中， Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]); Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);

三角形五心性质概念整理(超全)

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 。 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC） —

初中几何三角形五心及定理性质电子教案

初中几何三角形五心定律及性质 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。 三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称 重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 垂心定理 图1 图2 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 推论： 1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图1） 2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1） 3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图2） 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE

三角形的五心性质以及典型问题--初中数学竞赛

三角形的五心 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 一．三角形的外心 定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 定理3：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 定理4：AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1 ,21,21 1.如图所示，在锐角ABC ?中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，O 为ABC ?的外心. 求证：（1）AEF ?∽ABC ? (2)EF AO ⊥ O F E D C B A 2.设O 为锐角ABC ?的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则 CN BM AL 1 11++的值是_______________.(设R 为ABC ?外接圆半径) 二．三角形的内心 定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 定理3：内切圆半径r 的计算： 设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ． 特别的，在直角三角形中,有 r =1 2 (a +b －c )． A B C O I K H E F A B C M

B C D A I B C E D A 定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2 1 90A BIC ∠+ =∠ B CIA ∠+=∠2190 ， C AIB ∠+=∠2190 。 3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。证明：D 是ABC ?的内心. 4.如图，在ABC ?中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当?=∠60A 时，求BDE ∠度数 5.如图，I 是ABC ?的内心，AI 的延长线交ABC ?的外接圆于D ，则，DC DB DI ==

三角形五心定律

垂心 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清， 重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点 内心 内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 希望对你有帮助！三角形五心定律 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。 一、三角形重心定律 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的

三角形五心及其性质延伸

三角形五心及其性质延伸 1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。 延伸：①内角平分线定理 如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有 (=)AB BD AC DC =上左下左 上右下右 证明过程如下： 作BE E DAC ∠=∠∵BAD DAC ∠=∠,∴ E BAD ∠=∠,AB BE ==c. 又∵ BE BD =DC AB EB AC AC =()AB BD AC DC =同上AEC EAF ∠=∠EAF EAC ∠=∠, ∴AEC EAC ∠=∠,AC AE =. A B D C E c b c A B C D E F

又∵ CE BD = DC AB AB AC CE =BAC ∠2bccos 2cos 2211b+c +b c A A AD =（或 ）⊥b c AD AC DE BE ==又+DE=AE AD ,即b b+c AD AE = .而△ABE 为等腰三角形, BF ⊥AE, ∴22sin =2csin 2 A AE AF AB BAF ==∠,∴2bccos 2cos 2211b+c +b c A A AD = （或 ）. ④内心到三边距离r(三角形内切圆半径) 设三角形面积为S ，则有 2r=a+b+c S （即面积的2倍除以周长） 证明过程如下： 连接OA,OB,OC. ∵相切，∴OF AB ⊥，即S △AOB = 11cr 2 2 AB OF ?=，同理 S △AOC = 1br 2 ，S △BOC = 1ar 2 .又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1 (a+b+c)r 2 , ∴2r= a+b+c S . 2.重心:三角形三条中线交点 c b c A F B D C E B D C

三角形五心性质概念超全

三角形五心性质概念超全 The document was prepared on January 2, 2021

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x ，y ） 则该点到三顶点距离平方和为： (x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2+(x 3-x)2+(y 3-y)2 =3x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32 =3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)]2+3[y-1/3*(y 1+y 2+y 3)]2+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（）时 上式取得最小值x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 最终得出结论。 4、在中，重心的坐标是的， 即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空间——：(X 1+X 2 +X 3 )/3，：(Y 1 +Y 2 +Y 3 )/3，：（Z 1 +Z 2 +Z 3 ）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC） 内心 设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+∠BAC/2． 3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 那么△ABC内心I的坐标是：

三角形的五心

三角形的五心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2 1 ∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC . 例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ， △BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C . ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1， 同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. A B C P P M N 'A B C Q K P O O O ....S 123

三角形五心性质概念整理(超全)

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC）

三角形五心及其性质延伸

1 三角形五心及其性质延伸 1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。 延伸：①内角平分线定理 如图，AD 为△ABC 中B A C ∠的平分线，则有 (=)AB BD AC DC = 上左下左 上右下右 证明过程如下： 作BE//AC 交其延长线于E,则E D AC ∠=∠. ∵B A D D A C ∠=∠,∴E BAD ∠=∠,AB BE ==c. 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴ B D =D C A B E B A C A C =,得证。 ②外角平分线定理 如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有() A B B D A C D C =同上 证明过程如下： 作CE//AB 交AD 于E,则A E C E A F ∠=∠.∵E A F E A C ∠=∠, ∴AEC EAC ∠=∠,A C A E =. 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴ B D =D C A B A B A C C E =,得证。 A B D C E c b c A B C D E F

③三角形内角平分线长公式 如图，AD 为△ABC 中B A C ∠的平分线，则有 2bc cos 2cos 2211b+c + b c A A AD = （或 ） 证明过程如下： 作BE//AC 交其延长线于E,BF ⊥AE 交其于F 。 由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB, ∴ b c A D A C D E B E = = . 又+D E=AE AD ,即b b+c A D A E = .而△ABE 为等腰三角形, BF ⊥AE, ∴22sin =2c sin 2 A A E A F A B B A F ==∠,∴2bc cos 2cos 2211b+c + b c A A AD = （或 ）. ④内心到三边距离r(三角形内切圆半径) 设三角形面积为S ，则有 2r= a+b+c S （即面积的2 倍除以周长） 证明过程如下： 连接OA,OB,OC. ∵相切，∴O F AB ⊥，即S △AOB = 11cr 2 2A B O F ?= ，同理 S △AOC = 1br 2 ，S △BOC = 1 ar 2 .又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1 (a+b+c)r 2 , ∴2r=a+b+c S . c b c A F B D C E B C

三角形五心性质概念整理(超全)课件.doc

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为 （x ，y ） 则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x) 1-y) 2-x) 2-y) 3-x) 3-y) 2+(y 2+(x 2+(y 2+(x 2+(y 2+(y 2+(x 2+(y 2+(x 2+(y 2 =3x 2-2x(x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2 3 1 2 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)] 2+3[y-1/3*(y 1+y 2+y 3)] 2+x 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x 2-1/3(y 1 2 3 1 2 32+x 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x 2-1/3(y 1+x 2+x 3) 1+y 2+y 3) 2 显然当 x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3 （重心坐标）时 上式取得最小值 x 1 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x 2 3 1 2 3 1+x 2+x 3) 1+y 2+y 3) 2-1/3(y 2-1/3(y 2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为 [(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+ Y 3)/3] ； 空间直角坐标系——横坐标： (X 1+X 2+X 3)/3 ，纵坐标：(Y 1+ Y 2+Y 3)/3 ，纵坐标：（Z 1+ Z 2+Z 3） /3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC 中，若 MA 向量+MB 向量+MC 向量= 0（向量） ，则 M 点为△ABC 的重心， 反之也成立。 7、设△ABC 重心为 G 点，所在平面有一点 O ，则向量 OG=1/3（向量 OA+向量 OB+ 向量 OC ）

(完整版)三角形五心的证明

三角形五心 内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。 重心：三条中线的交点。 注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。 内心：三条角平分线的交点 证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。 由角平分线定理（角平分线上一点到两边的 距离相等）得： OD=OF，OF=OE ∴ OD=OE ∴AO为角BAC的平分线 外心：三条中垂线的交点 证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。 由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到 两端点的距离相等），得： OA=OB，OA=OC. ∴OB=OC ∴点O在线段BC的中垂线上 ∴OF为线段BC的中垂线 旁心： 证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。 由角平分线定理（角平分线上一点到两边的 距离相等）得： OD=OF，OD=OE ∴ OF=OE ∴BO为角ABC的平分线

垂心：三条高的交点 证：连结DE，连结AO交BC于F点。 ∵角BDC=角BEC=90° ∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。 ∴角FBO=角CDE ······① （同弦(弧)所对圆周角相等） 又∵角ODA=角AEO=90° ∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。 ∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等） 且角AOE=角BOF ∴角ADE=角BOF ······② 由①②可知，角OFB=角ODA=90° ∴AF为BC边上的高。 重心：三条中线的交点 方法一： 证：连结AO交BC于点F。 ∵D为AB的中点 ∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积） （底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)） S△AOD=S△BOD ∴S△AOC=S△BOC ······① 同理可得： S△BOC=S△AOB ······② 由①②得，S△AOC=S△AOB 又∵△AOC与△AOB底都为AO ∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。 对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。 ∴S△AFB=S△AFC 又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC的距离）。 ∴它们底相等，即：BF=CF ∴AF为三角形的中线。 方法二： 证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N， G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。 连GH交AF于点M。 ∵DE为△ABC的中位线 ∴DE#1/2BC （#表示平行且等于） 同理，可得：GH#1/2BC ∴DE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。 易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN ∵DG为△ABO的中位线 ∴DG∥NM,即四边形DGMN为平行四边形

证明三角形的五心性质

向量和三角形的五心 一、前言： 在本校自然资优班的一次数学课堂中，笔者讲到以下的性质： 在A B C ?中，若点G 为A B C ?的重心，则()13 O G O A O B O C =++ ，其中点O 为任一点。 下课后，有位许同学便到办公室提出以下的问题： （1）在A B C ?中，点G 为A B C ?的重心，可得到( )13 O G O A O B O C =++ 的结果；那么反过来， 若有一点G ，满足()13 O G O A O B O C =++ ，是否保证点G 为A B C ?的重心呢？ （2）在A B C ?中，另外的四心，即内心、垂心、外心、傍心，是否也有类似充要条件的性质呢？ 当时笔者告诉许同学，重心、内心、傍心有类似性质，其中重心的性质是充要条件没错；至于内心、傍心的性质是否为充要，还须再证明看看；而垂心、外心的向量充要性质老师还没看过，容老师再思考一些时间。 接到许同学的问题后，笔者便与刘国莉老师一起讨论，经过仔细探讨之后，我们得到以下的结果： 1. 重心向量性质的充要条件与证明。 2. 内心向量性质的充要条件与证明。 3. 傍心向量性质的充要条件与证明。 4. 外心向量性质的充要条件与证明。 5. 垂心向量性质的充要条件与证明。 二、重心的向量性质： A B C ?中，则点G 为A B C ?的重心的充 要条件为111333 O G O A O B O C =++ （其中点O 为任一点） 证明：设点G 为A B C ?的重心，延长A G 交BC 于点D ，则 :2:1AG GD =，:1:1BD DC =。因此，2211 33223 3AG AD AB AC ??==+= ??? 设点O 为任一点，OG OA AG =+ 1133O A A B A C =++ ()()1133 O A O B O A O C O A =+-+- 111333 O A O B O C =++ 。 另一方面，已知111333 O G O A O B O C =++ ，其中点O 为任一点，令O A =代入得 C

三角形五心的性质【超全总结】

重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是： Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c). 3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 4、(欧拉定理)ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr． 5、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 6、内心到三角形三边距离相等。 旁心的性质：（外角的角平分线的交点） 1、每个三角形都有三个旁心。 2、旁心到三边的距离相等。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形五心定律

三角形五心定律及性质 一、重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 二、外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 三、垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB 于点F ，求证：CF⊥AB 证明：

三角形五心性质

三角形的五心定理 一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心. 垂心是三角形的三条高的交点 旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心 二、三角形五心性质 内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一. 重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三 条边的长成反比. 2、若O 是ABC ?的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或 A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）. 4、外心到三顶点的距离相等.

垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆. 2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三 角形的欧拉线（Euler line ）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍. 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等. OA OC OC OB OB OA ?=?=? 旁心: 1、每个三角形都有三个旁心. 2、旁心到三边的距离相等. 注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ΔABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于 点F ，求证：CF ⊥AB . 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB 重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍. 证明：如图：△ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，G 为△ABC 重心 做BG 中点H ，GC 中点I ∴HI 为△GBC 的中位线 ∴HI//BC,且 2HI=BC 同理：FE 是△ABC 中位线 ∴FE//B C,且 2FE=BC ∴FE//HI,且 FE=HI ∴四边形FHIE 是平行四边形 ∴HG=GE 又H 为BG 的中点 ∴HG=BH ∴HG=BH=GE ∴2GE=BG ∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍 四、有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 重 心

三角形五心的性质

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成 反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X I+X2+X3）/3 , （丫1+丫2+丫3）/3。 5、以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若0是A ABC 的外心，则/ B0C=2 / A （/ A为锐角或直角）或/ BOC=360 -2 / A （/ A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形 时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d 1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向 量的点乘。C1=d 2d 3, C2=d 1d3 , C3=d 1d2； C=C 1+C 2+C3。外心坐标：（（C2+C3）/2C ,（C1+C3）/2C ,（C1+C2）/2C ）。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。（此直线称为三角形的欧拉线） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为△ ABC所在空间中任意一点，点O是△ ABC内心的充要条件是： Po=（a x PA+b x PB+c X PC）/（a+b+c）. 3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC 4、（欧拉定理）A ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，贝U OI2=R2-2Rr . 5、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，O为内心，/ A、/ B、/ C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R ,贝U BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 6、内心到三角形三边距离相等。 旁心的性质：（外角的角平分线的交点） 1、每个三角形都有三个旁心。 2、旁心到三边的距离相等。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 只供学习与交流

三角形五心性质归纳总结

三角形的“五心”性质归纳总结 任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。我们可以用14个字便能准确快捷地区分并记住五心，“中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁”，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线。 中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。 高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。 垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R. 分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r. 重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。 外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。 到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。 在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。 等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一 颗旁心合一，外接圆半径R 为内切圆半径r 的2倍，R= 3 3a （a 为边长） （∠OAD=30°，∴R=2r,高为23a,则，R=33a ，r=63a ）

三角形五心的性质超全总结

三角形五心的性质【超全总结】 重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是： Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c). 3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 4、(欧拉定理) ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr． 5、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 6、内心到三角形三边距离相等。 旁心的性质：（外角的角平分线的交点） 1、每个三角形都有三个旁心。 2、旁心到三边的距离相等。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 1 / 1