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高等数学A上期末考考试题A卷答案

中国传媒大学 2018─2018学年第一学期期末考试试卷A 卷

参考答案及评分标准

考试科目:高等数学A 上 考试班级: 2018电气信息类、光电、游戏 考试方式: 闭卷 命题教师: 梁瑞梅

一、填空题<将正确答案填在横线上,本大题共4小题,每题4分,共16分)

1.已知当0→x 时,1)1(3

12-+ax 与x cos 1-是等价无穷小,则常数=a 。 答案:23=a 2.??

???>-==?2122

)0(cos 21cos cos t t udu u t t y t x ,则=dx dy 。 答案:t dx

dy = 3.微分方程0)4(2=-+dy x x ydx 的通解为 。

答案:Cx y x =-4)4(

4.=+?e

x x dx 12)

ln 2( 。 答案:2

2arctan 21

=I 二、选择题<在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共4小题,每题4分,共16分)1.如果?????>-≤=0

),1(0,)(2x x b x e x f ax 处处可导,则< B )。 1)(==b a A ; 1,0)(==b a B ; 0,1)(==b a C ;

1,2)(-=-=b a D 。

2.函数)(x f y =在0x x =处连续,且取得极大值,则)(x f 在0x 处必有<

C )。

0)()(0='x f A ; 0)()(0<''x f B

或不存在0)()(0='x f C ; 0)(0)()(00<''='x f x f D 且。

3.若x

x ln 为)(x f 的一个原函数,则='?dx x f x )(< D )。 C x x A +ln )(; C x

x B ++2ln 1)(; C x C +1)(; C x x x D +-ln 21)(。 4.微分方程x y sin ='''的通解是( A >。

32212

1cos )(C x C x C x y A +++=; 1cos )(C x y B +=; 32212

1sin )(C x C x C x y C +++=; x y D 2sin 2)(=; 三、解答下列各题<本大题共2小题,共14分)

1.<本小题7分) 求极限x x dt t e x t x 4020

sin )1(lim ?--→ 解:x x dt t e x

t x 4020sin )1(lim ?--→5020)1(lim x dt t e x t x ?--=→=4205)1(lim x

x e x x --→ 3分 3020)1)(1(2lim x e x e x x x ---=→3020)1(2lim x

x x e x x --=→ 2

010)1(lim x x e x x --=→201201lim 0=-=→x e x x 7分 2.<本小题7分) 设)12

1(,)2()(2tan <<-=x x x y x π,求dy 。

解:取对数 )2ln(2tan

ln x x y -?=π 2分 两边对x 求导:x x x x y y 2

tan 21)2ln(2sec 22πππ-+-?=' 5分 dx x x x x x dx y dy x ]2

tan 21)2ln(2sec 2[)2(22tan ππππ-+-?-='= 7分 四、解答下列各题<本大题共4小题,共28分)

1.<本小题7分)

?--=x

dt t t x F 1)4()(,求)(x F 的极值及)(x F 在]5,1[-上的最值。 解:3723)4()(231+-=-=?-x x dt t t x F x

2分 则x x x F 4)(2-=',令04)(2=-='x x x F ,解得4,0==x x

42)(-=''x x F ,04)0(<-=''F ,所以0=x 时,)(x F 的极大值是37; 04)4(>=''F ,所以4=x 时,)(x F 的极小值是3

25-; 5分 0)1(=-F ,6)5(-=F ,比较得)(x F 在]5,1[-上的最大值是

37,最小值是3

25-

。 7分

2.<本小题7分) x x

x d 123

?-求。 解:令t x sin =,

C t t t d t tdt t t x x x ++-=--==-???3232

3cos 31cos cos )cos 1(cos cos sin d 1 5分 C x x +-+--=32213

11 7分 3.<本小题7分)

dx e t f t x ?-=22 1 )(设,计算?=1

0)(dt t tf I 。

解:???'-===10

21021021

0)(21)(21)(21)(dt t f t t f t dt t f dt t tf I 3分 )1(4

14122111010244-==-=---?e e dt te t t t 7分 4.<本小题7分) 求积分dx x x x ?

-4321)1(arcsin 。 解:dx x x x ?-4

321)

1(arcsin x d x x ?-=431)1(arcsin 2x d x arcsin arcsin 24321?= 4分 23212

144

7)(arcsin π==x 7分 五、解答下列各题<本大题共3小题,共26分)

1.<本小题9分) 求由曲线x e y 2=,x 轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。 解:设切点为),(020x e x ,则切线方程)(202200x x e e y x x -=-

又切线过原点,将)0,0(代入得切点),2

1(e ,则切线ex y 2= 5分 4

)2(210202e dx ex e dx e S x x =-+=??∞- 9分 2.<本小题9分)

求微分方程x e y y y x 23442+=+'-''的通解。

解:齐方程的特征方程0442=+-r r ,特征根221==r r

齐方程的通解是x x xe C e C Y 2221+= 4分

设非齐次方程的一个特解为C Bx e Ax y x ++=22*,代入原方程 解得21,21,23===

C B A ,故2

12123*22++=x e x y x 8分 非齐次方程的通解212123222221++++=x e x xe C e C y x x x ; 9分 3.<本小题8分)设)(x f 可导,且0)0(=f ,?-=-x

n n n dt t x f t x F 01)()(,证

明)0(21)(lim 20f n x

x F n x '=→。 证明:令n n t x u -=,则dt nt du n 1--=

???=-=-=-n n x x x n

n n du u f n du u f n dt t x f t x F 0001)(1)(1)()( 3分 )0(212)0()(lim 2)(lim )(lim )(lim 0121020020f n nx

f x f nx n nx x f nx du u f x x F n n x n n n x n x x n x n

'=-=?==→--→→→? 8分

申明:

所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。

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