八年级下册数学同步课程第04讲-不等式的基本性质与解集(培优)-学案

学科教师辅导讲义

体系搭建

一、知识梳理

1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。

2、常用的不等号：

种类符号实际意义读法

小于号< 小于、不足小于

大于号> 大于、高出大于

小于或等于

≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）号

大于或等于

≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）号

不等号≠不相等不等于

考点一：不等关系

例1、2015年2月1日宿迁市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天气温变化范围t（℃）是（）A．t＞8 B．t＜2

C．﹣2＜t＜8 D．﹣2≤t≤8

例2、式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个

例3、下列各式是不等式的有（）个．

①﹣3＜0 ②4x+3y＞0 ③x=4 ④x+y ⑤x≠5 ⑥x+2＞y+3．

A．1 B．2 C．3 D．4

考点二：不等式的基本性质

例1、如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（）

A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b

C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1

例2、下列判断中，正确的序号为．

①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；

③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；

⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．

例3、判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．

（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；

（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；

（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．；（6）若a＞b＞0，则＜．．

例4、根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．

（1）x﹣2＜3x﹣3；（2）﹣x+2＜x﹣6；

（3）3x+3＜0；（4）﹣2x+1＜x+4．

考点三：不等式的解集及解不等式

例1、已知关于x的不等式ax＞b的解为x＜3，那么下列关于x的不等式中解为x＞3的是（）A．﹣2ax＞﹣2b B．2ax＞2b C．ax+2＞b+2 D．ax﹣2＞b﹣2

例2、不等式2x+1＜3的解集在数轴上表示为（）

A．B．C．D．

例3、如果不等式ax≤2的解集是x≥﹣4，则a的值为．

例4、如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．

例5、在数轴上画出下列解集：

（1）x≥1且x≠2．

（2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：5x﹣2＞3（x+1）

例6、已知a，b，c是三角形的三边，求证：．

例7、比较下列各组中算式结果的大小：

（1）42+322×4×3；

（2）（﹣2）2+122×（﹣2）×1；

（3）22+222×2×2．

通过观察，归纳比较20062+200722×2006×2007，并写出能反映这种规律的一般结论．

例8、请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：

因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值是小于3的，

所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；

因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于﹣3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．

解答下面的问题：

（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为．（2）解不等式|x﹣5|＜3；

（3）解不等式|x﹣3|＞5．

实战演练

?课堂狙击

1、下列式子①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（）个．

A．2 B．3 C．4 D．1

2、下列不等式变形正确的是（）

A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b|

C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2

3、如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（）

A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．＞

4、若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）

A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b

5、下列不等式中，不含有x=﹣1这个解的是（）

A．2x+1≤﹣3 B．2x﹣1≥﹣3 C．﹣2x+1≥3 D．﹣2x﹣1≤3 6、不等式﹣3x≥6的解集在数轴上表示为（）

A． B． C． D．

7、利用不等式的性质把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

（1）2x﹣1＞7；（2）3x＞7x﹣8；

（3）6x﹣1＞12x+6；（4）2x+1＞7x+6．

8、若不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a的取值范围是．

9、设a＞0＞b＞c，且a+b+c=﹣1，若，试比较M、N、P的大小．

10比较下面两列算式结果的大小（在横线上选“＞”“＜”“=”）

（1）42+322×4×3

（﹣2）2+122×（﹣2）×1

22+222×2×2…

通过观察归纳，得20002+200122×2000×2001．

（2）写出能反映这种规律的一般结论：．

（3）用所学知识说明所得结论的正确性．

11、已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．

?课后反击

1、下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2、下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（）

A．2个B．3个 C．4个D．5个

3、若﹣2a＜﹣2b，则a＞b，则根据是（）

A．不等式的基本性质1 B．不等式的基本性质2

C．不等式的基本性质3 D．等式的基本性质2

4、若x＞y，则下列式子中错误的是（）

A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞

5、若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）

A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞D．x2＞y2

6、在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（）

A． B．

C． D．

7、如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x ﹣y（填“＜、＞、或=”）

8、若a＞b，则a+b 2b．（填“＞”、“＜”或“=”）

9、若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是．

10、利用不等式的性质把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．

（1）﹣3x+1＞2；（2）3x＞12x；

（3）3x+1＞4x+2；（4）x+1＞x+2．

11、如果关于x的不等式|x﹣2|+|x+3|≥a对于x取任意数都成立，则a的取值范围是多少？并说明理由．

12、同学们在七年级下册学习了作差法比较大小，请根据你学过的知识解答以下三个小题：

（1）已知a＞0，b＞0，比较+与的大小．

（2）已知a＞0，b＞0，式子+与能否相等；若能相等，请注明条件；若不等，请说明理由．（3）根据（1）、（2）中你的结论，请求出代数式+（0＜x＜1）的最小值，并指出取最小值时的x 值．

直击中考

1、【2016?夏津】若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（n﹣m）x＞（m+n）的解集是（）

A．x＜﹣ B．x＞﹣C．x＜ D．x＞

2、【2015?乐平】已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．

（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；

（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．

1、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 2、不等式解集的两种表示方法

（1）用不等式表示 （2）用数轴表示

不等式的其他性质

（1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。 （2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。

（3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ；

若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。 （4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->；

若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。

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