旋转液体综合实验

旋转液体综合实验

浙江大学物理实验教学中心

2005-11

旋转液体综合实验

在力学创建之初，牛顿的水桶实验就发现，当水桶中的水旋转时，水会沿着桶壁上升。旋转的液体其表面形状为一个抛物面，可利用这点测量重力加速度；旋转液体的抛物面也是一个很好的光学元件。美国的物理学家乌德创造了液体镜面，他在一个大容器里旋转水银，得到一个理想的抛物面，由于水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。

随着现代技术的发展液体镜头正在向一“大”一“小”两极发展。大，可以作为大型天文望远镜的镜头； 反射式液体镜头已经在大型望远镜中得到了应用，代替传统望远镜中使用的玻璃反射境。当盛满液体（通常采用水银）的容器旋转时，向心力会产生一个光滑的用于望远镜的反射凹面。通常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，而哈勃空间望远镜的失败也让我们了解了玻璃镜头何等脆弱。

小，则可以作为拍照手机的变焦镜头。美国加利福尼亚大学的科学家发明了液体镜头，它通过改变厚度仅为8mm 的两种不同的液体交接处月牙形表面的形状，实现焦距的变化。这种液体镜头相对于传统的变焦系统而言，兼顾了紧凑的结构和低成本两方面的优势。

旋转液体的综合实验可利用抛物面的参数与重力加速度关系，测量重力加速度，另外，液面凹面镜成像与转速的关系也可研究凹面镜焦距的变化情况。还可通过旋转液体研究牛顿流体力学，分析流层之间的运动，测量液体的粘滞系数。

【实验原理】

一、 旋转液体抛物面公式推导

定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考系静止，任选一小块液体P ，其受力如图1。Fi 为沿径向向外的惯性离心力，mg 为重力，N 为这一小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N 必然垂直于液体表面。在X-Y 坐标下P(x,y) 则有：

cos 0N mg θ-=

sin 0i N F θ-=

2i F m x ω=

图1 原理图

2tan dy x

dx g

ωθ==

根据图1有： 022

2y x g

y +=

ω （1）

为旋转角速度，0y 为0=x 处的y 值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。

二 、 用旋转液体测量重力加速度g

在实验系统中，一个盛有液体半径为R 的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度ω匀速稳定

转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。 设液体未旋转时液面高度为h ，液体的体积为：

h R V 2π= （2）

因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：

xdx y g

x dx x y V R

)2(

2)2(02

20

+==??ωππ （3）

由（2）、（3）式得：

g

R h y 42

20ω-

= （4）

联立（1）、（4）可得，当2/0R x x ==时，h x y =)(0，即液面在0x 处的高度是恒定值。

方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g

如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差为h ?，点（h y R ?+0,）在（1）式的抛物线上，有

02

202y g

R h y +=

?+ω，

得：h

R g ?=

22

2ω

又260

n

πω=

，则 图2 实验示意图

222

7200D n g h

π=

?? （5）

D 为圆筒直径，n 为旋转速度（转/分）。

方法二、斜率法测重力加速度

如图2所示，激光束平行转轴入射，经过BC 透明屏幕，打在20R

x =的液面A 点上，反射

光点为C ，A 处切线与x 方向的夹角为θ，则θ2=∠BAC ，测出透明屏幕至圆桶底部的距离H 、液面静止时高度h ，以及两光点BC 间距离d ，则h

H d

-=

θ2tan ，求出θ值。 因为 2tan dy x dx g

ωθ==，在20R x =处有

2tan θ=

因为260

n

πω=

， 则

2

22222tan 60n πθ??

==

=

?

??

2g =

(6)

或可作θtan ～2

n 曲线，求斜率k

，可得2k =

2g =三、验证抛物面焦距与转速的关系

旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律，若光线平行于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。 根据抛物线方程（1），抛物面的焦距2

2ωg f =

。

四、测量液体粘滞系数

在旋转的液体中，沿中心放入张丝悬挂的圆柱形物体，圆柱高度为L ，半径为1R ，外圆桶半径

图3 液体粘滞系数测量原理图

为2R ，如图3所示。

外圆筒以恒定的角速度0ω旋转，在转速较小的情况下，流体会很规则地一层层地转动，稳定时圆柱形物体静止角速度为零。

1、设外圆桶稳定旋转时，圆柱形物体所承受的阻力矩为M ，则

M = 圆柱侧面所受液体的阻力矩1M + 圆柱底面所受液体摩擦力矩2M （推导略）

2212

102

2

12

4R R M L R R πηω=- （7） z

R M ?=

20

422ωπη （8）

圆柱形物体所承受的液体阻力矩M

z

R R R R R L M M M ?+

-=+=240

4

22

2

2

122

210

21ωπηωπη （9）

2、 张丝扭转力矩‘M 。

悬挂圆柱形物体的张丝为钢丝，其切变模量为G ，张丝半径为R ，张丝长度为‘

L 。转动

力矩为： θπ'

4

'

2L GR M =

（10）

该式表示力矩‘M 与扭转角度θ成正比。

在液体旋转系统稳定时，液体产生的阻力矩与悬挂张丝所产生的扭转力矩平衡，使得圆柱形物体达到静止。

所以 ‘M M =

从（9）、（10）式可以解出粘度系数为：

???

?????

-+?-?=42222122212

22104)(8)(22R R R R zR L R R z L GR θωη‘ （11） 其中：

G 金属张丝的切变模量

张丝半径 张丝长度 为偏转角度

0ω 圆桶转速

z ? 圆柱底面到外圆桶底面的距离

L 圆柱高度

1R 圆柱半径， 2R 为外圆桶半径

【实验装置】

1．激光器 2.米刻度水平屏幕 3 .水平标线 4.水平

仪 5.激光器电源插孔6.调速开关 7.速度显示窗 8.圆柱形实验容器 9.水平量角器 10.米刻度垂直屏幕 11.张丝悬挂圆柱体 12.实验容器内径2/R 刻线（见底盘红线）（可自行标注）

【实验内容】

1、仪器调整

a 、水平调整

将圆形水平仪放在载物台中心，调整仪器底部支撑脚，直到水平仪上的气泡到中心位置。

b 、激光器位置调整

用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底20R

x =处的记号，R 为圆桶内径。

2、测量重力加速度g(装置见图5)

1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g 改变圆桶转速n （转/秒）（n πω2=）6次，测量液面最高与最低处的高度差，计算重力加速度g 。 2）斜率法测重力加速度

将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底20R

x =处的记号，

测出透明屏幕至圆筒底部的距离H 、液面静止时高度h 。

改变圆桶转速n （转/分）（260

n

πω=

）6次，在透明屏幕上读出入射光与反射光点BC 间距离d ，则h

H d

-=θ2ta n ，求出tan θ值。

3、验证抛物面焦距与转速的关系(装置见图6) 将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情况。改变圆桶转速n （转/分）（260

n

πω=）6次，记录焦点位置。

4、研究旋转液体表面成像规律

给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴在偏离光轴处射向旋转液体，

经液面反射后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上下移

图4

图5

图6

动屏幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。实验发现，屏幕在较低处时，入射光和反射光留下的箭头方向相同，随着屏幕逐渐上移，反射光留下的箭头越来越小直至成一光点，随后箭头反向且逐渐变大。也可以固定屏幕，改变转速n ，将会观察到类似的现象。

5、测量液体粘滞系数(装置见图7)

装好实验装置、将张丝悬挂的圆柱体垂直置于液体中心，柱体上表面有一刻度线记号，低速旋转液体，稳定后柱面上刻度线偏一角度，用激光器和量角器测出偏转角。同一转速测三次，改变转速3次。 测量：

G 金属张丝的切变模量

1、 张丝半径

2、 张丝长度

3、z ? 圆柱底面到外圆桶底面的距离

4、L 圆柱高度

5、1R 圆柱半径

6、2R 圆筒容器半

径

【数据处理】（参考数据）

1、 测量重力加速度g 方法一:

)/(9832s cm g = 杭州地区重力加速度公认值：2979.30/g cm s = 实验相对误差： %4.0=E 测量结果：)/%)(4.01(9832s cm g ±=

方法二: 屏幕高度13.0H cm =,液面高度 5.5h cm =

)/(9672s cm g = %2.1=E 测量结果：)/%)(2.11(9672s cm g ±=

图7

2、验证抛物面焦距与转速的关系

3、测量液体粘滞系数

实验所用液体为蓖麻油，已知条件：油温C

T

18

=、81

G GPa

=

实验测得：mm

R148

.0

=、mm

L66

.

146

=

‘、mm

z96

.

17

=

?、mm

L10

.

30

=、mm

R34

.

18

1

=、mm

R56

.

49

2

=

将张丝悬挂的圆柱体，沿实验容器中心置于液体中，完全浸没。张丝套入水平放置的量角器中心圆孔与量角器圆心一致，激光光线对准圆柱体上端面上的标记，读出量角器上的角度值，打开仪器电源使旋转液体，待稳定后再次将激光对准圆柱体上端面上的标记，读出量角器上的角度值，计算偏转角。

参考资料

[1] 武瑞兰，田静蓖麻油粘滞系数随温度变化的经验公式[J] 山东工业大学学报1998（28）：94-95

[2] 林佩芬周炎辉旋转圆筒法测粘滞系数的计算公式讨论[J] 工科物理1996（4）：23-25