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微积分答案

第六章不定积分习题参考答案（2012）

练习 6.1

1. 什么是函数()f x 的原函数？什么是()f x 的不定积分？它们之间有什么区别与联系？

解：若()()F x f x '=,则()F x 是()f x 的原函数，()f x 的原函数全体称为()f x 的不定积分.

区别是：)(x f 的不定积分描述了满足导数是)(x f 的所有函数，而原函数只是某一个满足导数是)(x f 的函数. 2. 填空：（1）

3x d e dx dx -=?

（ 3

x e - ）；（2）cos d x =?（ cos x C + ）；（3）dx =（ a

1 ）()d ax b + （0a ≠）；（4）1

dx x

=（ 2 ）()d x ；（5）

1dx x

=-（ -1 ）ln(1)d x -；（6）2x xe dx -=（ 21

- ）2x de -；

（7）sin 2xdx =（ 2

- ）(cos 2)d x .

3. 填括号，并计算出相应的不定积分：（1）(10)10x '=； 1010dx x C =+? （2）(2cos )2sin x x '-=； 2sin 2cos xdx x C =-+? （3）54()5d x x dx =； 455x dx x C =+?

4. 已知()f x x '=，且(1)1f =，求()f x .

解：由题意3

22()3f x xdx x c ==+?

，又由 1)1(=f ，知 13

c =，

因此 3221

()33

f x x =+.

5. 已知()f x 的一个原函数为ln x ，求()f x '. 解：由题意x

x x f 1

)(ln )(='=，所以 211()()f x x x

''==-

6. 一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23t （米/秒），问：（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360米需要多少时间？

解：由题意2()()3v t s t t '==，所以 23()3s t t dt t C ==+?，又由(0)0s =，所以 0C =，故 3()s t t = 3秒后物体离开出发点的距离是3(3)327s ==.

3()360s t t ==，33607.11t =≈

物体走完360米需要11.73603≈秒.

练习 6.2

1. 求下列不定积分：（1）211

()x dx x

x ++

?；解：211()x dx x x ++?=211

ln 2x x C x

+-+

（2）32

3sin 2)1x x dx x -+-?；

解：32

(

3sin 2)1x x dx x -+-?=34

3arcsin 3cos 2

x x x C ++

+ （3）()e x e x e e dx ++?；

解：()e

x e e dx ++?=1

e x e x e e x C e +++++ （4）2(23)x x dx -?；

解：2

(23)x

x dx -?=(4269)x

dx -?+?=

4296ln 4ln 6ln 9

x x

x C -++ （5）x x x dx ?；解：x x x dx ?=1118

()x x x dx ?=78

x dx ?=15

8815

x C +

（6）x x

dx x

；解：x x dx x

x dx ?=5445x C +

（7）42

1x dx x

++?；解：442

11211x x dx dx x x +-+=++??=2

22(1)1x dx x -++? =31

2arctan 3

x x x C -++

（8）22221

(1)

x dx x x ++?；

解：22221(1)x dx x x ++?=2222221111

arctan (1)1x x dx dx dx x C x x x x x

++=+=-++++???

（9）2cos 2

x dx ?；

解：2cos 2x dx ?=1cos 2x

dx +?

=sin 22x x C +

+ （10）2

2cos 2sin cos x

dx x x

?；解：22cos 2sin cos x dx x x

?=2222cos sin sin cos x x

dx x x -? =2211()sin cos dx x x -? =22(csc sec )x x dx -? =cot tan x x C --+

（11）2cot xdx ?.

解：2cot xdx ?=2(csc 1)x dx -?=cot x x C --+ 2. 某厂生产某种产品的边际成本25()7C x x

'=+

，已知固定成本为1000元，求总成本函数()C x .

解：由题意知25

()()(7)750C x C x dx dx x x C x

'==+

=++?? 又由固定成本为1000 知1000C = 因此总成本函数()7501000C x x x =++

练习 6.3

1. 用第一换元法求下列不定积分：（1）8(53)x dx -?；解：8(53)x dx -?=

81(53)(53)5x d x --?=9

1(53)45

x C -+ （2）221x x dx -?；解：221x x dx -?=

221

21(21)4

x d x --? =3

212(21)43

x C ?-+=231(21)6x C -+

（3）1ln x

dx x

+?；解：1ln x

dx x

=1ln (1ln )xd x ++?=32(1ln )3x C ++ （4）x e dx -?；

解：x e dx -?=()x d e --?=x e C --+ （5）csc xdx ?；

解：方法①csc xdx ?=1sin dx x ?

=2sin sin x dx x ?=21

cos sin d x x

-? =2

1cos cos 1d x x -?=111

()cos 2cos 1cos 1

d x x x --+? =1(ln cos 1ln cos 1)2x x C --++=1cos 1

2cos 1

x C

x -++（可直接用公式） =221(cos 1)ln 2cos 1x C x -+-=2

1(cos 1)ln 2sin x C x

-+-=ln cot csc x x C -+ 方法② 2

c s c c o t

c s c c s c c o t

c s c

c s c c s c c o t c s c c o t

x x x x x x d x x

d x d x

x x x x -

-=?=--???

(csc cot )

ln csc cot csc cot d x x x x C x x

-==-+-?

方法③ 1csc sin xdx dx x

=??=211

2sin cos

2tan cos 22

dx dx x x x x =?? 21

1sec 2

2tan 2

dx x =??

1tan ln tan 22tan 2x x d C x ==+?ln cot csc x x C =-+ 2

sin

2sin 1cos 22(tan csc cot )2sin cos 2sin cos 222

x x x x x x x x x x

===- （6）24sin cos x xdx ??；

解：方法①24sin cos x xdx ??222

14sin cos cos 4

x x xdx =

??? 22211cos 21

sin 2(sin 2sin 2cos 2)428x x dx x x x dx +=?

=+?? 221

(sin 2sin 2cos 2)8

xdx x xdx =+??? 211cos 41sin 2sin 28216x dx xd x -=+?? 3111

sin 4sin 2166448

x x x C =-++

方法② 242

1cos 21cos 2sin cos ()22

x x x xdx dx -+?=??? 231

(1cos 2cos 2cos 2)8x x x dx =+--? 2111cos 4(cos 22cos 2cos 2)822

x dx xd x dx x xdx +=+--????

211111

[sin 2(cos 44)cos 2sin 2]82242x x x xd x xd x =+-+-?? 211111

[sin 2sin 4(1sin 2)sin 2]82282x x x x d x =+---? 311111

sin 2sin 4(sin 2sin 2)161664163x x x x x C =+---+ 3111

sin 4sin 2166448

x x x C =-++ （7）2

x dx x +?；解：21x dx x +?=2111

x dx x -++? =1(1)1x dx dx x -++?? =21

ln 12

x x x C -+++ （8）2

dx x +?

；解：21x dx x +?=2211(1)21d x x ++?=21

ln(1)2x C ++

（9）2

dx x x ++?；解：2121dx x x ++?=2

(1)(1)d x x ++?=11

C x -++ （10）21

dx x x +-?；

解：2123dx x x +-?

11111(1)(3)4143

dx dx dx x x x x ==--+-+??? =11

x C x -++ （11）21

dx x x ++?

；

解：2125

dx x x ++?

=221

(1)(1)2d x x +++? =11

arctan 22

x C ++ （12）221

sin 3cos dx x x

；

解：221sin 3cos dx x x

=221

cos (tan 3)dx x x +?

=22sec tan 3x dx x +?=22

tan tan (3)

d x x +? =1tan arctan 33x C + （13）已知()()F u f u '=，求()(0)f ax b dx a +≠?.

解：()f ax b dx +?=

()()f ax b d ax b a ++? =1

()F ax b C a

2. 用第二换元法求下列不定积分：（1）1

dx x ++?

；

解：令2x t +=，22x t =-，2dx tdt =

1211

21112t t dx dt dt t t x +-==++++???

2()1dt dt t

-+??

=22ln 1t t C -++ =222ln(12)x x C +-+++ （2）3

11x dx x

++?

；

解：4

333441111(1)4411111u x x dx d x du u x x

=+=+=+++++???，令3t u =，3u t =，23du t dt =

3411x dx x ++?=21341t dt t +?=2311

41t dt t -++?

=31

(1)41t dt t -+

+? =23(ln |1|)42

t t t C -+++ =3342443333

(1)1ln(11)844

x x x C +-+++++ （3）23

1(1)

dx x -?

；

解：令sin x t =，cos dx tdt =

11cos cos (1)dx tdt t

x =?-?

21cos dt t =?=2

sec tdt ? =tan t C +=2

1x C x

（4）2

13dx x

；

解：令3tan x t =，2=3sec dx dt

3dx x

x +?=2223sec 3tan 33tan t dt t t

=2sec 3tan t

dt t

=22

cos 1sin 3sin 3sin t dt d t t t =??=13sin C t -+=2

33x C x

+-+ （5）2

119dx x

+?；

解：2

119dx x +?=

211331(3)

d x x +?=2

1ln 3193x x C +++ （6）22

(0)x dx a a x

>-?

；

解：令sin x a t =，=cos t dx a dt

22x dx a x

=22sin cos cos a t a tdt a t ??=22sin a tdt ? =21cos 22t a dt -?

=2sin 2()24

t t

a C -+ =22sin cos 22a a t t t C -+=222

arcsin 22

a x x a x C a --+

（7）2

114dx x x

++?. 解：2114dx x x

++?

1(2)(2)(3)

d x x ++-?

=2ln 214x x x C +++++

练习 6.4

1. 求下列不定积分：（1）ln xdx ?；

解：ln xdx ?=ln ln x x xd x -?=1

ln x x x dx x

-??=ln x x x C -+ （2）2sin x xdx ?；

解：2sin x xdx ?2cos x d x =-?22cos cos x x xdx =-+?

=2cos 2cos x x x xdx -+?=2cos 2sin x x xd x -+?

=2cos 2(sin sin )x x x x xdx -+-?

=2cos 2sin 2cos x x x x x C -+++

（3）3cos sin x x

dx x

；解：方法① 3cos sin x x dx x ?=3cos sin x

x dx x ??=21(csc )2x x dx '-?

=21csc 2xd x -?=221

csc csc 22x x xdx -+? =21

csc cot 22

x x x C --+ 方法② 3cos sin x x

dx x

?=3cos sin x x dx x ??= 21(cot )2x x dx '-?

22211

=cot cot cot 222x xd x x xdx -=-+??

221

cot (csc 1)22x x x dx =-+-? 21cot cot 222

x x

x x C =---+

（4）2

(1)x dx x +?

；解：2222221211

(1)2(1)21x x dx x dx xd x x x

=?=-+++??? =22

111

2121x dx x x -?+++? =21

arctan 2(1)2

x x C x -

+++

（5）3csc xdx ?；

解：3csc xdx ?2csc csc csc cot x xdx xd x =?=-??

=csc cot cot csc x x xd x -+? =2csc cot csc cot x x x xdx --?

=2csc cot csc (csc 1)x x x x dx ---? =3csc cot (csc csc )x x x x dx ---? =3csc cot csc csc x x xdx xdx --+??

=3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x -?-+-?

移项得3csc xdx ?=1(csc cot ln csc cot )2

x x x x C -?+-+ （6）22

x dx a x

，（0a >）

；解：方法①令tan x a t =，2sec dx a tdt =,22sec a x a t +=

x dx a x +?

=222tan sec sec a t

a tdt a t ?22tan sec a t tdt =? 2tan sec a td t =?223(tan sec sec tan )(tan sec sec )a t t td t a t t tdt =-=-??

1[sec tan ln sec tan ]2

a t t t t C =-++ (由P32例6-57得) 222221(ln )2a a x x a x x

C a a a a

++=-++ 222

22ln 22

x a a x x a x C =+-+++ 方法②令tan x a t =，2sec dx a tdt =,22sec a x a t +=

x dx a x +?

=222tan sec sec a t

a tdt a t ?22tan sec a t tdt =? =222

233sin 1cos cos cos t t a dt a dt t t -=??=23(sec sec )a t t dt -?

=2211

(sec tan ln sec tan )ln sec tan 2

a t t t t a t t C ?++-++

=22

1sec tan ln sec tan 22a a t t t t C -++ =222

221ln 22

a x x a x x a C +-+++ 方法③222222222

x dx xd a x x a x a x dx a x =+=+-++?

tan 2

223

sec sec sec x a t

a x dx a t a tdt a tdt =+?==???设而

1(sec tan ln sec tan )2

a t t t t C =+++

2222211ln )22a a x x

a x x C a a

+=+?+++ 222

22ln 22

x a a x x a x C =+++++ 22

22ln 22

x a x a x a x x a x C =+-+-+++原式

222

22ln 22

x a a x x a x C =+-+++

（7）arcsin xdx ?；

解：arcsin xdx ?=arcsin arcsin x x xd x -? =2

arcsin 1x x x dx x --?=2arcsin 1x x x C +-+

（8）cos x e xdx ?；

解：cos x e xdx ?=cos cos cos x x x xde e x e d x =-??

=cos (sin )x x e x e x dx --?=cos sin cos x x x e x e x e xdx +-? 移项得cos x e xdx ?=1

(cos sin )2

x e x x C ++ （9）cos xdx ?；

解：令t x =，2x t =

cos xdx ?=2

cos 2cos tdt t tdt =?

?=2sin td t ? =2sin 2sin t t tdt -?=2sin 2cos t t t C ++ =2sin 2cos x x x C ++

（10）arctan x

e dx e ?. 解：方法①arctan x x e dx e

?=arctan x x

e de --? =arctan arctan x

e e e d e ---+?=2arctan 1x

x x x

e e e e

dx e ---++? =21arctan 1x

x e e dx e --++?=22arctan 1x x x

e e e dx e

----++? =2211arctan (1)21x

x e e d e e -----++?=2arctan 1ln(1)2

x x x

e e C e ---++ =2arctan 1ln(1)2

x x

e e x C e --+++ 方法②2arctan arctan arctan 1ln arctan ()x

x e u x e u u dx d u du ud e u u u

====-????设 222222

211111

arctan arctan arctan 111arctan (1)

1111arctan ()arctan ln ln(1)1211

arctan ln(1)2

x x x u d u u du

u u u u u u u u du

u u u u u du u u u C u u u u e x e C

e =-+=-+++-=-++=-+-=-+-+++=-+-++????

2. 设()f x 的一个原函数是sin x

x ，求()xf x dx '?. 解：由已知得

sin ()x f x dx C x =+?

，2

sin cos sin ()()x x x x

f x x x -'==，

所以()xf x dx '?=()xdf x ?=()()xf x f x dx -?

2cos sin sin x x x x x

C x x

-=-+ =

cos 2sin x x x

C x -+

练习 6.5

1. 求下列不定积分: （1）2

x dx x x ---?；解：25367x dx x x ---?

=53

(7)(1)

x dx x x --+?=41()71dx x x +-+? =4ln 7ln 1x x C -+++

（2）32

x x dx x +++?；解：3211x x dx x +++?=22(1)1

x x dx x +++?=21()1x dx x ++?=21arctan 2x x C ++ （3）3

4dx x x

+?；解：344dx x x +?

=24

(4)

dx x x +?=21()4x dx x x -+? =2

2111(4)24

dx d x x x -++??=21ln ln(4)2x x C -++ （4）25

(2)(1)

x dx x x x ++++?；

解：设

5(2)(1)21

x A Bx C

x x x x x x ++=+++++++ 即222

5()(2)2(2)(1)(2)(1)

x A B x A B C x A C

x x x x x x +++++++=++++++ 由同次幂系数相等得

02125A B A B C A C +=??

++=??+=?

解得1,1,2A B C ==-=

所以

(2)(1)x x x x ++++=21221x x x x -+++++=21221

x x x x --+++ 25

(2)(1)x dx x x x ++++?=212()21x dx x x x --+++?

=215

(21)12221x dx dx x x x +-

-+++?? =2211215122121

x dx dx dx x x x x x +-++++++??? =2222

11151

(1)()2212

213

()()22

dx d x x d x x x x x -+++++++++?

=21

521ln 2ln(1)arctan 233

x x x x C ++-++++ （5）22

(2410)

x dx x x +-+?

；解：2253(2410)x dx x x +-+?=221534(25)x dx x x +-+?=2215(1)8

4(25)

x dx x x -+-+? =

22522128(25)(25)x dx dx x x x x -+-+-+?? =222

2225(25)(1)

28(25)[(1)2]d x x d x x x x -+-+-+-+?? =12225111

2[]82522(1)4x I x x x --+?+-+?-+ (P33递推21,I I 公式)

=22511111

(arctan )82542522

x x C x x x x ---

+++-+-+

22711

arctan 8(25)82

x x C x x --++-+

（6）322

(2)x x dx x +++?；解：32222(2)x x dx x +++?=2222

(2)(2)2(2)

x x x x

dx x +++-+?

=22221222(2)

x x

dx dx dx x x x +-+++?

?? =22

11(2)ln(2)arctan 2(2)22

x d x x x +++-+? =22111ln(2)arctan 22

22x x C x ++

+++ （7）461

x dx x ++?；

解：4611x dx x ++?=422231()1x x x dx x -+++?=422

2421(1)(1)

x x x dx x x x -+++-+?

=226111x dx dx x x +++??=3232

111131()

dx dx x x +++?? =31arctan arctan 3

x x C ++ 2. 求下列不定积分：（1）tan 1cos x

dx x

；解：令tan 2x u =，则 22sin 1u x u =+，2

1cos 1u x u

-=+， 22tan 1u x u =

-，

1dx du u =+ tan 1cos x dx x +?=22222211111u u du u u u --++

+?=221u du u -? 221(1)1d u u =---?2ln 1u C =--+2ln 1tan 2

x C =--+ （2）1

sin cos dx x x

；

解：方法①1

sin cos dx x x

=22

2sin cos cos sin 2222

dx x x x x -+?

cos 2

2tan

1tan 22x

dx x x =-+?

2tan 2(tan 1)22

x d x =+-?

2212(tan 1)2(tan 1)(2)2x

d x =++-? （由公式可得）

=tan 1212ln 2tan 122

C x +-+++

或：22

12tan 2(tan 1)(2)2

d x +-?12tan 2(tan 12)(tan 12)22x d x x =+-++? 111()tan 22tan 12tan 12

22x

d x x =-+-++? =tan 1212ln 2tan 122

C x +-+++

（3）41

sin dx x ?．

解：方法①41sin dx x ?= 222422

sin cos 1cot ()sin sin sin x x x

dx dx x x x

+=+?? 222(csc cot csc )x x x dx =+?? =31cot cot 3

x x C --+

方法②42

41csc csc cot sin dx dx xd x x

==-?

?? 231

(1cot )cot cot cot 3

x d x x x C =-+=--+?

3. 求下列不定积分：（1）2

ln x dx x x x

++?

；解：2

11111

()(1)ln ln ln x x dx dx dx x x x x x x x x x

++=?=++++??? 1

(ln )ln d x x x x

=++?

ln ln x x C =++

（2）ln(1)x dx +?；

解：ln(1)ln(1)(1)x dx x d x +=+-?? (1)ln(1)(1)ln(1)x x x d x =-+--+? (1)(1)

(1)ln(1)1x x x x d x x

+-=-+-+?

(1)ln(1)2

x x x x C =-+-++ （3）2

(1)arcsin(1)

2x x dx x x

---?．

解：2

2(1)arcsin(1)

1arcsin(1)(2)222x x x dx d x x x x x x

---=

---?

? 2arcsin(1)2x d x x =--?

222arcsin(1)2[arcsin(1)]x x x x x d x =-----?

=222

12arcsin(1)21(1)

x x x x x dx x -----?--?

=22arcsin(1)x x x dx --+? =22arcsin(1)x x x x C --++

习题六

1．选择题：

(1) 以下各题计算正确的是（Ｃ）；

Ａ．?+=C x xdx 2 B ．?+-=--C x dx x 122 Ｃ．221

x x e dx e C =+? D ．?+=C x

xdx 1ln 分析：因为 221()2

x x e e '=，所以选C (2) 下列等式成立的是（Ａ）；Ａ．

?=)()(x f dx x f dx

B ．()()f x dx f x '=?

Ｃ．?+=dx C x f dx x f d ])([)( D ．C dx x f x df +=?)()( 分析：

()[()]()()d

f x dx F x C F x f x dx

''=+==?,所以选A 或：由不定积分性质知选A

(3)

arctan d

xdx dx =?

（Ｃ）；Ａ．2

+ B ．C x ++211 Ｃ．x arctan D ．C x +arctan 分析：理由同（2）选C (4)

?dx x f )(是)(x f 的（ D ）

；Ａ．一个原函数 B ．任意一个原函数Ｃ．某一个原函数 D ．全体原函数分析：由不定积分定义知选D

(5) 函数)(2)(22x x e e x f -+=的一个原函数是（ B ）；Ａ．x x e e 22-+ B ．x x e e 22-- Ｃ．x x e e -+ D ．x x e e -- 分析：因为222222()2(2)2()x x x x x x e e e e e e ---'-=-?-=+，所以选B 或：222222()2()2(2)x x x x x x f x dx e e dx e d x e d x e e C ---=+=--=-+???? 所以x x e e 22--是()f x 的一个原函数，故选B

(6) 已知()()f x g x ''=，则下列等式中错误的是（Ｃ）；Ａ．()()f x dx g x dx ''=?? Ｂ．C x g x df +=?)()( Ｃ．(())(())f x dx g x dx ''=?? Ｄ．C x g x f +=)()( 分析：()()f x g x ''=，说明(),()f x g x 是同一函数的两个原函数，

因此它们之间相差一个常数

而(())()(())()f x dx f x g x dx g x ''=≠=??，故选C (7) 设ln y x '=，且1=x 时1-=y ，则y =（ B ）；Ａ．C x x +-)1(ln B ．)1(ln -x x Ｃ．ln x x C -+ D ．x x -ln

分析：1

ln ln ln ln ln y xdx x x xd x x x x dx x x x C x

==-=-?=-+???，

1=x 时1-=y 代入上式得0C =,故 y =)1(ln -x x ，所以选

或：1()[(ln 1)]ln 1ln f x x x C x x x x

''=-+=-+?=，()(ln 1)y f x x x C ==-+ 由(1)1,f =-得0C =，所以选B (8)

1dx x

=+?

（ B ）；

Ａ．C x +arctan B ．C x x +++)1ln(2 Ｃ．221x C ++ D ．C x ++)1ln(2

12 分析：由增加的公式知选B

(9) 若x e x f -=)(，则(ln )

f x dx x

'=?

（Ａ）；Ａ．C x

B ．

C x +-1

Ｃ．C x +ln D ．C x +-ln 分析：ln (ln )1

(),(ln )ln x x f x f x e dx f x d x e C C x x

--''===+=+?

?故选A 或：ln 1(),(ln )x x

f x e f x e x --''=-=-=-，2(ln )11f x dx dx C x x x

'=-=+?? (10) 若?+=C x g dx x f )()(，则()x x e f e dx --=?（ D ）；Ａ．C e g x +)( B ．C e g x +-)( Ｃ．C e g x +-)( D ．C e g x +--)( 分析：()()()x x x x x e f e dx f e de g e C -----=-=-+??，故选D

(11) 2

12dx x

=-?

（Ｃ）；

Ａ．C x +arcsin 2

1 B ．C x +2

arcsin

Ｃ．

arcsin 22

x C + D ．C x +2arcsin 2

分析：2

2121

arcsin 222121(2)

dx d x x C x x =

=+--?

?，故选C (12) 设x e -是)(x f 的一个原函数，则()xf x dx =?（Ａ）；Ａ．C x e x ++-)1( B ．C x e x ++--)1( Ｃ．C x e x +--)1( D ．C x e x +---)1( 分析：()()x x x x x x xf x dx x e dx xde xe e dx xe e C ------'===-=++???? 故选A (13) 函数2

)(x

x f -=的一个原函数是（Ｃ）；Ａ．x

+-11ln 2

1 B ．)1)(1(ln 21x x +-

Ｃ．x

-+11ln

D ．x arcsin 分析：由增加的公式知选C

(14) 若()()f x g x ''=，则有（ D ）；

Ａ．()()d f x dx d g x dx =?? B ．)()(x g x f = Ｃ．C x g x f =+)()( D ．C x g x f =-)()( 分析：因为()()f x g x ''=，即(),()f x g x 是同一函数的原函数，由任意两个原函数之间只相差一个常数知选D

(15) 2

(1)

x xe dx x =+?（ B ）；

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-

电大---微积分初步答案完整版

微积分初步形成性考核作业（一）解答 ————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是．解：0 20)2ln({ >-≠-x x ， 2 3{ >≠x x 所以函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是),3()3,2(+∞? 2．函数x x f -= 51)(的定义域是．解：05>-x ，5+≠+0 4020)2ln(2x x x ，??? ? ?≤≤-->-≠2221 x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-?-- 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ．解：72)1(2 +-=-x x x f 6)1(6122 2 +-=++-=x x x 所以=)(x f 62 +x 5．函数???>≤+=0 e 2 )(2x x x x f x ，则=)0(f ．解：=)0(f 2202 =+ 6．函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ．解：x x x f 2)1(2-=-1)1(1122 2+-=-+-=x x x ，=)(x f 12 +x 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是．解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义所以函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是1-=x 8．=∞ →x x x 1 sin lim ．解：=∞ →x x x 1 sin lim 11 1sin lim =∞→x x x 9．若 2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

《微积分初步》形成性考核作业答案

《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案 ——函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．() () 3,+∞2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <； 3．()(]2,11,2--?-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -； 7.1x =-； 8.1； 9.2； 10. 32 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1、1/4; 2、7/2; 3、3/2; 4、2/3; 5、2； 6、-1/2; 7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案 ——导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分） 1．12 ； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4 1 ； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -； 8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >. 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1．解：()111 22 1 221x x x y xe x e x e x ??'=+-=- ??? . 2．解：24cos 43sin cos y x x x '=-. 3．解：21y x '=- . 4．解：sin tan cos x y x x '= =. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得 ()()220 2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy x y dy dx x y +--=-=--∴= -

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.

微积分入门

序中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。 17世纪，许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类认识微积分的水平在不断深化。 ※ 微积分学(Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头)是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。 ※ 在高二上学期的数学学习过程中，我们认识了导数和定积分，并开始了对其应用的理解和练习。其实，早在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型——微元法。同当年的科学家一样，我们也因物理上的应用需要，开始了对微积分学的认识之旅。借着这次研究性学习的契机，我们就了解一下微积分学的发展历史，认识数学研究对社会发展的重要意义，本着“以史为镜”的态度了解其中波折而有趣的发展历程；并由此拓展自己的知识面，

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+

2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）

电大《微积分初步》复习题及答案解析

微积分初步复习试题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y ． ⒋ =+?e 12 d )1ln(d d x x x ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）． A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0 ,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．函数的极值点一定发生在其驻点上. C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1 d(d ln x x x = C. )d(d x x a x a = D. )d(2d 1 x x x = ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限238 6lim 222+-+-→x x x x x ．原式21 4 lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)

物理学力学数学微积分初步习题解答

1．求下列函数的导数 ⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/ 1-++=x x x y ⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸x e y sin = ⑹x e y x 100+=- x x x e e y x e y x x x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(') /()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 2 2 2 /122 12 /122 2 2 ⑹ ⑸⑷ ⑶⑵解：⑴ 2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数： 4 2643643647242102106)102102(102102)1051010(2 2--------?-?=?-?= ?-?=?+-= x x x x x x x dx d dx h d dx d dx dh 令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10). 3．求下列不定积分 ?? ++-dx x dx x x x )2()13(2 3 ⑵ ⑴ ?????? ????-+-++--+dx xdx dx xe xdx x dx e dx b ax dx dx x x dx e x x x b ax dx x x x x x x x ln 2 22113 ) 12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(22⑽⑼⑻⑺⑹⑸ ⑷⑶ 解： ????????? ? ??????????????????????+==++= += +-=--=+==++=++= +-=--=++- =++=++-=-==+--=-=-++ +=-+=- +++= +=+++-=+-=+-----+---++-++-c x x xd dx c x x dx x xdx c e x d e dx xe c x x xd xdx x c b ax b ax d b ax c e x d e dx e c b ax b ax d b ax dx b ax c arctgx x dx dx dx c x x xdx xdx dx x x c e x dx x dx e dx e c x dx x dx dx x c x x x dx xdx dx x dx x x x x x x x a a b ax dx x x x a a x dx x x x x x x x x dx x x x x x x 2 2 1ln 41212 12212213 12222 /11 2212212111111122/3133 312 ln 22x 22 34133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(2 2 2 2 22 22 ⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴ 4. 求下列定积分

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为（A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为（A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012 学年第一学期《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120 分钟）考场登记表序号题号一二三四五总分得分阅卷人一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。（A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组（）。 βββ线性表示，则下列说法正确的是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法正确的是（A）r≤s；（B）r≥s；（C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。（A）λE?A=λE?B；（B）A与B有相同的特征值和特征向量；（C）A与B都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。（A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α；（C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。

微积分试卷及答案

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）

1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分）八、设，求.（本题6分）徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B)

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