文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题

考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动,动中有定,并且常与轨迹问题,曲线系问题等相结合,深入考查直线的圆,圆锥曲线,直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合,分类讨论,化归与转化,函数和方程等数学思想方法。 一、

定点问题

解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2

=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=

4

π

解析几何中的定点和定值问题

时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标。

例2.已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>

,以原点为圆心,

解析几何中的定点和定值问题

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切.⑴求椭圆C 的方程;

解析几何中的定点和定值问题

⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PN 交椭圆C 于另一点E ,求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下,证明直线ME 与x 轴相交于定点.

【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中,点M

到点()

1,0F

,)

2

,0F 的距离之和是4,点M 的轨

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q .

⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ?=

时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点.

【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F 。设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。

解析几何中的定点和定值问题

(1)设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹; (2)设3

1

,221=

=x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。

【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2

解析几何中的定点和定值问题

,短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l :()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、(M N 、不是椭圆的左、右顶点),且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A .求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.

例3、已知椭圆的焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线24x y =

的焦点,离心率e =右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ,交椭圆于A 、B 两点。(I )求椭圆的标准方程;

解析几何中的定点和定值问题

(Ⅱ)设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点,且()MA MB AB +⊥

,求m 的取值范围; (Ⅲ)设点C 是点A 关于x 轴的对称点,在x 轴上是否存在一个定点N ,使得C 、B 、N

三点共线?若存在,求出定点N 的坐标,若不存在,请说明理由。

二、

定值问题

在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果,;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的。同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现,特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,)1,3(-=+a OB OA 与共线。(1)求椭圆的离心率;

(2)设M 为椭圆上任意一点,且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ,证明2

2μλ+为定值。

例5、已知,椭圆C 过点A 3

(1,)2

,两个焦点为(-1,0),(1,0)。(1)求椭圆C 的方程;

(2)E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

将第二问的结论进行如下推广:

结论 1.过椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于

E 、

F 两点,则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y (常数)。

结论 2.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆

于E 、F 两点,则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y -(常数)。

结论3.过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点,则直线EF 的斜率为定值0

p

y -

(常数)。

例6、已知椭圆的中心在原点,焦点F 在y 轴的非负半轴上,点F 到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ;

(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线3

2

y =

的对称点,动点M 满足MF e MF ||='||,问是否存在一个定点A ,使M 到点A 的距离为定值?若存在,求出点A 的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

例7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,P(2,0)为定点. (Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点,求抛物线C 的方程;

(Ⅱ)若动圆M 过点P ,且圆心M 在抛物线C 上运动,点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点,试推断是否存在一条抛物线C ,使|AB|为定值?若存在,求这个定值;若不存在,说明理由.

例8、已知椭圆E 的中心在原点,焦点在x

1

,离心率为

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

e =E 的方程;(Ⅱ)过点()1,0作直线 交E 于P 、Q 两点,试问:在x 轴上是否存在一个定点M ,MP MQ ?

为定值?若存在,求出这个定点M 的坐标;若不存在,请说明理由﹒

三、 定直线问题

例9、设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

过点M

,且焦点为1(F (Ⅰ)求椭圆

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

C 的方程; (Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足

AP QB AQ PB =

,证明:点Q 总在某定直线上

例10、已知椭圆C

的离心率e =

解析几何中的定点和定值问题

()1A 2,0-,()2A 2,0。(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点,直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问:当m 变化时,点S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。

四、 其它定值问题

例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>

右准线方程为x =求双曲线C

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

的方程;(Ⅱ)设直线l 是圆2

2

:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线,l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ,证明AOB ∠的大小为定值.

例12、己知椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0),过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、

Q 1Q 2,求证:以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。

探索定圆:取椭圆长轴和短轴为两直径,则22B A

解析几何中的定点和定值问题

1=+b

y

a x ,原点O 到直线22B A 的距离为2

2

b

a ab

r +=,

则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为2

22

22

2

b a b a y x +=+。

例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2≠=a a xy 上的一个定点,过点P 作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点(异于P 点),求证:直线P 1P 2的方向不变。

探索定值:取P ),(02

0x a x ,过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点,则这一条直线

解析几何中的定点和定值问题

与曲线的另一个交点),(0201x a x P --,其斜率20

2

1

x a k PP = ∴2202

a x

k PP -= PP 2的方程为)(022

00x x a x y y --=-

把x a y 2

=

代入解得),(230304

2a

x

x a P 22

021a x k P P =∴(定值) 证明:设PP 1的斜率为k ,则PP 2的斜率为 -

k

1

, ∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=- PP 2的方程为)(1

00x x k

y y --

=-,与抛物2a xy = 联立解得),(0201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ,从而22

20221a

x y a k P P ==(定值)

EX :过抛物线y 2

=2px (P>0)上一定点(x 0,y 0)作两条直线分别交抛物线于A ,B 两点,满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补,则AB 的斜率为定值。 推广:抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。

五、练习

1、椭圆中心在原点,焦点在x

轴上,离心率为

2

解析几何中的定点和定值问题

,三角形ABM 的三个顶点都在椭圆上,其中M 点为(1,1),且直线MA 、MB 的斜率之和为0。(1)求椭圆的方程。(2)求证:直线AB 的斜率是

定值。分析:(1)x 2+2y 2

=3 (2)12

2、已知定点)01(,-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ,两点.(Ⅰ)若线段AB

中点的横坐标是1

2

-

,求直线AB 的方程; (Ⅱ)在x 轴上是否存在点M ,使?为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 分析:M (73-,0) 4

9

3、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx (m>0)于A 、B 两点,若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ,若其中Q 点坐标为(-4,0),原点O 为PQ 中点。(1)证明:A 、P 、B 三点线;(2)当m=2时,是否存在垂直于x 轴的直线l ‘,使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值?如果存在求出l ’的方程。 分析:设点AB 的坐标(2)l :x=3.

4、 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点为A 、B ,且四边形F1AF2B

是边长为2的正方形。(1)求椭圆的方程。(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M 满足

MD ⊥CD,连结CM 交椭圆于点P ,证明:OM OP

为值。(3)在(2)的条件下,试问x 轴上是否存在异

于C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆过直线DP ,MQ 的交点,若存在,求出点Q 的坐标。

分析:(1)22

142

x y += (2)由O 、M 、P 三点共线,得42

p m

p y y x =

+,所以OM OP =4 (3)设Q 点(a ,0),由0QM DP =

,得a=0.

5、设P 为双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=>上任意一点,F1,F2是双曲线的左右焦点,若12PF PF 的最小值是-1

,双曲线的离心率是

3

解析几何中的定点和定值问题

。(1)求双曲线C 的方程;(2)过双曲线C 的右焦点F2的直线交双曲线于A 、B 两点,过作右准线的垂线,垂足为C ,求证:直线AC 恒过定点。

分析:(1)2

213

x y -= (2)先猜再证:(74,0)

12

17

14

4

y y x =

-

-换掉x1代入韦达定理得证。方法二:设AB :x=my+2代入方程得:(m2

-3)y2

+4my+1=0

故1221224313m y y m y y m -?

+=??-??=

?-?

AC :12213

()322y y y x y x -=

-+-=1212

122113()21212

y y y y my y y x my my -----++又2my 1y 2=-12(y1+y2)然后代入韦达定理得。

6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt △ABC 的斜边BC 恰在x 轴上,点B(-2,0),C (2,0),且AD 为BC 边上的高。

(I)求AD 中点G 的轨迹方程; (II)若过点(1,0)的直线l 与(I)中G 的轨迹交于两不同点P 、Q ,试问在x

轴上是否存在定点E(m,0),使PE ·QE

恒为定值λ?若存在,求出点E 的坐标及实数λ的值;若不存在,

请说明理由。

分析:(1)

2

21(0)4

x y y +=≠ (2)m=178 定值为3364 不容易先猜出,只能是化简求出。

7、已知直线l 过椭圆E :2222x y +=的右焦点F,且与E 相交于P ,Q 两点。

(1) 设1()2

OR OP OQ =+

,求点R 的轨迹方程。

(2) 若直线l 的倾斜角为60?,求

11||||PF QF +的值。(当l 的倾斜角不定时,可证11

||||

PF QF +是定值。)

分析:2

2

20x y x +-= (2)可先猜再证

:

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题

考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动,动中有定,并且常与轨迹问题,曲线系问题等相结合,深入考查直线的圆,圆锥曲线,直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合,分类讨论,化归与转化,函数和方程等数学思想方法。 四、

定点问题

解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2

=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=

4

π

解析几何中的定点和定值问题

时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标。 解析: 设A (

121

,2y p y ),B (222

,2y p

y

,则 2

1

2tan ,

2tan y p

y p

=

=βα,代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1) 又设直线AB 的方程为b kx y +=,则

022222

=+-????=+=pb py ky px

y b

kx y ∴k

p

y y k

pb

y y 2,22121=

+=

,代入(1)式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p

说明:本题在特殊条件下很难探索出定点,因此要从已知出发,把所求的定点问题转化为求直线AB ,再从AB 直线系中看出定点。

例2.【2010·东城一模】已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切. ⑴求椭圆C 的方程;

⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PN 交椭圆C 于另一点E ,求直线PN 的斜率的取值范围;

⑶在⑵的条件下,证明直线ME 与x 轴相交于定点.

解析:

⑴由题意知c e a ==,所以2222

2234c a b e a a -===

,即224a b =

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

,又因为1b ==,所以2

2

4,1a b ==,故椭圆C 的方程为C :2

214

x y +=.

⑵由题意知直线PN 的斜率存在,设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22

(4)14

y k x x y =-???+=??消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<, 又0k =不合题意,

所以直线PN

的斜率的取值范围是0k <<

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

或0k <<. ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -,直线ME 的方程为21

2221

()y y y y x x x x +-=--, 令0y =,得221221

()

y x x x x y y -=-

+,将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-. ②

由得①2212122232644

,4141

k k x x x x k k -+==

++代入②整理,得1x =, 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0).

【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中,点M

到点()

1,0F

,)

2

,0F 的距离之和是4,点M 的轨

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程;

⑵当0AP AQ ?=

时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点.

解:⑴∵点M

到(

),0

)

,0的距离之和是4,∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

轴上焦中为的椭圆,其方程为2

214

x y +=.

解析几何中的定点和定值问题

⑵将y kx b =+,代入曲线C

解析几何中的定点和定值问题

的方程,整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ,所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ,()22,Q x y

,则12x x +=,122

4

14x x k

=+ ②

解析几何中的定点和定值问题

且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ?=++=+++,显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -,所

以()112,AP x y =+ ,()222,AQ x y =+

.由0AP AQ ?= ,得1212(2)(2)0x x y y +++=.

将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=.所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或6

5b k =.经检验,

都符合条件①,当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点.即直线l 经过点A ,与题意不符.当65b k =时,直线l 的方程为6556y kx k k x ?

?=+=+ ??

?.

显然,此时直线l 经过定点6,05??

- ???点,且不过点A .综上,k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点

6,05??

- ???

点. 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F 。设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。

解析几何中的定点和定值问题

(1)设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹; (2)设3

1

,221=

=x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。

【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

解:(1)设点P (x ,y ),则:F (2,0)、B (3,0)、A (-3,0)。 由42

2

=-PB PF ,得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得9

2

x =。 故所求点P 的轨迹为直线92

x =。 (2)将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程,以及0,021<>y y 得:M (2,53)、N (13,209

-) 直线MTA 方程为:03

52303

y x -+=

+-,即113y x =+, 直线NTB 方程为:03

2010393

y x --=

---,即5562y x =-。

联立方程组,解得:7103x y =??

解析几何中的定点和定值问题

?=??

所以点T 的坐标为10(7,

)3

。 (3)点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为:

03093y x m -+=-+,即(3)12m

y x =+, 直线NTB 方程为:03093y x m --=--,即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆1592

2=+y x 联立方程组,同时考虑到123,3x x ≠-≠, 解得:2223(80)40(,)8080m m M m m -++、

222

3(20)20(,)2020m m

N m m --++。 (方法一)当12x x ≠时,直线MN 方程为:222

22

2222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =,解得:1x =。此时必过点D (1,0);

当12x x =时,直线MN 方程为:1x =,与x 轴交点为D (1,0)。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1,0)。

(方法二)若12x x =,则由2222

24033608020m m m m

--=++及0m >

解析几何中的定点和定值问题

,得m = 此时直线MN 的方程为1x =,过点D (1,0)。

若12x x ≠

,则m ≠MD 的斜率222

解析几何中的定点和定值问题

2

4010802403401

80MD

m

m m k m m m +==

---+, 直线ND 的斜率222

2

201020360401

20ND

m

m m k m m

m -+==---+,得MD ND k k =,所以直线MN 过D 点。 因此,直线MN 必过x 轴上的点(1,0)。

【针对性练习3】(2011年石景山期末理18)已知椭圆C 中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,短轴长

解析几何中的定点和定值问题

为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l :()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、(M N 、不是椭圆的左、右顶点),且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A .求证:直线l

过定点,并

求出定点的坐标.

解: (Ⅰ)设椭圆的长半轴为a ,短半轴长为b ,半焦距为c ,则

22222,

解析几何中的定点和定值问题

2,

c b a b c =??=??=+?

解得

2,

a b =???

解析几何中的定点和定值问题

=?? ∴ 椭圆C 的标准方程为 22

143

x y +=. …… 4分

(Ⅱ)由方程组22

143x y y kx m

??

+=??=+? 消去y ,得

()

222

3484120k x kmx m +++-=. …… 6分

由题意△()(

)()2

2

2

84344120km k

m

=-+->,

整理得:2

2

340k m +-> ① ………7分 设()()1122,,M x y N x y 、,则

122834km x x k +=-+, 2122

412

34m x x k

-=+ . ……… 8分 由已知,AM AN ⊥, 且椭圆的右顶点为A (2,0), ∴

()()1212220x x y y --+=.

…… 10分

即 ()

()()22

12121240k x x km x x m ++-+++=,

也即 ()()22

222

412812403434m km

k km m k k

--+?+-?++=++, 整理得22

71640m mk k ++=. 解得2m k =- 或 27

k

m =-

,均满足① ……… 11分 当2m k =-时,直线l 的方程为 2y kx k =-,过定点(2,0),不符合题意舍去;

当27k m =-

时,直线l 的方程为 27y k x ?

?=- ??

?,过定点2(,0)7, 故直线l 过定点,且定点的坐标为2

(,0)7

. ………… 13分

例3、已知椭圆的焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y =

的焦点,离心率e =

解析几何中的定点和定值问题

椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ,交椭圆于A 、B 两点。

(I )求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点,且()MA MB AB +⊥

,求m 的取值范围; (Ⅲ)设点C 是点A 关于x 轴的对称点,在x 轴上是否存在一个定点N ,使得C 、B 、N

三点共线?若存在,求出定点N 的坐标,若不存在,请说明理由。

解法一: (I )设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,由题意知1b =

2

解析几何中的定点和定值问题

5a =?=故椭圆方程为2215x y += (Ⅱ)由(I )得(2,0)F ,所以02m ≤≤,设l 的方程为(2)y k x =-(0k ≠)

解析几何中的定点和定值问题

代入2

215

x y +=,得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,),A x y B x y 则22121222

20205

,5151

k k x x x x k k -+==++,12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=- 112212122121(,)(,)(2,),(,)∴+=-+-=+-+=--

MA MB x m y x m y x x m y y AB x x y y 12212112(),()0,(2)()()()0+⊥∴+?=∴+--+-+=

MA MB AB MA MB AB x x m x x y y y y

22

22220420,(85)05151

∴--=∴--=++k k m m k m k k 由280,0855m k m m =

>∴<<-, ∴当8

05

m <<时,有()MA MB AB +⊥ 成立。

(Ⅲ)在x 轴上存在定点5

(,0)2

N ,使得C 、B 、N 三点共线。依题意知11(,)C x y -,直线BC 的方

程为211121()y y y y x x x x ++=--, 令0y =,则12112

21

12121

()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++ l 的方程为(2),y k x A =-、B 在直线l 上,

1221121211221212(1)(1)22()

(2),(2)()4()4-+--+∴=-=-∴==

+-+-k x x k x x kx x k x x y k x y k x x k x x k k x x k

222

2

22205202255151202

451

k k k k k k k k k k -?-?++=

=-+∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ,使得C B N 三点共线。 解法二:(Ⅱ)由(I )得(2,0)F ,所以02m ≤≤。设l 的方程为(2)(0),y k x k =-≠

代入2

215

x y +=,得2222(51)202050k x k k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x y 则22121222

20205

,5151

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

k k x x x x k k -+==++ 1212121224(4),()51k y y k x x y y k x x k ∴+=+-=--=-+

1212121222212(),||||,(2)()()()0,

(1)()240,(85)0

+⊥∴==∴+--++-=++--=∴--=

MA MB AB MA MB x x m x x y y y y k x x m k m k m

22

22

888)0,05155(51

k m k k k k ∴==-≠∴>++ 805m ∴<< ∴当8

05

m <<时,有()MA MB AB +⊥ 成立。

(Ⅲ)在x 轴上存在定点5

(,0)2

N ,使得C 、B 、N 三点共线。

设存在(,0),N t 使得C 、B 、N 三点共线,则//CB CN

122111(,),(,)

C B x x y y C N t x y =-+=-

, 211112()()()0x x y t x y y ∴---+= 即211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=12122(2)()40x x t x x t ∴-+++=

22

22205202(2)405151

k k t t k k -∴-++=++,52t ∴=∴

存在5(,0)2N ,使得C B N 三点共线。 五、

定值问题

在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果,;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的。同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现,特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,)1,3(-=+与共线。 (1)求椭圆的离心率;

(2)设M 为椭圆上任意一点,且),(R ∈+=μλμλ,证明2

2

μλ+为定值。

解析:(1)设椭圆方程为122

22=+b y a x (a >b >0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ,AB 的中点为N(x 0,y 0),

∴???????=+=+112

222222

2

1221b y a x b y a x ,两式相减及11212=--x x y y 得到0220x a b y -=,

所以直线ON 的方向向量为),1(22a b -=,∵ //,∴2231a b =,即2

23b a =,从而得3

6=e

(2)探索定值 因为M 是椭圆上任意一点,若M 与A 重合,则=,此时0,

1==μλ,

∴122=+μλ

证明 ∵ 223b a =,∴椭圆方程为2

2233b y x =+,又直线方程为c x y -=

∴ ????=+-=2

2233b

y x c

x y 03364222=-+-b c cx x ∴

2

2221218

3433,

2

3

c b c x x c x x =-==+

又设M (x ,y ),则由μλ+=得?

??+=+=212

1y y y x x x μλμλ,代入椭圆方程整理得

222212

2222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ

又∵ 2212133b y x =+,22

22233b y x =+,

032

9233)(34322

2221212121=+-=

++-=+c c c c x x c x x y y x x ∴

122=+μλ

例5、已知,椭圆C 过点A 3

(1,)2

,两个焦点为(-1,0),(1,0)。

(1) 求椭圆C 的方程;

(2) E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率

为定值,并求出这个定值。

解析:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为

22

19114b b +=+,解得2

3b =,234b =-(舍去)

所以椭圆方程为22

143

x y +=。 (2)设直线AE 方程为:3(1)2y k x =-+,代入

22

143

x y +=得 2223

(34)4(32)4()1202

k x k k x k ++-+--=

设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2

A 在椭圆上,所以

22

3

4()12

2x 34F k k --=+,

3

2E E y kx k =+- 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代K ,可得

22

3

4()12

2x 34F k k

+-=+, 3

2E E y kx k =-++

所以直线EF 的斜率()212

F E F E EF

F E F E y y k x x k K x x x x --++===-- 即直线EF 的斜率为定值,其值为1

2

。 将第二问的结论进行如下推广:

结论 1.过椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于

E 、

F 两点,则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y (常数)。

证明:直线AE 的方程为00()y y k x x -=-,则直线AF 的方程为00()y y k x x -=--,

联立00()y y k x x -=-和22

221x y a b

+=,消去y 可得

222222

22

2

00

00

()2()()0a k b x a k y k x a y

k x a b ++-+

--

=

200112210222

22222222000000

1222222220

12222

20

12100200222

20

122122()

(,),(,),22,4,4()(),

EF a k y kx E x y F x y x x a k b a k x a ky b x a k x a ky b x x x a k b a k b a ky x x a k b b kx y y k x x y k x x y a k b b x y y x x a -+=-+--+-?=

++--=+--=-++--=+-=-设则同理,由则直线的斜率为0

.

y

结论 2.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆

于E 、F 两点,则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y -(常数)。

结论3.过抛物线2

2(0)y px p =>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点,则直线EF 的斜率为定值0

p

y -(常数)。 例6、【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点,焦点F 在y 轴的非负半轴上,点F 到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ; (Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线3

2

y =

的对称点,动点M 满足MF e MF ||='||,问是否存在一个定点A ,使M 到点A 的距离为定值?若存在,求出点A 的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

解析:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ,,由已知得

44,26a a c a c =?==?

+=?

解得,. 所以椭圆的标准方程为22

11612

y x +=. 离心率21.42e ==

(Ⅱ)(0,2),(0,1)F F ',设(,),M x y 由

MF e MF ||

='||

12

=

解析几何中的定点和定值问题

化简得223314150x y y +-+=,即22272

)()33

x y +-=(

故存在一个定点7(0,)3A ,使M 到A 点的距离为定值,其定值为2

.3

例7、【2010·湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,P(2,0)为定点.

(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点,求抛物线C 的方程;

(Ⅱ)若动圆M 过点P ,且圆心M 在抛物线C 上运动,点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点,试推断是否存在一条抛物线C ,使|AB|为定值?若存在,求这个定值;若不存在,说明理由.

解析:(Ⅰ) 设抛物线方程为2

2(0)y px p =≠,则抛物线的焦点坐标为(

,0)2p .由已知,22

p

=,即4p =,故抛物线C 的方程是28y x =.

(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥),点A 1(0,)y ,B 2(0,)y . 因为圆M 过点P(2,0),则可设圆M 的方程为

2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. 令0x =,得2

2440

y b y a -+-=.则122y y b +=,1244y y a ?=-.

所以||AB =

== ,设抛物线C 的方程为

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

2(0)y mx m =≠,因为圆心M 在抛物线C 上,则2b ma =. 所以

||AB =由此可得,当4m =时,||4AB =为定值.故存在一条抛物

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

线2

4y x =,使|AB|为定值4.

例8、已知椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值

1,离心率为e

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

(Ⅰ)求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)过点()1,0作直线 交E 于P 、Q 两点,试问:在x 轴上是否存在一个定点M ,MP MQ ?

为定值?

若存在,求出这个定点M 的坐标;若不存在,请说明理由﹒

解析:(I )设椭圆E 的方程为2222x y 1a b +=,

由已知得:a c 1

解析几何中的定点和定值问题

c a

?-=?

??? 。。。。。2分

解析几何中的定点和定值问题

a c 1

?=?∴?

=??222

解析几何中的定点和定值问题

b a

c 1=-=∴椭圆E 的方程为22x y 12+=。。。。 3分 (Ⅱ)法一:假设存在符合条件的点M(m,0),又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则: 11221212MP (x m,y ),MQ (x m,y ),MP MQ (x m)(x m)y y =-=-?=-?-+

2121212x x m(x x )m y y =-+++。

。。。。 5分 ①当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为:y k(x 1)=-,则 由22

x y 12y k(x 1)?+=???=-?

得222x 2k (x 1)20+--= 2

2

2

2

(2k 1)x 4k x (2k 2)0+-+-=22121222

4k 2k 2

x x ,x x 2k 12k 1

-+=?=++ 7分 222121212122

k

y y k (x 1)(x 1)k [x x (x x )1]2k 1

=--=-++=-+ 所以2222

2222k 24k k MP MQ m m 2k 12k 12k 1-?=-?+-+++ 2222(2m 4m 1)k (m 2)2k 1-++-=

+ 9分 对于任意的k 值,MP MQ ? 为定值,所以222m 4m 12(m 2)-+=-,得5

m 4

=,

所以57

M(,0),MP MQ 416

?=- ; 11分

②当直线l 的斜率不存在时,直线1212121

l:x 1,x x 2,x x 1,y y 2

=+===-

由5m 4=得7

MP MQ 16

?=-

综上述①②知,符合条件的点M 存在,起坐标为5

(,0)4

﹒ 13分

法二:假设存在点M(m,0),又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则:1122MP (x m,y ),MQ (x m,y )=-=-

1212MP MQ (x m)(x m)y y ?=-?-+

=2121212x x m(x x )m y y -+++…. 5分 ①当直线l 的斜率不为0时,设直线l 的方程为x ty 1=+,

由22

x y 1

2x ty 1

?+=???=+?

得22(t 2)y 2ty 10++-=121222

2t 1y y ,y y t 2t 2--∴+=?=++ 7分 22221212212122

2

t 2t t 22t 2

x x (ty 1)(ty 1)t y y t(y y )1t 2t 2

--++-+=+?+=+++==++ 22

121222

2t 2t 44

x x t(y y )2t 2t 2

-+++=++==++ 22

2222t 24m 1MP MQ m t 2t 2t 2-+∴?=-+-+++ 2222(m 2)t 2m 4m 1t 2

-+-+=

+ 9分 设MP MQ ?=λ 则2222(m 2)t 2m 4m 1t 2

-+-+=λ+

2

2

2

2

222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)(m 2)t 2m 4m 120∴-+-+=λ+∴--λ+-+-λ=2

2m 202m 4m 120?--λ=?∴?-+-λ=??5m 4716?=??∴??λ=-??

5M(,0)4∴ 11分 ②当直线l 的斜率为0时,直线l :y 0=,由5

M(,0)4

得:

55257MP MQ )()2441616

?=?=-=-

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

综上述①②知,符合条件的点M 存在,其坐标为5

(,0)4

。。。。13分

六、 定直线问题

例9、设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

过点M

,且焦点为1(F

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足

AP QB AQ PB =

,证明:点Q 总在某定直线上

解析: (1)由题意:

2222222211c a b

c a b

?=?

?+=???=-? ,解得22

4,2a b ==,所求椭圆方程为 22142x y += (2)设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ,由题设,,,,PA PB AQ QB

均不为零。

且 PA PB AQ QB

=

又 ,,,P A Q B 四点共线,可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±

,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=-- (1) 2241,11x y

x y λλλλ

++==++ (2) 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上,将(1),(2)分别代入C 的方程2

2

24,x y += 整理得 2

2

2

(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= (3)

222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)-(3) 得 8(22)0x y λ+-=

0,220x y λ≠+-=∵∴,即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

例10、已知椭圆C

的离心率e =

解析几何中的定点和定值问题

()1A 2,0-,()2A 2,0。(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点,直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问:当m 变化时,点S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。

解法一:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b

+=>>。 …………………

1分

∵a 2=

,c e a =

=

c =222b a c 1=-=。 ……………… 4分

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

∴椭圆C 的方程为2

22x y 14

+=。 ……………………………………… 5分

(Ⅱ)取m 0,=

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

得P ,Q 1,?? ????

,直线1A P

的方程是y =+ 直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S . …………7分,

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

若P 1,,Q ?? ????

,由对称性可知交点为(2

解析几何中的定点和定值问题

S 4,. 若点S 在同一条直线上,则直线只能为:x 4= 。…………………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4= 上。事实上,由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

()

2

2my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=,

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ,则1212

222m 3

y y ,y y m 4m 4--+==++。………… 9分

设1A P 与 交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=

++得1

016y y .x 2=+ 设2A Q 与 交于点00S (4,y ),''由

02

2y y ,42x 2'=--得202

2y y .x 2'=-……… 10 12

00126y 2y y y x 2x 2'-=

-+- ()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()

1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()

2

2

1212m 12m m 4m 40x 2x 2---++==+-,……12分 ∴00y y '=,即0S 与0S '重合,这说明,当m 变化时,点S 恒在定直线:x 4= 上。 13分

解法二:(Ⅱ)取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????,直线1A P

的方程是y =+直线2A Q

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

的方程是y =

交点为(1S . ………………………………………… 7分

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点和定值问题