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广东省东莞市四校2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教A版

四校联考2013—2014学年度第二学期期中考试

高二年级数学科理科试卷

第Ⅰ部分 选择题(共50分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确。请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。)

1.复数

i i 1

+

-= ( )

A .i 2-

B .i

21

C .0

D .i 2

2.一个物体的运动方程为2

s t =其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体,在3秒末的瞬时速度是( )米/秒

A .2

B .4 C.6 D.8

3. 函数

x x y 1

42+

=单调递增区间是( )

A .),0(+∞

B .)1,(-∞

C .)

,21

(+∞ D .),1(+∞

4.函数)2ln(+=x y 在点)0,1(-处的切线方程为( )

A.01=++y x

B. 01=+-y x

C.012=+-y x

D.012=++y x

52

n n +

+=时,则当1n k =+时左端应在n k =的基础

上加上的项是( )

A .2

1k + B .2

(1)k +

广东省东莞市四校2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教A版

C .

222(1)(2)(1)k k k ++++++.

6.20

(25)x dx

+?

等于( )

A .9

B .11

C .14

D .18

7.一质点运动的速度与时间关系为2

()2v t t t =-+,质点作直线运动,则此质点在时间 [1,2]内的位移是 ( )

A. 617

B. 314

C. 613

D. 611

8.已知(0,)x ∈+∞,观察下列各式:

21≥+

x x ,3422422≥++=+x x x x x ,4273332733≥+++=+x x x x x x ,...,类比

1+≥+

n x a

x n (+∈N n ),则=a ( )

A .n

B .n 2

C .2

n D .n

n

9.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为

31

81234

3y x x =-+-,则使该生产厂家获得最大利润的年产量为( )

A.7万件

B.9万件

C.11万件

D.13万件

10. 对于三次函数32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,给出定义:设'()f x 是函数()y f x =的导数,()

f x ''是'()f x 的导数,若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”

。某同学

经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中

心。设函数

12532131)(g 23-

+-=

x x x x ,则??? ??++??? ??+??

? ??20132012...2013220131g g g =( ) A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

第Ⅱ部分 非选择题(共100分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案填在答题卡中相应的位置上。)

11.若i

i m -+1是纯虚数,则实数m 的值为_______

12.观察下列等式 1=1 2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 ……

照此规律,第7个等式为 。

13、如右图,是定义域为R 的函数)(x f 的图象,'()f x 是函数()f x 的导函数,则不等式0)(>'x f x 的解

集为

广东省东莞市四校2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教A版

14.已知函数)()(02

3≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数,且1-=x 时,函数取极值

1;若对任意的

[]11

2

1

,-

x

x

,均有12

f x f x s

-≤

()()

成立,则s的最小值为__________

三、解答题(本大题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)15.(本小题12分)

已知复数

)

(

)

15

2

(

)6

5

(2

2R

m

i

m

m

m

m

z∈

-

-

+

+

+

=,试求m为何值时,

(1)z为实数?(2)z所对应的点落在第三象限?

16.(本小题满分12分)

已知函数

32

11

()3

32

f x x ax x

=--

(1)若

()

f x在3

x=处有极值,求a的值;

(2)在(1)的条件下,求

()

f x在区间[0,4]上的最大值.

17.(本小题14分)

)0

)

(2≠

+

+

=a

c

bx

ax

x

f(

二次函数,方程0

)

(=

x

f有两个相等的实根,且2

2

)

(+

=

'x

x

f。

)

(x

f

函数的表达式;

求函数

)

(x

f的图像与直线x+y-1=0所围成的图形的面积。

18.某地区预计从2013年初开始的第x月,商品A的价格

)

69

12

(

2

1

)

(2+

-

=x

x

x

f

12

,≤

∈x

N

x,价

格单位:元),且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g (单位:万件).(1)2013年的最低价格是多少?(2)2013年的哪一个月的销售收入最少?

19、数列

{}n a 的前n 项和为n S ,满足

()12-=

n n S a n n ,且31

1=

a .

(Ⅰ)求2a ,

3a ,4a ;

(Ⅱ)猜想数列

{}n a 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

20.(本小题满分14分)

已知

x x a x f ln )(+=

x x

x g ln )(=,(]e x ,0∈,其中e 是无理数且e=2.71828,R a ∈.

(1)若1a =,求)(x f 的单调区间与极值;

(2)求证:在(1)的条件下,

21

)()(+

>x g x f ;

(3)是否存在实数a ,使)(x f 的最小值是1-?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.

2013-2014学年度第二学期四校联考 高二年级数学科理科参考答案 一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.)

广东省东莞市四校2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教A版

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

11.___1__ 12.16919987=++++ 13.)0,1(),1(-?+∞ 14. 2

三、解答题(本大题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。)

15.(本小题满分12分)

已知复数

)()152()65(2

2R m i m m m m z ∈--+++=,试求m 为何值时, (1)z 为实数? (2)z 所对应的点落在第三象限?

解:(1)Z 为实数,则虚部为0,即

2

2150m m --=,解得3-=m 或5=m ……5分 (2)?????<--<++01520652

2

m m m m ……………………………………………………………7分

解得:?

?

?<<--<<-532

3m m …………………………………………………………………11分

,故)2,3(--∈m ………………………………………………………………………12分 16.(本小题满分12分)

已知函数

32

11()332f x x ax x =

--.

(1)若()f x 在3x =处有极值,求a 的值;

(2)在(1)的条件下,求()f x 在区间[0,4]上的最大值.

解:(1)

2

()3f x x ax '=--. ……………1分 ()f x 在3x =处有极值,

(3)9330f a '∴=--=, ……………3分

即2a =. ……………4分

2()23(1)(3)f x x x x x '∴=--=+-.

当(1,3)x ∈-时,()0f x '<,当(3,)x ∈+∞时,()0f x '>, ……………5分

∴()f x 在3x =处取得极值时,2a =. ……………6分

(2)在(1)的条件下,

x x x x f 331)(23

--=

,32)(2'--=x x x f ,

令0)('

=x f ,得1x =-或3x =, ……………7分

由(1)知函数()f x 在1x =-和3x =处有极值. ……………8分

又(0)0f =,(3)9f =-,

20

(4)3f =-

, ……………11分

∴()f x 在区间]4,0[上的最大值为(0)0f =. ……………12分 17.(本小题14分)

)0)(2

≠++=a c bx ax x f (二次函数,方程0)(=x f 有两个相等的实根,且22)(+='x x f 。 求)(x f 函数的表达式;

求函数)(x f 的图像与直线x+y-1=0所围成的图形的面积。

解:(1)b ax x f +='2)(……………………………………………………………………1分

由题知,

??

?

??=-==0422

22ac b b a ……………………………………………………………………4分

解得???

??===121c b a …………………………………………………………………………………6分

12)(2++=x x x f 所以,…………………………………………………………………7分

(2)0

,311

2212=-=???+-=++=x x x y x x y 解得由…………………………………………9分

所以=

S dx

x x x ?

-++-+-0

3

2)]12()1[(………………………………………………11分

29

|)2331()3(03

230

32=+-=--=--?x x dx x x …………………………………………14分

18、某地区预计从2013年初开始的第x 月,商品A 的价格

)6912(21)(2

+-=

x x x f (12,≤∈x N x ,价

格单位:元),且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g (单位:万件).(1)2013年的最低价格是多少?(2)2013年的哪一个月的销售收入最少?

解:(1)∴

+-=],33)6[(21

)(2x x f 当6=x 时,)(x f 取得最小值,

即第6月的价格最低,最低价格为16.5元;………………………4分 (2)设第x 月的销售收入为

y (万元)

,依题意有

)82875(21

)12)(6912(2132+-=++-=

x x x x x y ,………………………6分 )5)(5(23

)753(212-+=-=

'x x x y ,……………………………………7分

所以当51≤≤x 时0≤'y ,y 递减;…………………………………………9分 当125≤≤x 时0≥'y ,y 递增,……………………………………………11分

所以当5=x 时,y 最小,即第5个月销售收入最少. ……………………13分 答:2013年在第5月的销售收入最低. ………………………………………14分

19、数列

{}n a 的前n 项和为n S ,满足

()12-=

n n S a n n ,且31

1=

a .

(Ⅰ)求2a ,

3a ,4a ;

(Ⅱ)猜想数列

{}n a 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

解:(Ⅰ)

5312?=

a ;7513?=a ;971

4?=

a ……………………………………3分

(Ⅱ)猜想数列

{}n a 的通项公式为

)12)(12(1

+-=

n n a n ……………………6分

下面用数学归纳法进行证明:

当1=n 时,

)112)(112(1311+?-?=

=

a ,猜想成立.………………7分 假设当k n =时,

)12)(12(1

+-=

k k a k 成立,…………………………8分

则当1+=k n 时,由

()12)1(1

1++=

++k k S a k k ,得()()11121++++=k k a k k S

()12-=

k k S a k

k ,得()k k a k k S 12-= ks5………………10分

两式作差得:()()()k k k k a k k a k k S S 1212111--++=-++

()()()k k k a k k a k k a 1212111--++=++……………11分

()

()k k a k k a k k

123212

-=++

()()()()32121

12121321232121++=+-?+-=+-=

+k k k k k k a k k a k k ,所以猜想成立.

…………………………………………………………………………………………13分

综上所述,对一切正的自然数都有)12)(12(1

+-=

n n a n .……………………14分

20.(本小题满分14分)

已知

x x a x f ln )(+=

x x

x g ln )(=,(]e x ,0∈,其中e 是无理数且e=2.71828,R a ∈.

(1)若1a =,求)(x f 的单调区间与极值;

(2)求证:在(1)的条件下,

21

)()(+

>x g x f ;

(3)是否存在实数a ,使)(x f 的最小值是1-?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.

解:(1)当a=1时,

x x x f ln 1)(+=

21

)(x x x f -=',(]e x ,0∈ (1分) 令

01

)(2=-=

'x x x f ,得x=1.

当)1,0(∈x 时,0)(<'x f ,此时)(x f 单调递减; (2分) 当),1(e x ∈时,0)(>'x f ,此时)(x f 单调递增. (3分)

所以)(x f 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,e ),)(x f 的极小值为1)1(=f . (4分)

(2)由(1)知)(x f 在(]e ,0上的最小值为1. (5分)

21ln 21)()(+=+

=x x x g x h ,(]e x ,0∈,所以2ln 1)(x x

x h -='. (6分)

当),0(e x ∈时,0)(>'

x h ,)(x h 在(]e ,0上单调递增, (7分)

所以

min max )(121

21211)()(x f e e h x h ==+<+=

=. 故在(1)的条件下,

21

)()(+

>x g x f . (8分)

(3)假设存在实数a ,使

x x a

x f ln )(+=

((]e x ,0∈)有最小值-1.

因为

221)(x a

x x x a x f -=+-

=', (9分)

①当0≤a 时,0)(>'x f ,)(x f 在(]e ,0上单调递增,此时)(x f 无最小值;(10分)

②当e a <<0时,当),0(a x ∈时,0)(<'x f ,故)(x f 在(0,a )单调递减;当),(e a x ∈时,0)(>'x f ,

故)(x f 在(a ,e )单调递增; (11分)

所以

1ln )()(min -=+=

=a a a a f x f ,得

21

e a =,满足条件; (12分) ③当e a ≥时,因为e x <<0,所以0)(<'x

f ,故)(x f 在(]e ,0上单调递减. 1ln )()(min -=+=

=e e a

e f x f ,得e a 2-=(舍去); (13分) 综上,存在实数21

e a =

,使得)(x f 在(]e ,0上的最小值为-1. (14分)