高考数学全套知识点汇总

高考数学全套知识点汇总

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为

B A a ?

（答：，，）-???

???

1013

3. 注意下列性质:

{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n

（3）德摩根定律:

()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().?

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f:A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 如何求复合函数的定义域？

[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 []（答：，）a a -

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）

()()

如：求函数的反函数f x x x x

x ()=+≥-

()

()

（答：）f x x x x

x -=->--

???1110() 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

14. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

()

≥0

'()()

在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于

a b f x f x

'()≤0

f x

零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？

值是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

由已知在，上为增函数，则，即f x a

a ()[)13

13+∞≤≤ ∴a 的最大值为3）

16. 函数f (x )具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=?? 注意如下结论:

（1）在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T 是一个周期。）

如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称- f x f x ()()与的图象关于原点对称-- f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20

将图象左移个单位右移个单位

y f x a a a a y f x a y f x a =>?→

????????>=+=-()()()()

()

00

上移个单位下移个单位

b b b b y f x a b

y f x a b

()()()()>?→

????????>=++=+-00

注意如下“翻折”变换:

y=log 2x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

()（）一次函数：10y kx b k =+≠

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x

k y b k x a

k O a b =≠=+-≠'()的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线302442

2

2

y ax bx c a a x b a ac b a

=++≠=+?? ???+-

应用:①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 20020

++=?≥->>????????()

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

()（）“对勾函数”60y x k x

k =+>

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

log log log log log a a a a n a M N

M N M n

M =-=，1

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()()

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值:

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

又如：求函数的定义域和值域。y x =--?? ??

?122

cos π

（∵）122

120--?? ??

?=-≥cos sin πx x

∴，如图：sin x ≤22

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

()y x k k k Z =-

+?

?

??

?

?∈sin 的增区间为，2222ππππ ()减区间为，22232k k k Z ππππ++?????

?∈

()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ

02

=+∈ []()y x k k k Z =+∈cos 的增区间为，22πππ

[]()减区间为，222k k k Z ππππ++∈

()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+??

??

?=∈2

y x k k k Z =-

+??

?

?

?∈tan 的增区间为，ππππ22 ()()[]26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos （）振幅，周期12||||

A T =πω

()若，则为对称轴。f x A x x 00=±=

()()若，则，为对称点，反之也对。f x x 0000=

（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点202

32

2ω?ππππx x y +（x ，y ）作图象。

（）根据图象求解析式。（求、、值）3A ω?

解条件组求、值ω?

()?正切型函数，y A x T =+=tan ||

ω?πω

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式:

（）点（，），平移至

（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k

→

=?→?????=+=+??

?()''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→

如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-??

??

?-=2241sin sin π图象？

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k παα2

±“奇”、“偶”指k 取奇、

偶数。

()如：cos tan sin 94

7621πππ+-??

??

?+=

又如：函数，则的值为

y y =++sin tan cos cot αααα

A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系:

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求:项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法:

()（）角的变换：如， (12)

2

2

βαβααβαβαβ=+-+=-?? ???--?? ??

? （2）名的变换:化弦或化切 （3）次数的变换:升、降幂公式

（4）形的变换:统一函数形式，注意运用代数运算。 ()()如：已知，，求的值。sin cos cos tan tan ααα

αββα12123

2-=-=--

（由已知得：，∴sin cos sin cos sin tan ααα

αα

α22112

2

===

()()[]()()∴··）tan tan tan tan tan tan βαβααβααβαα-=--=--+-=

-+=21231212312

18

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用:已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

正弦定理：a A b B c C R a R A b R B c R C

sin sin sin sin sin sin ===?===????

?2222

（）求角；1C

()（（）由已知式得：112112-++-=cos cos A B C

（）由正弦定理及得：212

222a b c =+

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

[]

反正弦：，，，arcsin x x ∈-????

?

?∈-ππ2

211 [][]反余弦：，，，arccosx x ∈∈-011π

()反正切：，，arctan x x R ∈-?? ??

?∈ππ2

2

34. 不等式的性质有哪些？

答案:C

35. 利用均值不等式:

(

)

a b ab a b R a b ab ab a b 2

2

2

222+≥∈+≥≤+?? ??

?+

，；；求最值时，你是否注

意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()值？（一正、二定、三相

等）

注意如下结论:

当且仅当时等号成立。a b =

如：若，的最大值为

x x x

>--0234

当且仅当，又，∴时，）340233

243x x x x y =>==-max

（∵，∴最小值为）22222222221x y x y +≥=+ 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。

()370.()()

解分式不等式的一般步骤是什么？f x g x a a >≠

（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式||x x --+<311

（解集为）x x |>???

???

12

41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题a b a b a b -≤±≤+ 如：设，实数满足f x x x a x a ()||=-+-<2131

证明:

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值 a f x a f x >?>()()能成立的最小值

例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是x x x a a -++>32

（设，它表示数轴上到两定点和距离之和u x x =-++-3223

43. 等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na

n n d n n =

+=+

-112

12

{}性质：是等差数列a n

{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+

（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则

；421

21

a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即: 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11000

><≥≤???+

当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000

<>≤≥??

?+

{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123

44. 等比数列的定义与性质

等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2

()

前项和：（要注意）n S na q a q

q q n n ==--≠????

?

111111()

()! {}性质：是等比数列a n

（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 45.由求时应注意什么？S a n n

（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如:（1）求差（商）法

{}如：满足……a a a a n n n n 12

12

12

25

1122+++=+<>

解:

n a a a n n n ≥+++=-+<>--212

12

12

215212211

时，……

［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++11153

4

（注意到代入得：a S S S S n n n n n

+++=-=1114

{}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· （2）叠乘法

{}例如：数列中，，，求a a a a n n a n n n

n 1131

==++

解:

（3）等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?

??

??

??-22321321时，…………两边相加，得：

()()()