【精品】高等数学第一章公式
高
等
数
学公式
与
定理
（第六版上册）
第一章函数与极限
第一节：初等函数
幂函数:a x y =（是常数）R a ∈
指数函数：x a y =（a >0且)1≠a
对数函数：y=x a log （a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数：如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等
第二节：数列的极限
收敛数列的性质：
定理1（极限的唯一性)如果数列{x n ｝收敛，那么它的极限唯
一.
定理2(收敛数列的有界性）如果数列{x n ｝收敛，那么数列｛x n ｝
一定有界。
定理3(收敛数列的保号性）如果,lim a x n n =∞
→且a 〉0（或a 〈0），那么存在正整数N>0，当n>N 时,都有.n x 〉0(.n x 〈0）
定理4(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛.n x }收敛于a ，
那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。
第三节函数的极限
函数极限的性质
定理1（函数极限的唯一性)如果)(lim
x f x
x →存在，那么这极
限唯一.
定理2（函数极限的局部有界性)如果)(lim
x f x
x →=A
存在，那
么存在常数M 〉0和δ>0，使得当0<{0x x -}<δ时，有
)(x f M ≤.
定理3（函数极限的局部保号性)如果)(lim
x f x
x →=A ，且
A>0
（或A<0）,那么存在常数δ〉0，使得δ
<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)( 定理3′如果)0()(lim ≠=→A A x f x x ，那么就存在着n x 的某一去 心邻域),(00 x U 当)(00 x U x ∈时，就有 2 )(0A x f > . 推论如果在0x 的某去心邻域内 )0)x 0)(0≤≥（或（f x f ,而且 A x f x x =→)(lim 0 ，那么） 或（00≤≥A A 定理4(函数极限与数列极限的关系）如果极限)(lim x f x x →存在， ｛n x ｝为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足： )(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列) (n x f 必收敛,且 ).(lim )(lim 0 x f x f x x n →∞ →= 第四节无穷小与无穷大 定理1在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数) (x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a 是无穷小。 定理2在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大,则 )(1 x f 为无穷小；如果)(x f 为无穷小,且)(x f ≠0，则) (1x f 为无穷大. 第五节极限运算法则 定理1有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理3如果,)(lim ,)(lim B x g A x f ==那么 （1）B A x g x f x g x f +=±=±)(lim )(lim )]()(lim[ （2)B A x g x f x g x f ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[ 若又有B 0≠,则B A x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim 。 推论1如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则).(lim )](lim[x f c x cf = 推论2如果)(lim x f 存在,而n 是正整数,则.)]([lim )](lim [n n x f x f = 定理4设有数列}{y }{n 和h x n ,如果