三角形内角和、外角定理(含详细解答)

三角形内角和、外角定理(含详细解答)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形内角和、外角和定理

一．选择题（共10小题）

1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）

A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D

．

钝角三角形

2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）

A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D

．

钝角三角形

3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）

A ．150°B．210°C．105°D

．

75°

4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）

A ．40°B．45°C．50°D

．

55°

5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）

A ．360°B．250°C．180°D

．

140°

6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）

A ．10°B．12°C．15°D

．

18°

7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）

A ．70°B．80°C．90°D

．

100°

8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）

A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=1

80°

D

．

∠2+∠3+∠5=3

60°

9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）

A ．36B．72C．108D

．

144

10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）

A ．37B．57C．77D

．

97

二．填空题（共4小题）

11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度．

12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是

_________．

13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．

14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=_________度．

三．解答题（共16小题）

15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于_________．

（2）请证明以上命题．

16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求

∠BAD的度数．

17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，

理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．

探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）

结论：_________．

19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故

∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑

∠BQD之间有何数量关系（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

20．（2013?响水县一模）探究与发现：

探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．

探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系

已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．

探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢

已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢

请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．

21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．

22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．

23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．

24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．

25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．

26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．

27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．

28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗

29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．

三角形内角和、外角和定理

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）

A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D

．

钝角三角形

考点：三角形内角和定理．

分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．

解答：解：∵∠A=20°，∠B=60°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，

∴△ABC是钝角三角形．

故选D．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）

A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D

．

钝角三角形

考点：三角形内角和定理．

专题：方程思想．

分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．

解答：解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三

角形是钝角三角形．

故选：D．

点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．

本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．

3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）

A ．150°B．210°C．105°D

．

75°

考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．

分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．

解答：解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，

∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．

故选A．

点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）

A ．40°B．45°C．50°D

．

55°

考点：三角形内角和定理．

分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：解：∵∠B=67°，∠C=33°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°

故选A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．

5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）

A ．360°B．250°C．180°D

．

140°

考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．

分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．

解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．

故选B．

点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．

6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）

A ．10°B．12°C．15°D

．

18°

考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．

分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．

解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，

∴∠CAD=90°﹣36°=54°，

∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，

∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．

故选A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．

7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）

A ．70°B．80°C．90°D

．

100°

考点：三角形内角和定理；平行线的性质．

专题：计算题．

分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．

解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，

∴∠EFB=125°，

∴∠EFA=180﹣125=55°，

∵∠A=45°，

∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．

故选B．

点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．

8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）

A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=1

80°

D

．

∠2+∠3+∠5=3

60°

考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．

分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．

解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，

∵∠1=∠AOB，

∵∠AOB+∠4+∠6=180°，

∴∠1+∠4+∠6=180°．

故选C．

点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．

9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）

A ．36B．72C．108D

．

144

考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．

专题：计算题．

分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．

解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，

∵2（∠A+∠C）=3∠B，

∴∠B=72°，

∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，

故选C．

点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．

10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）

A ．37B．57C．77D

．

97

考点：三角形内角和定理．

专题：推理填空题．

分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．

解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，

∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，

又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：

①∠C＞90°，

∴∠B＜153°﹣90°=63°，

∴选项A、B合理；

②∠B＞90°，

∴选项D合理，

∴∠B不可能为77°．

故选C．

点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．

二．填空题（共4小题）

11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．

考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．

专题：几何图形问题．

分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．

解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，

∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，

∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，

∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，

∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，

∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，

即∠1+∠2=70°．

故答案为：70°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．

12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．

考点：三角形内角和定理．

分析：先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．

解答：解：∵△BOC中，∠BOC=118°，

∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．

∵BO和CO是△ABC的角平分线，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，

在△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB=124°，

∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．

故答案为：56°．

点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．

13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．

考点：三角形内角和定理；平行线的性质．

专题：计算题．

分析：把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．

解答：解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，

在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．

又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．

点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识．

14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．

专题：压轴题．

分析：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．

解答：解：如图所示，

作出入射光线的法线，

根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，

∵∠1=∠2，∠AOB=120°，

∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．

故答案为：30°．

点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．

三．解答题（共16小题）

15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于180°．

（2）请证明以上命题．

考点：三角形内角和定理；平行线的性质．

专题：证明题．

分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；

（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．

解答：解：（1）三角形内角和等于180°．

故答案为：180°；

（2）已知：如图所示的△ABC，

求证：∠A+∠B+∠C=180°．

证明：过点C作CF∥AB，

∵CF∥AB，

∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，

∵∠1+∠2=∠BCF，

∴∠B+∠1+∠2=180°，

∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．

16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求

∠BAD的度数．

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．

分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．

解答：解：∵∠ACB=80°

∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°

又∵CD=CA

∴∠CAD=∠D

∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°

∴∠CAD=∠D=40°

在△ABC内

∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．

点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．

17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

考点：三角形内角和定理．

专题：数形结合．

分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．

解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，

∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，

∴∠A=36°．

则∠C=∠ABC=2∠A=72°．

又BD是AC边上的高，

则∠DBC=90°﹣∠C=18°．

点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．

三角形的内角和是180°．

18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，

理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．

探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）

结论：∠BOC=90°﹣∠A．

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．

专题：压轴题．

分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，

理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一外角，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一外角，

∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；

（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），

∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，

=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），

=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），

结论∠BOC=90°﹣∠A．

点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．

19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故

∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．

专题：综合题；压轴题．

分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；

（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；

（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．

解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D

延长BP交CD于点E，

∵AB∥CD

∴∠B=∠BED

又∵∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D．

（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

（3）连接EG并延长，

根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，

又∵∠AGB=∠CGF，

在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．

20．（2013?响水县一模）探究与发现：

探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．

探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系

已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．

探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢

已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢

请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．

专题：探究型．

分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，

∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；

探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得

解；

探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；

探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，

∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，

=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，

=180°﹣（∠ADC+∠ACD），

=180°﹣（180°﹣∠A），

=90°+∠A；

探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，

=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，

=180°﹣（∠ADC+∠BCD），

=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），

=（∠A+∠B）；

探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）180°=720°，

∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，

=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，

三角形的内角和与外角的性质祥解

1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2 、 L 3、L 4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360°

4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10°

9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（）

(完整版)苏教版七年级下册三角形内角和外角和.doc

一、三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180 度。 要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。 注：①、已知三角形的两个内角度数，可求出第三个角的度数； ②、等边三角形的每一个内角都等于60 度； ③、如果已知等腰三角形的一个内角等于60 度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。 ④、三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较 长，或较长的边，所对的角的度数较大。 例：已知等腰三角形的一个内角等于70 度，则另外两个内角的度数分别是多少度? 二、三角形的外角及其性质 三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。一共有六个外角。 其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。 根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和= 360 度。 性质 1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 性质 2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （常用于解决角的不等关系问题） 例：等腰三角形的一个外角等于100 度，则这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？ 注：（ 1）、△ ABC 内有一点O，连接 BO、 CO，则有∠ BOC =∠ A +∠ ABO +∠ ACO （2）、△ ABC 内有一点 M ，连接 BM 、CM ，BO、CO 分别是∠ ABM 和∠ ACM 的平分线， 则有∠BOC =( ∠ A + ∠ BMC)/2

（ 3）、一个五角星，五个顶角的和等于180 度。 （可利用性质 1 和三角形的内角和来加以证明） （4）、BO 、CO 分别是△ ABC 的内角平分线， BO 、CO 相交于点 O，则∠ BOC = 90 ° + ∠A/2 （ 5）、BO 、CO 分别是△ ABC 的外角平分线，BO 、CO 相交于点O，则∠ BOC = 90 ° - ∠ A/2 （6）、BO 是△ ABC 的内角平分线，CO 是△ ABC 的外角平分线，BO、CO 相交于点 O， 则∠BOC = ∠ A/2 （ 7）、① 锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补； ② 直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等； ③ 钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一 钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。 三、多边形及其内角和、外角和

(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.

华东师大版七年级数学下册 三角形的内角和与外角和教案

三角形的内角和与外角和 教学目的 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的外角和． 2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算． 重点、难点 1．重点：掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质． 2．难点：在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法． 教学过程 一、活动引入：你有什么办法可以探究它呢？ 活动内容：(1)：通过具体的度量，验证三角形的内角和 (2)方法二：剪拼法．把三个角拼在一起试试看？ 图1

图2 通过测量发现三角形的三个内角和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 已知：△ABC ．求证：∠A +∠B +∠C =180°． 证明：如图，过A 作EF ∥BC ∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等) 同理：∠3=∠5(两直线平行，内错角相等) ∵∠4+∠1+∠5=180°(平角定义) ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换) 2、 方法一：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠DAB =∠B ，∠EAC =∠C (两直线平行，内错角相等) ∵∠DAB +∠BAC +∠EAC =180° ∴∠BAC +∠B +∠C =180°(等量代换) 方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ． ∵CE ∥BA ∴∠B =∠ECD (两直线平行，同位角相等) ∠A =∠ACE (两直线平行，内错角相等) ∵∠BCA +∠ACE +∠ECD =180° A B C D E A B C E D

∴∠A +∠B +∠ACB =180°(等量代换) 2．直角三角形两锐角之间的关系 由三角形的内角和等于180°，容易得到下面的结论： 直角三角形的两个锐角互余． 新知应用：比一比，赛一赛 (1)在△ABC 中，∠A =35°，∠B =43°，则∠C =102°． (2)在△ABC 中，∠C +∠B =140°则∠A ＝40°． (3)在△ABC 中，∠A =40°∠A =2∠B ， 则∠C ＝120°． 三角形的外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 如图，△ABC 中，∠1是一个外角． 3．三角形的外角及其性质 我们已经知道三角形的内角和等于180°．现在我们探索三角形的外角及外角的性质． 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角． 图 8.2.6 ∠DAC 是三角形的一个外角，内角 BAC 与它相邻，内角∠B 、∠C 与它不相邻． 问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系？(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系．请同学们拿出一张白纸， 在 1

(完整版)三角形内角和外角练习题

规律方法指导 1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据． 外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。

举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；

三角形的内角和与外角和教学设计

多边形的内角和与外角和 课程名称：几何 案例名：选地砖 一、案例背景 该班生源较好，主要表现在两个方面；第一是上课思路相对集中，不容易被其它同学讲话，相互干扰等外因打断自己思考问题的思路。第二发散性思维能力较强。主要表现在学生思考某一问题时能够从不同的侧面、不同的角度发表自己的看法和观点。对于同一个命题，学生能分清题设和结论部分，并有部分学生具有逆向思维能力。但在该班仍有少部分学生学习态度不够端正，学习习惯也不是很好，从而造成数学思维能力、计算能力等不是很强。 教师希望通过这堂课的学习使成绩优良的学生进一步锻炼和发展自己的思维能力，使少部分成绩较差的学生在分层教学和分小组讨论的过程中也能体会学习的乐趣，使全班同学不仅学会多边形内角和的应用，而且要学会发现问题、分析问题、研究问题和解决问题的思维方式和方法。 基于这样的现状，教师在课前做了大量的准备工作。首先布置所有同学进行《多边形内角和》的认真预习，其次，课堂上的位置也是精心编排的。让每组中都有不同层次的同学，希望培养学生的团队精神与合作意识。再次，对于课堂内容，教师进行了目标分层、问题分层、习题分层，并且该课的习题也精心设计有练习题和思考题，练习题是每位同学必须完成的，较难的思考题是选做的。教师希望学生要学会数学知识，但更重要的是学会如何学习。 二、教育过程 （一）新课导入 1、选地砖 “哦，挑那一种地砖好呢？”太太叹了口气。画面上一对年轻夫妇正在挑选装修地板的瓷砖。面对着琳琅满目的瓷砖，他们既希望色彩称心，又希望形状独特别致。 这时候，专业设计师走来向他们推荐。在初步商量之后，设计师向他们展示了三幅不同的拼花图案。 2、调查研究 T：这三幅图案是同学们在日常生活中经常可以看到的。请大家观察一下这三种图案都是由哪些基本图形组成的？有没有同学知道？ S1：第一幅图是由六边形组成的。 T：回答很好，六边形。那第二幅图呢？ S2：五边形与三角形。 T：五边形吗？也是六边形，对，还有吗？这是什么？ S1：三角形。 T：第三幅图呢？ S3：正方形。 T：（微笑）正方形。还有这是什么，几边形？ S3：六边形。 T：六边形吗？ S：八边形。 T：八边形，很好，请坐。 这三幅图我们观察出分别是由边和角相等的三角形、四边形、六边形和八边形所组成的。好，现在呢，我们以第一个图为例。（图1放大）

三角形的内角和与外角和

§9.1.2三角形内角和与外角和 内江六中 饶莹 一、教学目标： 知识与技能目标：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用相关结论进行有关的推理和计算，初步掌握演绎推理的证明格式； 过程与方法目标：在学生学习过程中，使学生学会探索数学问题的归纳和实验法等研究方法； 情感、态度与价值观：通过小组讨论与自主学习相结合的方法，让学生融入课堂，成为课堂的主宰，并感受数学中演绎推理的魅力。 二、教学重难点： 教学重点：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并进行有关的推理和计算； 教学难点：三角形内角和定理的证明过程的引导与掌握。 情景引入： 1、通过PPT 展示生活中三角形的应用 2、提问：三角形内角和等于多少度？ 3、谁能上台用图片直观的给同学们演示三角形三个角之和等于0 180？ 4、通过PPT 动态演示撕一撕，拼一拼的过程 自主探究一： 问题3：如何演绎证明三角形内角和等于0 180？ 已知ABC ?，分别用321∠∠∠、、表示ABC ?的三个内角，证明：0 180321=∠+∠+∠。 结论1：三角形的内角和等 于0 180。 简单提示三角形的内角和等于180°的其他常见方法：

例1、说出下列三角形中未知内角的度数。 结论2：直角三角形的两个锐角互余。 自主探究二：三角形的一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，如图： 思考：三角形的一个外角与它内角的等量关系 结论3：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 的度数。 例2、说出下列各图中1

三角形内角和与外角性质..doc

9.1.2三角形的内角和及外角的性质 丁河三中张玲 一、学习目标： 1、理解三角形内角和定理并会证明 2、理解并掌握三角形的外角的性质 3．会利用三角形内角和与外角性质进行有关计 算过程与方法： 培养学生探索、分析、解决问题的能力. 。 情感态度 通过探索三角形内角和与外角性质，提高学生逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度。 二、教学重点： 掌握三角形外角的性质 三、教学难点： 在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。 四、教学方法 三疑三探教学法 五、教学过程： （一）导入新课 同学们，在前面的学习中，我们已经初步认识了三角形的相关知识，知道三角形 的分类、内角、外角及三线（提问回答） 那么三角形的外角和又是多少呢，与内角之间有什么关系呢这就是我们今天要学习 的内容《三角形的内角和及外角的性质》，看到这个课题，你认为本节课我们要掌握 哪些知识呢？ ( 二) 、讲授新课： 同学们提的问题都很有价值，也是本节的重点，请大家按照自探提示自学课本有 关内容就能得到答案。 自探提示： 请同学们思考我们今天的自探提示一： 1、猜想 三角形内角和多少度？尝试用说理的方法给予证明。 2、证明 已知△ ABC，分别用∠ 1、∠ 2、∠3 表示△ ABC的三个内角，证明∠ 1+∠2+∠3=180 结论：三角形内角和等于 180 度 自探提示二： 1、看一看：一个外角与它相邻的内角有什么关系？ 提示：位置关系、数量关系 2 、拼一拼：在一张白纸上任意画一个三角形ABC，把∠ A、∠ B 剪下拼在一起， 放到∠ ACD上，你发现了什么？ 3、想一想：∠ A+∠B+∠1＝ 180°，∠ ACD+∠ 1=180°，你能由这两个等式推出刚才的结论吗？ 4、你能用平行线的知识得到同样的结论吗？ 解疑合探

《三角形的内角和与外角和》(第一课时) word版 公开课一等奖教案

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 《9.1.2 三角形的内角和与外角和》（第一课时）教案 第一课时 教学目的 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。 2．利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和。 3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。 重点、难点 1．重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。 2．难点：在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。 教学过程 一、复习提问 1．什么叫三角形的外角?三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系? 2．三角形的内角和等于多少? 二、新授 我们已经知道三角形的内角和等于180°。 1．现在我们探索三角形的外角及外角和。 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻。 A D

B C 问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。请同学们拿出一张白纸， 在白纸上画出如教科书图9.1.9所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD 上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。请你用 文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。 由此可知：三角形外角有两条性质： (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 A 如图： D是△ABC边BC上一点，则有 ∠ADC＝∠DAB+∠ABD ∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD 问：∠ADB＝∠( )+∠( ) B D C 2．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。 (1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角和呢? (2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？ 3、探索三角形的外角和 （1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内 角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。 （2）探索三角形的外角和是多少？ （3）探索三角形的外角和是360°的证明方法。 三、巩固练习 教科书第79页练习1、2。 四、小结 1、三角形的内角和与外角和各是多少？ 2、三角形的外角有哪些性质？ 五、作业

三角形的内角和与外角和 优秀教案

三角形的内角和(一)教案 教学目标： 1.知道三角形内角之间的关系，直角三角形的两个内角互余 2.能运用相关结论进行有关的推理和计算； 教学难点 1.探索三角形3个内角之间的关系 2.灵活使用相关结论，理性思维的培养 教学过程 一、创设情境，感悟三角形内角和等于1800 在小学里，学生知道三角形内角和等于1800 ，通过运用几何画版制作的课件，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系。 情境1：感受△ABC 的形状在不断变化过程中三角形三内角的和为1800 。 情境2：感受△ABC 用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 。 方法一，在△ABC 中，把∠A 撕下，然后把点A 与点C 重合在同一点，摆成如图所示的位置。 方法二，其它拼图验证方法（如集中在A 点） 二、探索规律，揭示三角形内角和等于1800 1.议一议：如图7-33，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a 与木条b 平行，则∠1+∠2=1800 操作：把木条a 绕点A 转动，使它与木条b 相交于点C ，根据图（2），你能说明“三角形内 角和等于1800 ”吗？ A B a b (2) 1 221(1) b a C B A

三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800 2.由下图1、图2你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。 图1 图2 三、尝试反馈，领悟新知 例1、如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A 与∠B 的和等于∠C 与∠D 的和吗？为什么？ O D C B A 四、拓展延伸，运用新知 1.处理教材P26“做一做”1，2 教学中，要注意引导学生在探究“∠A 与∠B 的和”的度数的基础上,逐步归纳出 直角三角形的两个锐角互余 2、三角形的三个内角中，最多能有几个直角？最多能有几个钝角？为什么？ 五、课堂小结，内化新知 1、重点探究了三角形3个内角之间的关系以 2、由三角形3个内角 的关系得到直角三角形的一个性质：直角三角形的两个锐角互余。 六、课后作业 一、选择题

三角形内角和、外角定理(含详细解答)

三角形内角和、外角定理(含详细解答) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形内角和、外角和定理 一．选择题（共10小题） 1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（） A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D ． 钝角三角形 2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（） A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D ． 钝角三角形 3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（） A ．150°B．210°C．105°D ． 75° 4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（） A ．40°B．45°C．50°D ． 55° 5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（） A ．360°B．250°C．180°D ． 140° 6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）

A ．10°B．12°C．15°D ． 18° 7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（） A ．70°B．80°C．90°D ． 100° 8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（） A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=1 80° D ． ∠2+∠3+∠5=3 60° 9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A ．36B．72C．108D ． 144 10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（） A ．37B．57C．77D ． 97 二．填空题（共4小题） 11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度． 12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是 _________．

三角形的内角和与外角和教案

三角形的内角和与外角和 教案 教学目标 知识与技能： 1.理解三角形的内角和性质以及外角和性质。 2.学会简单计算三角形的内角和外角。 过程与方法： 1.在实际操作中验证内角和定理。 2.运用推理的形式验证三角形内角和定理。 情感、态度与价值观： 在操作和验证过程中，激发学习主动探究三角形角与角之间规律的习惯。教学重难点 重点： 三角形内角和定理的证明，三角形外角和定理及性质。 难点： 在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课（探究问题导入） 阅读课本P76-78，尝试解决以下问题： 1. 三角形的内角和是多少度，直角三角形两锐角有什么关系？ 2.三角形的外角与不相邻的内角有什么关系？ 3. 什么是三角形的外角和？三角形的外角和是多少度？ 二、教学过程

一、活动1 证明过程： 证明：三角形的内角和等于180° 如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2 、∠3表示的三个内角，证明:∠1+∠2+∠3= 180° 证明：延长BC到E，以点C为顶点，在BE的上侧做∠DCE= ∠2，则CD ∥BA(同位角相等，两直线平行). ∵CD∥BA ∴∠1=∠ACD (两直线平行，内错角相等) ∵∠3+∠ACD+∠DCE= 180° ∴∠1+∠2+∠3 = 180°（等量代换） 三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800。 练习： 1．求角n的形中度数。

2．△ABC中∠A：∠B：∠C=1:2:3,求∠A、∠B、∠C的度数。 得出以下结论：直角三角形两个锐角互余 二、活动2 1.三角形外角和内角的关系 显然有，∠CBD(外角) +∠ABC (相邻内角)=180°那么外角∠CBD与其它两个不相邻内角有什么关系？ 依据三角形内角和等于180°有∠ACB+∠BAC+ ∠ABC=180° 由上面两个式子可以推出∠CBD= 180°-∠ABC，∠ACB+∠BAC =180°-∠ABC,因而可以得到你与你的同伴所发现的结论∠CBD= ∠ACB+ ∠BAC 三角形外角的两条性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 随堂练习： 1.求下列各图中∠1的度数（并说明理由） 2.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。

三角形的内角和与外角的性质(含答案)

一个零件的形状如图所示，按规定∠90°, ∠21°, ∠20°,检验工人量得∠130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？ C D A B 2、将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 3、如图，已知∥，∠60°，∠25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 4、如图所示，∥，∠37°，∠20°，则∠的度数为（）

A、57° B、60° C、63° D、123° 5、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 6、如图，△中，∠90°，∠50°，将其折叠，使点A落在边上A′处，折痕为，则∠A′（） A、40° B、30° C、20° D、10° 7、如图，、都是△的角平分线，且∠110°，则∠（） A、50° B、40° C、70° D、35° 8、如图，将等边三角形剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（）

A、120° B、180° C、200° D、240° 13、如图在△中，∠50°，∠80°，平分∠，平分∠，则∠的大小是（） A、B、 C、 D、 18、如图，∠31°，又∠的平分线与∠的平分线相交于E点，则∠为（） A、14.5° B、15.5° C、16.5° D、20° 20、（2010?聊城）如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（）

A、120° B、130° C、140° D、150° 21、，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（） A、20° B、40° C、50° D、60° 22、如图，△中，∠50°，点D，E分别在，上，则∠1+∠2的大小为（） A、130° B、230° C、180° D、310° 25、如图所示，在△中，∠和∠的外角平分线交于点O，设∠，则∠A等于（） A、90°﹣2α B、90°﹣ C、180°﹣2α D、180°﹣ 26、如图，把△纸片沿折叠，点A落在四边形的内部，则（）

《三角形的内角和与外角和》教学反思

《9.1.2三角形的内角和与外角和》教学反思 宜潭中心学校---刘书华“合作探究，实验论证”生动地诠释了新教育的基本理念，本课新知识传授很好的把握三个环节。 一是学生独立思考，教师引导学生讨论验证方法，掌握要领。上课开始，我通过提问三角板中每个角的度数以及每块三角板的内角的和是多少？初步让学生感知直角三角形的内角和是180，然后质疑：，这仅仅是一副三角板的内角和，而且也是直角三角形，那是不是所有的三角形中的三个内角的都是180°呢？这个问题一提出去就激发学生的探究学习的热情。因此接着就让学生讨论：有什么办法可以验证得出这样的结论。学生提出度量、折一折、拼一拼等方法。 二是动手操作验证猜想。让学生拿出课前准备的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以小组为单位有选择的用度量的方法或者用折一折的方法或者拼一拼的方法等等，通过小组合作交流，印证猜想，得出任意三角形的内角和是180°的结论。 三是进行总结强化了学生对结论的理解与记忆，激发学生探索知识的热情。科学验证了结果，让学生用简洁的语言总结结论：三角形的内角和是180°。《三角形的内角和》是九年制义务教育人教版四年级下册第五章《三角形》的第二节内容，本节课是在学生学习了与三角形有关的概念、边、角之间的关系的基础上，让学生动手操作，通过一些活动得出“三角形的内角和等于180°”成立的理由，由浅入深，循序渐进，引导学生观察、猜测、实验，总结。逐步培养学

生的逻辑推理能力. “问题的提出往往比解答问题更重要”，其实三角形内角和是多少？大部分的学生已经知道了这一知识，所以很轻松地就可以答出。但是只是“知其然而不知其所以然”，所以我特别重视问题的提出，再让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法。本课的重点就是要让学生知道“知其然还要知其所以然”，所以在第二环节里。鼓励学生亲自动手操作验证猜想。为此，我设计了大量的操作活动：画一画、量一量、剪一剪、折一折、拼一拼、撕一撕等，我没有限定了具体的操作环节，但为了节省时间，让学生分组活动，感觉更利于我的目标落实。但在分组活动中，我更注意解决学生活动中遇到了问题的解决，比如说画，老师走入学生中指导要领，因此学生交上来画的作品也非常的漂亮。学生观察能力得到了培养。再比如说折，有的学生就是折不好，因为那第一折有一定的难度，它不仅要顶点和边的重合，其实还要折痕和边的平行，这个认识并不是每个学生都能达到的。教师也要走上前去点拨一下。再比如撕，如果事先没有标好具体的角，撕后就找不到要拼的角了……所以在限定的操作活动中，既体现了老师的“扶”又体现了老师的“放”。做到了“扶”而不死，“伴”而有度，“放”而不乱。我还制作了动画课件，更直观的展示了活动过程，生动又形象，吸引学生的注意力。使学生感受到每种活动的特点，这对他认识能力的提高是有帮助的。在此环节增加了学生的合作探究精神培养。 在归纳总结环节，有意识地培养学生的说理能力，逻辑推理能力，增强了语言表达能力。最后通过习题巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性，为了强化学生对这节课的掌握，我除了设计了一些基本的已知三角形二个内角求第三个角的练习题外，还设计了几道习题，第一道是已知一个三角形有二个锐角，你能判断出是什么三角形吗？通过这一问题的思考，使学生明白，任意三

三角形的内角和与外角的性质

. . 1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ） A 、45° B 、60° C 、75° D 、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB ∥CD ，∠A=60°，∠C=25°，则∠E 等于（ ） A 、60° B 、25° C 、35° D 、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（ ） A 、∠2=∠4+∠7 B 、∠3=∠1+∠6 C 、∠1+∠4+∠6=180° D 、∠2+∠3+∠5=360°

4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10°

9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（）

三角形内角和与外角

三角形内角和定理的证明 知识梳理: 一．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 变式：∠A＝180°－∠B－∠C. 谈重点三角形内角和解读 (1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°； (2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛； (3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角； (4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余． 例：1、在一个三角形中，下列说法错误的是()． A．可以有一个锐角和一个钝角 B．可以有两个锐角 C．可以有一个锐角和一个直角 D．可以有两个钝角 2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()． A．60°B．75°C．90°D．120° 3、一副三角板（分别含45°角和60°角）如图1叠放在一起，求图中∠α的度数。 分析：欲求∠α的度数，需先求出∠BAE，而∠BAE＋∠B=∠FED，求∠BAE 要用三角形外角的性质。 二．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角． 如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．

(2)三角形外角的特征 三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线． (3)三角形外角的实质 是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°. 如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。如刚才的例子，∠ACD=∠A+∠B。 试证明之： 例：1、如图所示，∠1为三角形的外角的是()． 2、如图所示，在△ABC中D是AC延长线上的一点，∠BCD等于（） A．72°B．82°C．98°D．124° （1）如右图所示，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93?°，?则∠A=_________． 3． （2）三角形的三个外角中，最多有______个锐角． 3、已知△ABC中，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP，试说明：∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A。 分析：可用三角形的外角定理解题，所以本题要构造三角形的外角。

三角形内角和、外角练习题知识分享

类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。 举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. ： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________； （5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________． 举一反三： 【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80 【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D. 【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____. 【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。56

初一-三角形的内角和外角的性质

三角形的内角和外角和 知识点回顾：三角形的分类：按边分类；按角分类； 1.三角形性质： （1）角与角的关系； （2）边与边的关系； （3）边与角的关系； 2.三角形角平分线，中线，高线以及三角形边的垂直平分线的性质。 相关习题： 1.， 2.在△ABC中，若AB＝AC，其周长为12，则AB的取值范围是（）． A．AB＞6 B．AB＜3 C．4＜AB＜7 D．3＜AB＜6 3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，则这个三角形是（）． A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 ？ 第3题第4题第7题 4.如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3=4：3：2，则∠ABC等于（） A．60°B．80°C．90°D．100° 5.已知如图，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E五个角的和的度数是（） A．100°B．180°C．360°D．540° 6.等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（） A、5，6 B、6，4 C、7，2 D、以上三种情况都有可能 7.— 8.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 9.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) 10.°°°° 11.如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点，则∠BDC度数是 （） A．133°B．86°C．°D．88° ^ 第8 题第

9题 第10题 12. 图中已知△ABC 中,∠A=∠ACB,CE ⊥AB 于E,CF 平分∠ACB 且∠FCE=42°,则∠ABC 度数为（ ） A ．130° B ．116° C ．128° D ．110° 13. 如图已知△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，∠ABC=48°，∠ACB=84°，则∠FDB 度数为 （ ） A ．48° B ．46° C ．50° D ．52° 14. 已知,,a b c 为△ABC 的三条边，且满足2 469a b b -=--，则c 的取值范围为 。 15. 、 16. ABC 中，AB ＝AC ，且BC ＝8，BD 是AC 边长上的中线，分△ABC 的周长为两部分，已知它们 的差为2，则AB 边的长为_____________． 17. 如图， x=___ ___． 第13题 第14题 第15题 18. 《 19. 如图，△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，点F 是AB 边上一点，延长CA 到E ，连EF ，则∠1， ∠2，∠3的大小关系是_________． 20. 如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交 于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______. 21. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数． ~ 22. 如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分 线，求∠DAE 的度数。 {