第十五章 值和条件极值
第十五章 极值和条件极值
§1. 极值和最小二乘法
一 极值
定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式
()()00,,f x y f x y ≤
则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式
()()00,,f x y f x y ≥
则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x
?=?，()00,0f x y y ?=?，则称()00,x y 是f 的一个驻点。
根据费玛定理，可知
定理1 二元函数的极值点必为0f f x y
??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：z xy =在()0,0点。 例：z x =在()0,0点。
怎样进一步判断是否有极值？
定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点，
),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y
f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。
例：求)1(b
y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。 例：求333z axy x y =--的极值。
多元函数的最大（小）值问题
设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于
区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之
一。然而函数),(y x f 的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数),(y x f z =在区域D 上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域D 上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。 例：有一块宽24cm 的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问x 和θ各自为何值时，水槽的流量是最大？
例：试在x 轴，y 轴与直线2x y π+=围成的三角形区域上求函数()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值。
二 最小二乘法
例：已知11(,)x T ，22(,)x T ，…(,)n n x T 服从线性关系：b ax y +=
问：如何根据这组数据来合理地确定系数a 和b ？
解：总偏差为
()2
1n i i i T ax b ε==--∑，
确定系数,a b ，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令
00a b
εε??=??????=??? 即可解得,a b 。
几个疑问：1）如果0)(1212=-∑∑==n
i i n i i x x
n 怎么办？2）这样求出的b a 、 就是达到极小值的点？3）在选取 b a 、时，为什么不取各个偏差的代数和
∑=n i i 1ε作为总偏差？ 例：已知2y ax bx c =++，现测得一组数据(),i i x y ，1,2,,i n =L ，利用最小二乘法，求系数,,a b c 所满
足的三元一次方程组。
§2 条件极值
一 何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=。现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小。即，问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题。
又如，在总和为C 的几个正数n x x x Λ,,21的数组中，求一数组，使函数值2
2221n x x x f +++=Λ为最小，这是在条件C x x x n =+++Λ21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。这类问题叫做条件极值问题。
二 条件极值的必要条件
为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。
前提：设函数),,,(v u y x f 具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元v u y x ,,,之间又受到以下条件的限制： ?
??==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 其中),,,(v u y x g 和),,,(v u y x h 都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式(,)0(,)
D g h D u v ≠。 目标：我们要求函数),,,(v u y x f 在限制条件0,0==h g 下的极值的必要条件。
定理1（限制极值的必要条件）),,,(v u y x f 在限制条件?
??==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 下于点),,,(0000v u y x 取得极值，那么必存在常数1λ，2λ使得在该点有：
00001000020000grad (,,,)grad (,,,)grad (,,,)f x y u v g x y u v h x y u v λλ=+
称1λ，2λ是lagrange 乘数（待定乘数）。
这一结果可推广靠n 元函数。
三 条件极值的求法
在具体解题时，例如在限制条件?
??==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 下求),,,(v u y x f 的极值，可如下进行： 1． 引入函数L （lagrange 函数）：),,,(),,,(),,,(),,,(21v u y x h v u y x g v u y x f v u y x L λλ--=。
2． 求L 的极值（视v u y x ,,,为独立变量）：由
0),,,(21=??-??-??=??x
h x g v u y x x f x L λλ，0),,,(21=??-??-??=??y h y g v u y x y f y L λλ， 0),,,(21=??-??-??=??u h u g v u y x u f u L λλ，0),,,(21=??-??-??=??v
h v g v u y x v f v L λλ， 0),,,(=v u y x g ，0),,,(=v u y x h 。
解得可能的极值点。
3. 求L 的二阶全微分2d L 。若20d L >，则),,,(v u y x f 取得极小值；若2
0d L <，则),,,(v u y x f 取得极大值。
例：求空间内一点),,(c b a 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离。
例：要制造一容积为163m 的无盖长方形水箱，问水箱长、宽、高为多少时，所用材料最省？