可测函数序列的几种收

XX学院

本科毕业论文（设计）

可测函数序列的几种收

敛性的性质及其应用

院系数学与计算机科学系

专业数学与应用数学（师范教育）

学生班别 2006级数学061班

姓名 XXXXX 学号 0

指导老师单位数学与计算机科学系

指导老师姓名 XXXX 指导老师职称 XXXXX

2010年4月

可测函数序列的几种收

敛性的性质及其应用

数学与应用数学（师范教育）专业2006级数学061班XXXX

指导老师 XXXX

摘要

本论文比较系统地探讨了可测函数序列的收敛性的几个定义和关系，并对相关的一些定理和性质进行了证明；运用整体、归纳的思想理解可测函数列的几乎处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛、依测度收敛的概念并掌握可测函数列的几种收敛之间的关系，即依测度收敛、处处收敛、几乎处处收敛、收敛、一致收敛及近一致收敛之间的关系；本文将Eropob定理、Riesz定理、Lebesgue定理等这几个实变函数中的著名大定理放在一起讨论，既大大简化了证明，有突出了这些定理的实质，把可测函数列的依测度收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛之间的相互关系揭示得一目了然.此外，以可测函数的收敛性的性质和功能作为研究的基础解决了一些测度论中的问题.

关键词：处处收敛，几乎处处收敛，一致收敛，近一致收敛，依测度收敛

Sequence of measurable functions of several

Convergence Properties and Applications

Mathematics and Applied Mathematics (Teacher Education) Professional 2006- 061

XXXX

Supervisor XXXX

Abstract

This paper systematically discusses the convergence of sequences of measurable functions of several definitions and relationships, and some related theorems and properties of the proof; use of the whole, summed up the ideological understanding of measurable functions almost everywhere convergence of the column, almost everywhere convergence, uniform convergence, almost uniform convergence, the concept of convergence in measure and control functions can be measured out the relationship between some convergence, The convergence in measure, everywhere convergence, almost everywhere convergence, convergence, uniform convergence and uniform convergence between past; This article Eropob Theorem, Riesz Theorem, Lebesgue theorem of some functions of real variable in this famous theorem together discussion, not only greatly simplifies the proof that highlights the essence of these theorems, measurable functions out to convergence in measure, almost uniform convergence, almost everywhere convergence may reveal the relationship between the clear. In addition, the convergence of measurable functions of the nature and function of a basis for solving some measure of the problem.

Key words:everywhere convergence，almost sure convergence，uniform convergence，almost uniform convergence，convergence in measure

目录

前言

现在大学都开设了实变函数这一门课程，里面涉及到了可测函数的收敛性方面的一些内容.可测函数的收敛性是数学与应用数学专业必须要掌握的基本知识，它的先行课程是《数学分析》，而概率论与数理统计、解析几何、常微分方程、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程.其中《数学分析》是可测函数的收敛性学习的基础，而且实变函数是现代数学的重要基础课程，是古典分析与现代分析之间的一座桥梁，有很多研究不仅对数学有着重要的价值，还涉及到了测度论等一些领域，而可测函数的收敛性在实变函数中又有着重要的影响和地位，可见研究可测函数的收敛性的重要意义.

收敛问题是函数的性质的重要组成部分，而各种收敛的相互关系，更深刻的反应了函数的特性.我查阅了关于可测函数收敛性学习方面的论文及其一些课本，它们大多数是把可测函数的收敛性之间的收敛性分开来介绍或者就没介绍到，所以我就认为很有必要把可测函数收敛性之间的关系综合起来，放在一起讨论，这样更直接、更明朗、更容易掌握这方面的知识.

此外，通过本次论文的写作，培养并提高自己用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础.下面就从可测函数的收敛性方面对几种收敛性的关系作粗浅的讨论.

1 几个重要收敛的定义

1.1 处处收敛的定义 设函数列

{}f n

与函数f

都是定义在同一数集E 上的实值函数,若

=∞

→f n n lim f

,E x ∈，则称

{}f n

在E 处处收敛于f

，记作于

→

f

n

f

,.E x ∈

1.2 几乎处处收敛的定义[2] 设函数列

{}f n

与函数f

都是定义在同一数集E 上的实值函数,若存在E 中的

点集Z ，有0=mZ 及=∞

→f n n lim f

,Z E x \∈，则称

{}f n

在E 几乎处处收敛于f

，

记作于

??→?..e a f

n

f ,.E x ∈

1.3 一致收敛的定义[4] 设函数列

{}f n

与函数f 定义在同一数集E 上,若对任给0>ε

，总存在自然数

N ,使得当N n >时，对一切E x ∈都有

ε<-f f

n

，则称函数列

}{f n

在E 上一致收

敛于

f

，记作

→

f

n

f .()E x n ∈∞→,.

1.4 近一致收敛的定义 设函数列

{}f n

与函数f

都是可测集上E 的几乎处处有限的可测函数.若对任

何0>δ，存在E 的可测子集E δ，使得δδ

一致收敛于f ，

则称

{}f n

在E 上近一致收敛于f ，记为??→

?近一致f

n

f

.

1.5 依测度的定义[1]

设函数列{}f n

与函数f 都是可测集上E 的几乎处处有限的可测函数.

若对任的0>σ,[]

0lim =>-∞

→σf mE f

n

n ，则称{}f n 在E 上依测收敛于f

，

记为

?

f

n

f

.

改用

N -ε说法：对任意

>ε及0>σ，存在正数()σε,N ，使

()σε,N n ≥时，[]

ε

σ<≥-f mE

f

n

.(N 的取值与σε,有关)

2 测度论中可测函数序列的几种收敛性及其关系

2.1.一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系

一致收敛一定处处收敛，同时，处处收敛一定几乎处处收敛

从一致收敛的定义可知，在E 上一致收敛的函数列，必在E 上逐点收敛，即处处收敛.处处收敛显然几乎处处收敛.

2.2 几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛 从它们的定义，显然得出这一结论. 例[6]：设[]1,0中全体有理数为

}{,...,...,,2

1

r r r n

.

对每个n ，在[]1,0上定义函数

()??

?∈

/∈=r r f n n

n x x x ,0,1 则显然

}{f n

在上[]1,0处处收敛于1.但由有理数的稠密性可知，}{f n

在的[]1,0任一子

区间上都不一致收敛于0；}{f n

在上[]1,0几乎处处收敛于0，但在上[]1,0处处收敛

于1.

2.3 几乎处处收敛与近一致收敛的关系 2.

3.1引理[1] 设}{f n

mE ,

∞<是E 上的一列几乎处处有限的可测函数；

...lim e a f n

n

于E ，且()...e a x f ∞<于E ，则对任意0>ε和任意正整数n ，作

],[][,n k n f E E f k ≥<-=εε，我们有

0]),[\(lim

=∞

→εn E E m n .

它的几何意义就例子()x

f n

n

x =来看是清楚的.

证明：首先，注意

()

x f 是E 上的可测函数，而且由于

∞

=<-

=k

n k

f

f

E n E ][

],[εε，所以],[εn E 是可测集.

其次，根据关于

}{f n 与f

之假设，0])[\(=→f f n E E m 有限.但

∞

=∞

=∞

==<-

=<-

=<-

?→1

1]

,[][

][

]

[][

n n n

k k

n

n

n

n E E E E E f

f

f f

f

f

n f f

εεεε以外都有

除有限个有限

由于

],[εn E 关于n 的单调性，

]

,[],[lim 1

εεn n E n

n =∞

= 且

],[lim ]),[(lim εεn mE n E m =.又因∞

])

[\(])

,[\(])

,[(]

,[])

,[\(lim lim lim lim =→≤=-=-=f E E m n E m n E m mE n mE mE n E E m f

n

n

n

n

有限εεεε

证毕.

2.3.2 推论[1]

设}{f n

mE ,∞<是E 上的一列..e a 收敛于一个..e a 有限

的函数

f 的可测函数列，则对任意0>ε有

0])[\(lim =<-

εf

f

n

n

E E m .

证 由于],[][

εεn E E f

f

n

?<-

，所以

],[\][

\εεn E E E E f

f

n

?<-

.

再由引理即得证.

2.3.3 定理（Eropob ）[1]

：设∞

}{f n

是上一列..e a 收敛于一个..e a 有

限的函数f 的可测函数，则对任意0>δ，存在子集E E ?δ

，使}{f n

在E δ

上一

致收敛，且δδ<)\(E E m .

换言简化为：若,lim

f f

n

n =

∞

→..e a 于E ，

则对任何0>δ，存在可测集E E ?

δ

，

使得δδ

}{f n

近一致收敛于f .

证明：任选一列正整数}{n i ，与相应做的子集}{ ∞

==1

]1,[][i i

i

i

E E n n

（它由}{n i

而完全确定）

.则{}f n

必在}{][n i

E 上一致收敛于f .事实上，任给0>ε，

选i 0使

ε<0

1

，则当n n 0>时，对一切}{]1

,[][0

n n i i E E x ?∈，都有

ε<<

-f

f n

1

.

所以当给定了一个0>δ之后，如果能适当的选取}{n i

，使}{δ<])[\(n i

E E m ，

则令}{][n E i E =δ，它就满足定理的要求.

但由引理，对于,...,3,2,1,1==i i

ε，分别存在充分大的n i ，使 2]1,[\i i i E E m n δ

?

.故只要选取满足这个条件的}{n i ，

就有

}{[](

)

δ

δ

=≤???? ????????≤???? ?

???????=?

??? ???????

?=∑∑∞=∞=∞

=∞

=111121,\1,\1,\\i i i i i i i i i

i E E m i E E m i E E m E

E m n n n n

证毕.

这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的..e a 收敛的可测函数列，即使不一定收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛的.因此在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具.

要注意当∞=mE 时，定理不成立.而逆定理当∞=mE 和∞

注意：Eropob 定理中的条件∞

()(]

()

??

?

∞∈∈=,,0,0,1n x n x x f n

,...2,1=n

显然，

}{f n

处处收敛于1.但是对于任意的0>δ与可测集E E

?

δ

，当δδ

}{f n

在E

E δ

\上不一致收敛于1.事实上，对任意的n ，因δδ

()φδ=/∞E n \,.从而存在()E n x δ\,∞∈，使0=f n .

2.3.4 在一般可测集上∞=mE ，几乎处处收敛不一定近一致收敛 如取),0(∞=E ,作E 上的函数列：

[)[))

0(1....,

2,1,,0,0,1l i m +∞<<==

=?

??+∞∈∈=∞

→x n n x n x f

f

f

n

n n

. 取1=δ，则对任何可测集E E ?

δ，若对∞==<)\(,1E E E m m δδδ故，

于是集E E δ\无界.取2

1=ε，对任意N ，存在1+=N n 和10+>N x ，且E E x δ\0∈时，ε>-=-

10f

f n .所以在E E δ\上

}{f n

不一致收敛于f ，也即在)

,0(∞=E 上不一定近一致收敛.

2.3.5 不论在有限还是在一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛 由Eropob 定理的逆定理可易知. Eropob 定理的逆定理：设可测函数列}{f n

近一致收敛于f ，则}{f n

几乎处处

收敛于

f

.

证明：设可测集E ，有n

mE 1

<

，且函数列}{f n

在E

E δ

\上一致收敛于

f

，

,...2,1=n 令 ∞

==1

n E F ,则有n

mE mF 1

<

≤,从而有0=mF ；于是，对于F F δ\，

}

{f n

显然收敛于

f

.

2.4 几乎处处收敛与依测度收敛的关系

2.4.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛

例[1]：取E =()1,0，将E 等分，定义两个函数：

()???

???

??

?? ??∈??

?

??∈=1,21,021,0,1)1(1

x x x f ， ()???

???

??

?? ??∈??

?

??∈=1,21,121,0,0)1(2

x x x f

然后将

(]1,0四等分、八等分等等.一般的，对每个n ，作2n

个函数：

()2,...,2,1,1,0,1,12222)(n n n n n n j

j j j x j j x x f

=???

??????? ??-??

??

??-∈= 我们把

()

{}2

...,4,2,1,n

n j

j f

=先按j 的顺序逐个地排成一列：

()

()

()

),...(),...,(),(),...,(),(2

2

1

12

11

2x x x x x f f f f f n

n n ()1

)(x f n

j

在这个序列中试第j N n

+-=22

个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于

零的.这是因为对任何0>σ

，

()

]0[

σ≥-f

n j

E 或是空集（当1>σ），或是),10(,122≤

?

??-σ当n n

j j 所以 ()

2

1

])0[

(n

n j

f

E m ≤

≥-σ（当1>σ时，左端为0）.

由于当),...,2,1(222n

n

j j N =+-=趋于∞时，∞→n .由此可见

()

0])0[(lim =≥-∞

→σf

n j

N E m ，即

()

()0?x f n j

.

但是函数列（1）在(]1,0上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点(]1,00∈x ，无论n 多么大，总存在j ，使??

?

??-∈22,10n n

j j x ，因而()

()10

=x f n j

，然而()

()00

1

=+x f n

j 或

()

()00

1

=-x f n j ，换言之，对任何(]1,00

∈x ，在()

{()}00

=x f n j

中必有两子列，一个

恒为1，另一个恒为0，所以序列()1在上任何一点都不处处收敛，是发散的.

但是，在已知依测度收敛的条件下，是否就不能得出任何有关几乎处处收敛的信息呢？数学思想方法告诉我们，当向前进有困难时，我们可以以退为进.中国数学家华罗庚曾指出：“善于退，足够的退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个重要诀窍！”对于实变函数论做出重要贡献的数学家Riesz 在考虑这个问题时，就是一退为进的，建立了如下以他名字命名的定理.

2.4.2依测度收敛的函数列存在几乎处处收敛的子列 由黎斯（Riesz ）定理可证明.

黎斯（Riesz ）定理[1]：设在E 上可测函数列()}{x f n

依测度收敛于()x f ，则存

在子列

{()}x f

n i

在E 上几乎处处收敛于()x f .

证明：

对任何正整数S ，取2

21,1s s ==δε.由于

?

f

n

f

，所以存在正整数n s ，使

...2,1,1

2

=

s E ，

其中

]1

[2

s

n s

s

f

f

E E

≥

-

=

.不妨设 (2)

1<

==k

s s k

E E F

)\(.

由于

]1[\2

s

n s

s

f

f

E E

E <

-

=

， 所以

,...]1,,1

[

2

+=<

-

=k k s s

n s

k f

E F f

.

显然在F k 上，→

f

n s

f ()∞→n s ,（其实还是一致收敛的）.作 ∞

==1

k k F F ，则在F

上，

→

f

n s

f ()∞→n s ,.

现在只需证明0)\(=F E m 即可.由于下列关系

E E s s

k k

n s k k F E F E lim \\11

===∞=∞

=∞=

以及

12

11

1

=<∑

∑∞

=∞=s s

s s E m .再由上限集定义，则对任何自然数k ，

有

∞

=?k

s s s s

E E lim .

因此

)(0)lim (∞→→≤≤∑∞

=∞=k m m m k

s s k

s s s s

E E E .

从而得到 0)lim ()\(==E m F E

m s s

证毕.

2.4.3有限可测集上，几乎处处收敛一定依测度收敛 勒贝格定理[1]： （1）、∞

（2）、

}{f n

是E 上..e a 有限的可测函数列；

（3）、}{f n

在E 上..e a 收敛于.

.e a 有限的函数

f

，则

[]

0l i m =≥-∞

→σf f

n

n mE 即

f n

?f

证明：不妨设

}{f n

与f

处处有限.

对任意的正数0>ε，由叶果洛夫定理, 存在可测子集E E ?

δ,使εδ

}{f n

在()E E δ

\上一致收敛于f

.

对于任何0>δ,则存在0>N ,使当N n >时，有

()()()E E f f x x x n

δδ\,∈<-

因此，当N n >时，有E E f

f

n

?≥-

][δ,

故 εδδ<≤≥-

E f

m mE f n

][

.即}{f n ?f

.

证毕.

2.4.4在一般可测集上()∞=mE ，几乎处处收敛不一定依测度收敛 例：取，作函数列：

()=x f n (]

(]

....2,1,,0,0,1=??

?

+∞∈∈n n x n x

显然，当∞→n ，E x ∈时，(),1→x f n

.但是当10<<σ时，),

,(]1[+∞=≥-n E f n σ且∞=+∞),(n m .

这说明

}{f n

不依测度收敛于1.

结论：由依测度收敛不能推出几乎处处收敛.

从几乎处处收敛与依测度收敛的定义中可以看出，几乎处处收敛强调的是在点上的函数值的收敛（尽管除一个零测集外）；而依测度收敛不是指在那个点的收敛性，其要点在于点集

)(

σ≥-

f

f

n

E

的测度随n 趋于无穷而趋于零，而不论此点集的位置状态如何.即几乎处处收敛讨论

}{f n

按点收敛，依测度收敛讨论}{f n

的整体收敛性，这是两者的区别.

2.5 依测度收敛于近一致收敛的关系

无论是在有限还是在一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛 设函数列

}{f n

与函数f

都是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数，若

}

{f n

在E 上近一致收敛于

f

，则

f f n

?.

证明：

由条件对任意0>δ及0>σ，存在),(δσN N =及E 的可测子集E δ，且δδ=E m .当N n ≥时，对一切

E E x δ\∈，σ<-

f

f

n

，因此，对任意

E E x δ\∈，

)(

\),(

σσδ<-

?<-

∈∞

=∞

= N

n n

N

n n

f

f

E f

f

E E E x

于是对任何

)()(

σσ≥-

=

<-

-∈∞

=∞

= N

n n

N

n n

f

f

f

f

E E E x ，必有

E x δ∈，即E f f N

n n E δσ?≥-∞

=)( .综上所述，对0>δ，0>σ，存在),(δσN N =，

当N n ≥时， δσδ<≤≥-

∞

=E f

f

m E m N n n

))(

( ,

从而.)(

δσ<≥-

f

f

n

mE 由依测度收敛的定义可知，

?

f

n

f

.

2.6 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.

设

}{f n

为定义在可测集E 上的几乎处处有限的可测函数列，若?

f

n

f

于E ，

则存在子列}{f f n

n i ??

?

?

?

??，使f f n i ??→?近一致

于E .

证明：

>?δ，因为

?

f

n

f

于E ，所以

n

i

i ??,，使

2

]1[

i n i

i mE f

f

δ

<≥-

.不妨假定： (2)

1

<

令

]1

[

1

i

i i

f

f n

E E <-

=∞

= δ

， 则：

;

]1

[])1

[

()(1

1

1

2

δδ

δ=<≥-

≤≥-

=-∑

∑∞

=∞

=∞

=i i

i i i mE i E m m f

f

n i

f

f

n i

E E

且子列}{f f

n

n i ???

?

?

??在E δ

上一致收敛于i f 0

,0:?>?ε，使,10

ε

当i i 0

>时，

因

],1[]1

[

1

i

E i

E f

f

n i

f

f

n i

E i <-

?<-

=∞

= δ

故 ,E x δ∈?有

.1

10

ε<<<-

i f

f

n i

i 注：①、可测函数列的近一致收敛强于几乎处处收敛（参见Eropob 定理及其逆定理），所以2.6 是Riesz 定理的一个推广，而定理的证明较Riesz 定理的证明更为简洁.

②、存在依测度收敛但处处不收敛（当然更不近一致收敛）的函数列.

依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.

2.7 各个收敛的关系图

3 应用举例

例 3.1 设

}{f n

为定义在E 上的几乎处处有限的可测函数列，则?

f

n

f

于E

的充要条件为：对

}{f n

的任意子列?

????

?f n k 都可以从中再找出一个子列?

?????f n k i

，使???→

?近一致

f n

k i

f

于E .

证明：必要性：若

?

f

n

f

，则

}{f n

的任意子列?

???

??f n k ，显然有：}{f f n k

?.对

?

???

??f

n k 应用2.6，必有子列}{}

{f f n k

n k i

?，使????→

?近一致f n

k i

f

.

充分性：若不然，,0,00

0>>?

σε以及子列?

?????

f n k ，使 ...2,1,][

00=≥≥-k mE f f

n k

σε.

设子列

}}

{{f f n k

n k i

?，使f f n

k i

???→

?近一致

，则有

?

f

n k i

f

，此与

σε00][

≥≥-f f

n k i

mE 矛盾，故有

?

f

n

f

于E .

证毕. 例 3.2 设函数列{}f

n

与函数f 都是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数.若

对任何的0>δ，存在E E ?δ且δδ

n

在E

E δ

\上一致收敛于

f

，

则

{}f n

在E 上依测度收敛于f .

证明：对给的0,0>>δε，依假设存在E E ?

δ且()δδ

得当n n 0≥时，有

E E f

f

x n

δε\,∈<-

.

由此可知

}{E f f n

E x δ

ε?≥-∈:.

这说明当n n 0

≥时，有}{()δε<≥-∈f f n

E x m :

证毕.

例3.3[7]

设函数列{}f

n

与函数f

都是[]b a E ,=上几乎处处有限的可测函数，且有

→..e a n

f

f .则存在可测集[](),...2,1,=?n E b a n ，使得 01,=???

? ??∑∞=-????

????n E b a n m 而在每个→

f

E n

n ,

上f ()∞→n .

证明：题设条件已经符合叶果洛夫定理的全部条件，所以，对

n n n E E E n

n

m 1

1

,,0≤??>=δδδ使，

而在[]E n

b a δ

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f f

k

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于[]()

E E E n

b a n n δ-=,.

于是有

().,...2,111=≤≤??

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=n n E E n

n

m m n δδ 故

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m δ. 而

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n

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E E E E E E

n

b a b a b a b a b a δ

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??∞=的体积表示表示余集E 1,δδn

n E n 故

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E

b a m .

综上证明知道，[]E

E n

b a n δ

-=?,可测集，使得

[]0,1=??

? ??-∑∞

=n n E b a m ， 而在每个()∞→→

K f f

E k

n ,

上.

证毕.

例3.4 设

(),,...2,1..,=≤

?n E e a E g f f f

n n

于且于，

则

....E e a g f 于≤

证明：因

f

f

n

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{使子列

f f n

n k

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f

f

n k

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而由题设

(),...2,1..=≤

n E e a g f

n

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[](),,...2,12

,0=<>>?n g f mE n n εε

则有

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[]

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01

11

2

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→/+∑>≤∞

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n n

n f

f mE

g f mE f

f mE

g f E m mA n n k

k

即有 .0=mA 而在A E E -=0上有()E x g f n k

0∈?≤且()E x f f n k

0∈→.

故 ..l i m 0

E x g f f n k

k ∈≤=∞

→

即

....E e a g f 于≤ 证毕.

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

求函数解析式的几种常用方法

求函数解析式的几种常 用方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

求函数解析式的几种常用方法 一、高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 二、题例讲解: 例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )= )1 (1 2x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0

求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为

二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用

一些常用函数的曲线图及应用简说

1：正弦余弦曲线：更一般应用的正弦曲线公式为： A 为波幅（纵轴），ω 为（相位矢量）角频率=2PI/T，T为周期，t 为时间（横轴），θ 为相位（横轴左右）。 周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。 例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。 三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。 谐波数目递增的方波的加法合成的动画。 余弦函数的（通常是无限的）和；这是傅立叶分析的基础想法。例如，方波可以写为傅立叶级数： 在动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。 如果明白了上书基本原理，也就不难理解我所用的浮动频率合成曲线的道理。

2：指数函数：形如y=ka x的函数，k为常系数，这里的a叫做“底数”，是不等于1 的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍，可以用来表达形象与刻画发展型的体系，比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。 特例：应用到值x上的这个函数可写为exp(x)。还可以等价的写为e x，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还叫做欧拉数。 即函数： 定义于所有的a > 0，和所有的实数x。它叫做底数为a的指数函数。注意这 个的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数的存在。注意上述等式对于a = e成立，因为 指数函数可“在加法和乘法之间转换”，在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述: 它们对所有正实数a与b和所有实数x与y都是有效的。

函数解析式的七种求法(讲解)之令狐文艳创作

函数解析式的七种求法 令狐文艳 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求 )(x f 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 二、配凑法：已知复合函数 [()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时， 常用配凑法。但要注意所求函数 ()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数 [()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一 般用代入法。 例4已知：函数 )(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点 )3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'322 2y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得 672---=x x y 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求 )(x f 解 x x f x f =-)1(2)(① 显然,0≠x 将x 换成x 1 ，得：

浅议函数解析式的几种求法

浅议函数解析式的几种求法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴? ?????=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

各种函数图象

各种函数图象 底数与指数函数图像: (1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)》。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 (1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2) 对数函数的值域为全部实数集合。 (3) 函数图像总是通过(1，0)点。 (4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。 (5) 显然对数函数无界。

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的 函数称为幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。特性 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我 们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则 x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是 偶数，函数的定义域是[0,，?)。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)， 显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。因此可以看到x所受到的限制来源 于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为 负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以 是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。 定义域与值域

一元二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8 种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0；2、x 的最 高次数为 2 次． 例1、若y =（ m2+ m ）x m2 –2m 1是二次函数，则m = ． 2 解：由m + m≠0得:m ≠0，且m ≠－1 2 由m2–2m –1 = 2 得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不 唯一． 例2、（1）经过点A（0，3）的抛物线的解析式是． 分析：根据给出的条件，点 A 在y 轴上，所以这道题只需满足y a 2b c中的C=3，且a≠0即可∴ y 2 3 （注：答案不唯一） 三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a（ x –h）2 + k，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x –h 上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以 a 得值不变． 1 2 5 1 2 例3、二次函数y 23 的图像是由y 2的图像先向平移 2 2 2 个单位，再向平移个单位得到的． 1 5 1 2

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法 河北 高顺利 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．

例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解： 253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a

EXCEL表画曲线图方法

函数画曲线的方法用Excel引用1．用Excel 函数画曲线图的一般方法 因为Excel有强大的计算功能，而且有数据填充柄这个有力的工具，所以，绘制曲线还是十分方便的。用Excel画曲线的最大优点是不失真。大体步骤是这样的：⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft office”→”Excel”,以进入Excel窗口。再考虑画曲线，为此： ⑵在A1 和A2单元格输入自变量的两个最低取值，并用填充柄把其它取值自动填入； ⑶在B列输入与A列自变量对应的数据或计算结果。有三种方法输入： 第一种方法是手工逐项输入的方法，这种方法适合无确定数字规律的数据：例如日产量或月销售量等； 第二种方法是手工输入计算公式法：这种方法适合在Excel的函数中没有列入粘贴函数的情况，例如，计算Y=3X^2时，没有现成的函数可用，就必须自己键入公式后，再进行计算； 第三种方法是利用Excel 中的函数的方法，因为在Excel中提供了大量的内部预定义的公式，包括常用函数、数学和三角函数、统计函数、财务函数、文本函数等等。 怎样用手工输入计算公式和怎样利用Excel的函数直接得出计算结果，下面将分别以例题的形式予以说明； ⑷开始画曲线：同时选择A列和B列的数据→“插入”→“图表”→这时出现如下图所示的图表向导: 选“XY散点图”→在“子图表类型”中选择如图所选择的曲线形式→再点击下面的‘按下不放可查看示例'钮，以查看曲线的形状→“下一步”→选“系列产生在列”→“下一步”→“标题”（输入本图表的名称）→“坐标”（是否默认或

取消图中的X轴和Y轴数据）→“网络线”（决定是否要网格线）→“下一步”后，图形就完成了； ⑸自定义绘图区格式：因为在Excel工作表上的曲线底色是灰色的，线条的类型（如连线、点线等）也不一定满足需要，为此，可右击这个图，选“绘图区格式”→“自定义”→“样式”（选择线条样式）→“颜色”（如果是准备将这个曲线用在Word上，应该选择白色）→“粗细”（选择线条的粗细）。 ⑹把这个图形复制到Word中进行必要的裁剪； ⑺把经过裁剪过的图形复制到Word画图程序的画板上，进行补画直线或坐标，或修补或写字，“保存”后，曲线图就完成了。 2.举例 下面针对三种不同的情况举三个例子说明如下： 例1. 下图是今年高考试题的一个曲线图，已知抛物线公式是Y=2X^2 ，请画出其曲线图。 因为不能直接利用Excel给出的函数，所以，其曲线数据应该用自己输入公式的方法计算出来，画图步骤如下： ⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft Office”→”Excel”进入Excel界面；首先画抛物线，为此： ⑵在A1单元格输入“-10”;在A2单元格输入“-9”,并用填充柄把自变量的取值拖到“10”。具体方法是：选择A1和A2单元格，并把鼠标指针拖到A2单元格的右下角，使鼠标指针变成细十字型时，按住鼠标往下拖，直至出现”10”为止。这样，就把自变量x的取值都列出来了； ⑶利用输入公式的方法求出函数值，并把结果列在B列上与A列的自变量相对应的位置。为此：单击选定单元格B1→单击编辑区的空格，在空格栏出现竖直形状指针后，输入“= 2*A1^2”(见下图，这是计算机能认识的公式，且等号和乘号都不可省)→回车→这时在B1单元格将出现数值“200”→用填充柄把B列的数据填满。

函数解析式求法总结及练习题

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ? =+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3 2 1 2b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解 析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表 示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把???-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ． 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置

函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x

(2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

求函数解析式的方法

求函数的解析式的方法 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析. 一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 令t=3x+1， x= 31-t 3 54)(3314)(-=?+-?=?t t f t t f 练习1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式。 例题2．已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数 例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g . 解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c) 练习3．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式. 四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式 例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，x x f x f 14)(2)1(3?=+ 联立方程，得： ??? ????=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 练习4．若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . 五．利用给定的特性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f （x ）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x) 例题5设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +?=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表 达式. 由x>0时，x e x e x f +?=2)(，则x x e ex e x e x f --+=+-?=-22)()(

EXCEL曲线图

引用用Excel函数画曲线的方法1．用Excel函数画曲线图的一般方法 因为Excel有强大的计算功能，而且有数据填充柄这个有力的工具，所以，绘制曲线还是十分方便的。用Excel画曲线的最大优点是不失真。大体步骤是 这样的： ⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft office”→”Excel”,以进入Excel窗口。再考虑画曲线，为此： ⑵在A1 和A2单元格输入自变量的两个最低取值，并用填充柄把其它取值自动填入； ⑶在B列输入与A列自变量对应的数据或计算结果。有三种方法输入： 第一种方法是手工逐项输入的方法，这种方法适合无确定数字规律的数据：例如日产量或月销售量等； 第二种方法是手工输入计算公式法：这种方法适合在Excel的函数中没有 列入粘贴函数的情况，例如，计算Y=3X^2时，没有现成的函数可用，就必须自己键入公式后，再进行计算； 第三种方法是利用Excel 中的函数的方法，因为在Excel中提供了大量的 内部预定义的公式，包括常用函数、数学和三角函数、统计函数、财务函数、 文本函数等等。 怎样用手工输入计算公式和怎样利用Excel的函数直接得出计算结果，下 面将分别以例题的形式予以说明； ⑷开始画曲线：同时选择A列和B列的数据→“插入”→“图表”→这时出现如下图所示的图表向导:

选“XY散点图”→在“子图表类型”中选择如图所选择的曲线形式→再点击下面的…按下不放可查看示例?钮，以查看曲线的形状→“下一步”→选“系列产生在列”→“下一步”→“标题”（输入本图表的名称）→“坐标”（是否默认或取消图中的X轴和Y轴数据）→“网络线”（决定是否要网格线）→“下一步”后，图形就完成了； ⑸自定义绘图区格式：因为在Excel工作表上的曲线底色是灰色的，线条的类型（如连线、点线等）也不一定满足需要，为此，可右击这个图，选“绘图区格式”→“自定义”→“样式”（选择线条样式）→“颜色”（如果是准备将这个曲线用在Word上，应该选择白色）→“粗细”（选择线条的粗细）。 ⑹把这个图形复制到Word中进行必要的裁剪； ⑺把经过裁剪过的图形复制到Word画图程序的画板上，进行补画直线或坐标，或修补或写字，“保存”后，曲线图就完成了。 2.举例 下面针对三种不同的情况举三个例子说明如下： 例1. 下图是今年高考试题的一个曲线图，已知抛物线公式是Y=2X^2 ，请画出其曲线图。 因为不能直接利用Excel给出的函数，所以，其曲线数据应该用自己输入公式的方法计算出来，画图步骤如下：

函数解析式的七种求法(讲解)

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求 )(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴??????=-===32 12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知 221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的 解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直 线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数 )(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2 把? ??-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g

函数解析式的求法高中

函数解析式的七种求法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则 f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b ?a =2?a 2=4?a =-2或∴?∴??b =1b =3ab +b =3??? ∴f (x ) =2x +1或 f (x ) =-2x +3 二、配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域。例2 已知f (x +11) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式x x 解：f (x +111) =(x +) 2-2，x +≥2 x x x ∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2) 三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x ∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1, ∴f (x ) =x 2-1 (x ≥1) ∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0) 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y =x +x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式2 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M "(x ", y ") 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点 ?x "+x ?2=-2?x "=-x -4 则?，解得：?，y "+y "y =6-y ??=3?2 点M "(x ", y ") 在y =g (x ) 上 ∴y "=x "2+x " 把??x "=-x -4代入得："?y =6-y 6-y =(-x -4) 2+(-x -4) 整理得y =-x -7x -6 2 ∴g (x ) =-x 2-7x -6

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；