空间向量在立体几何中的应用典型例题

教师: 李老师 学生: 年级: 科目： 数学 时间: 2012 年 月 日 内容：

立体几何典型例题选讲(理科)

1 ．（福建省三地09-10学年高二五校联考（理））如图在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,点F

为棱CD 中点,点E 在棱BC 上 (1)确定点E 位置使⊥E D 1面F AB 1;

(2)当⊥E D 1面F AB 1时,求二面角11B AF D --的平面角的余弦值。

2 ．（广东省汕尾市08-09学年高二下学期期末考试（理））如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是B D ．BC

的中点,2====BD CD CB CA ,

2==AD AB

(Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD;

(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点E 到平面ACD 的距离.

A

C

D

O

B

E

3 ．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））如图,在直三棱柱1

11C B A ABC -中,21===AB BC AA ,BC AB ⊥?M 、N 分别是AC 和BB 1的中点? (1)求二面角111C C A B --的大小?

(2)证明:在AB 上存在一个点Q ,使得平面QMN ⊥平面C B A 11,并求出BQ 的长度?

4 ．（2009高考(陕西文)）如图,直三棱柱111ABC A B C -中, AB=1,13AC AA ==,∠ABC=600.

(Ⅰ)证明:1

AB AC ⊥; (Ⅱ)求二面角A —1AC —B 的大小?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

5 ．（北京市东城区08-09学年高二上学期期末）如图,已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点,PA ⊥平面

M

N

A 1

C 1

B 1

B

C

A

C

B

A C 1

B 1

A 1

P

A D

C B M

N ABCD,E 、F 分别是A B ．PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面PAD; (Ⅱ)求证:EF ⊥CD;

(Ⅲ)若,∠PDA=45°,求EF 与平面ABCD 所成角的大小.

6 ．（四川省遂宁市08-09学年高二下学期期末（文））如图,PA ⊥平面ABCD ,四边

形ABCD 是正方形,PA =AD =2,M 、N 分别是A B ．PC 的中点. (1)求二面角P -CD -B 的大小; (2)求证:平面MND ⊥平面PCD ; (3)求点P 到平面MND 的距离.

7 ．（瑞安中学2010届高三暑期总结性测试）如图,多面体ABCDS 中面ABCD 为矩形,

),0(,,>=⊥⊥a a AD AB SD AD SD 且.3,2AD SD AD AB ==,E 为CD 四等分点(紧靠D 点)?

(I)求证:AE 与⊥平面SBD

(II)求二面角A —SB —D 的余弦值?

8 ．（09北京崇文二模理）如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面积是等腰直角三角

形,∠A 1B 1C 1=90°,A 1C 1=1,AA 1=2,N 、M 分别是线段B 1 B ．AC 1的中点? (I)证明:MN//平面ABC;

(II)求A 1到平面AB 1C 1的距离

(III)求二面角A 1—AB 1—C 1的大小?

9 ．（09海淀高三查漏补缺数学）在直平行六面体1AC 中,ABCD 是菱

形,60DAB ?∠=,AC BD O = ,1AB AA =.

C B C 1 B

A 1

D (1)求证:1//C O 平面11AB D ; (2)求证:平面11AB D 平面11ACC A ; (3)求直线AC 与平面11AB D 所成角的大小.

10．（09北京西城二模理）如图,在直三棱柱111ABC A BC -中,,D 是AA 1的中点.

(Ⅰ) 求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小;

(Ⅱ) 求二面角C-B 1D-B 的大小;

(Ⅲ) 在B 1C 上是否存在一点E ,使得//DE 平面ABC ? 若存在, 求出1B E

EC 的值;若不存在,请说明理由.

11．（09北京宣武二模文）如图,在棱长为1的正方体

ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱BC 的中点,点F 是棱CD 的 中点?

O

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

1,1,2

AB BC AB BC AA ^===

(1)求证:D 1E⊥平面AB 1F;

(2)求二面角C 1—EF —A 的余弦值? 12．（09北京宣武二模理 ）如图,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,BB 1=BC=2,且M 是BC 的中点,点N 在CC 1上?

(1)试确定点N 的位置,使AB 1⊥MN;

(2)当AB 1⊥MN 时,求二面角M —AB 1—N 的大小?

13．（09北京朝阳二模文）如图,四棱锥S ABCD -的底面是矩形,SA ⊥底面ABCD ,P 为BC 边的中点,SB

与平面ABCD 所成的角为45?,且2AD =,1SA =. (Ⅰ) 求证:PD ⊥平面SAP ;

(Ⅱ)求二面角A SD P --的大小.

S A

C 1

B 1

A 1

M

N C

B

A

14．（北京丰台09高三一模理）(本小题共14分)如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,2,41==AB AA ,M 是

AC 的中点,点N 在1AA 上,4

1

=

AN ? (Ⅰ)求111A ACC BC 与侧面所成角的正弦值; (Ⅱ)证明1BC MN ⊥;

(Ⅲ) 求二面角M B C C --1的大小.

15．（武汉二中08-09学年高二年级下学期期末）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中, AB ⊥侧面11BB C C ,

E 为棱1CC 的中点, 已知2AB =, 12BB =,

1BC =, 13

BCC π

∠=

, 求:

M

A B

D

C

O

(1)异面直线AB 与1EB 的距离;

(2)二面角11A EB A --的平面角的正切值.

16．如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长

为1的 菱形,4

ABC π

∠=, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点?

(Ⅰ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅱ)求点B 到平面OCD 的距离?

17．（2009高考(湖北文)）如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方

形，

SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝

λa(0<λ≦1). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。

18．（广东省佛山一中2010届高三第一次模拟考试（理））如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 是

边长为1的菱形,4

ABC π

∠=, OA ⊥底面ABCD , 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点.

(Ⅰ)证明:直线//MN 平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离.

N M

D

C

A

B O

19．（2009高考(江西文)）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面

ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，4==AD PA ，2=AB ．以BD 的中点

O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点． （1）求证：平面⊥ABM 平面PCD ；

O

P

A B

C

D

M

（2）求直线PC与平面ABM所成角的大小；

（3）求点O到平面ABM的距离．

20．（2009高考(海南宁夏理)）如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的2

倍,P为侧棱SD上的点?

(Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,w使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由?

O

C D

B A

S

P