高考数学一轮复习函数系列之对数与对数函数学案
对数与对数函数
一．要点精讲
1、对数的概念：如果N a b =)1,0(≠>a a a 且，那么b N a =log 。 ⑴基本性质：
①真数N 为正数（负数和零无对数）； ②01log =a ；
③1log =a a ； ④对数恒等式：N a N a =log 。 ⑵运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
①N M MN a a a log log )(log +=；②N M N
M
a
a
a
l o g
l o g l o
g -=；③∈=n M n M a
n a
(l o g
l o g
R ）
。 ⑶换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
常用结论：①1log log =?a b b a ； ②b m
n
b a n
a m log log =
。 3.两种重要对数
⑴常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，N 的常用对数N 10log 简记作N lg . ⑵自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数叫自然对数，N 的自然对数N e log 简记作N ln . 2、对数函数：
⑴对数函数的定义: 函数）1≠a ，0＞a （log y x a =叫做对数函数，其中x 是自变量. ⑵对数函数图象和性质
二、课前热身
1、设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，
则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解：1)12(log )2(23=-=f ，22))2((11==-e f f 。 2.设2lg ,(lg ),a e b e c ===
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 解：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=
2
1
lge, 作商比较知c>b,选B 。 3、若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足(解析：由log x 7y =z ?x z
=7y ?x 7z
=y ，即y =x 7z
.) A.y 7
=x z B .y =x 7z
C.y =7x z
D.y =z x
4、若)
12(log 1)(2
1+=
x x f ，则)(x f 定义域为
A. )0,21(-
B.]0,21(-
C. ),2
1
(+∞- D.),0(+∞ 由???
??>+>+0)12(log 01221x x 解得??
???<->021x x ，故021<<-x ，选A 5、函数()x x f 2log =的图象是
6、方程11
2log 3=-）（x 的解x = ， 7、计算）（）（5.0log 2log 0.2log 5log 25542+?+= 五、典例解析 考点一：对数运算
1．计算：⑴2(lg2)lg2lg50lg25+?+ ⑵ 3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；
⑶ 1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+?； ⑷)246246(log 2-++.
⑶分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；
分母=4100
6lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+；∴原式=43
。
考点二：对数方程
2．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 。 解：原方程变形为2)1(log )1(log )1(log 2222=-=++-x x x ，
即412=-x ，得5±=x 。且?
??>+>-010
1x x 有1>x 。从而结果为5。
考点三：对数函数的概念与性质 3、函数2log 2-=
x y 的定义域是（ ）
A ．),3(+∞
B ．),3[+∞
C ．),4(+∞
D ．),4[+∞
4、若0＜x B.0＜log a (xy )＜1 C.1＜log a (xy )＜2 D. log a (xy )＞2 5、已知c a b 2 12 12 1log log log <<，则 A. c a b 222>> B. c b a 222>> C. a b c 222>> D. a b c 222>> 6、设5log 4a =，()2 5log 3b =，4log 5c =，则（ ）． Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c << 解：因为44log 5log 41c c =>==，50log 41a <=<，50log 31a <=<， 所以()2 5555log 3log 3log 4log 4b a = lg 10 x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+， B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-， C ．()3lg 31lg 10x y x +=+-=， D ．()3 lg 31lg 10 x y x -=--=. 故应选C. 8.（09 全国Ⅱ理）设323log ,log log a b c π=== A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 解： 322log 2log log b c <<> 2233log log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 9、求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝. 显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称. 又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜?y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜ 的图象如上图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）. 评述：研究函数的性质时，利用图象更直观. 10已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+） ，则(2008)(2009)f f -+的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 解：12 22(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=,故选C. 11设函数???>-≤=-1 ,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 D A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 12设函数()()2 12 log ,0log ,0x x f x x x >??=?--，则实数a 的取值范围是（ ）． Ａ．()()1001,,U - Ｂ．()()11,,-∞-+∞U Ｃ．()()101,,-+∞U Ｄ．()()101,,-∞-U 解: 若0a >，则212 log log a a >，即22log 0a >，所以1a >， 若0a <则()()122 log log a a ->-，即()22log 0a -<，所以01a <-<，10a -<<。 所以实数a 的取值范围是1a >或10a -<<，即()()101a , ,∈-+∞U ．故选C ． 13 （1）求函数f (x )的定义域； ⑵若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性。 （3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。 考点四：对数函数与二次函数的复合问题 14．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。 解：令 log x t y =， ∵1x >，1y >，∴0t >。 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t - +=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。 点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。 考点五：指数函数、对数函数综合问题 15、已知函数)10,0(log )(≠>>-+=a b a b x b x x f a 且。 ⑴求)(x f 的定义域； ⑵讨论)(x f 的奇偶性； ⑶判断)(x f 的单调性并证明。 16、已知函数)10)(1(log )(≠>-=a a a x f x a 且 ⑴证明：函数)(x f 的图象在y 轴的一侧； ⑵设()11,y x A ,()22,y x B ()21x x <是)(x f 的图象上两点,证明直线AB 的斜率大于0； 六、考点演练： 1、已知1,0≠>a a 且，函数)(log x y a y a x -==与的图象可能是 B 2、函数x y 2 1log =的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度b-a 的最小值是 A 、3 B 、 43 C 、2 D 、2 3 3、设函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且，若8)(200921=???x x x f ，则)()()(2 20092 22 1x f x f x f +???++的 值等于 A 、4 B 、8 C 、16 D 、2log a 8 4、已知 ) (x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f =+，又当12)()1,0(-=∈x x f x 时，，则 )6(log 2 1f 的值等于 （ ） A ．－5 B ．－6 C ．65- D ．2 1- 5、若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A. 4 2 B. 2 2 C. 4 1 D. 2 1 6、函数)(x f =log 2 1(3－2x －x 2 ）的单调递增区间是 7、方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2 +3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 8、已知56log ,7log ,3log 4232求b a == 9、设函数)(x f y =且)3lg()3lg()lg(lg x x y -+=. ⑴求)(x f 的表达式及定义域；⑵求)(x f 的值域. 对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)． 【基础再现】 1．对数的定义 如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质 5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log 分 数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ???=为偶数 为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1= - （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数 幂都适用 求值：4332 13 2)81 16(,)41(,100,8- -- ,23)425(-,423 981?,63125.132?? 计算：[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1 -++-+---- - 1.化简：（1）2 93 2 )- （2 （3） 《幂函数指数函数对数函数复习课》教学设计 教学内容分析 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型。根据我所任教的学生的实际情况，本节课是学生在已掌握了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的基础上，运用所学函数知识来解决一些实际问题，培养学生数学应用意识。 学生学习情况分析 学生通过本章学习，已经了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题。 课标要求 掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质. 掌握指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用。 教学目标 （一）知识目标 1. 掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质，并应用性质解决简单问题。 2. 通过指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，渗透数形结合、分类讨论、等价转化等思想。 （二）能力目标 1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力。 2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力。 3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力。 （三）价值目标 1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质。 2．培养学生观察分析、抽象概括能力、数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力。 3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用。 教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质。 教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用。 教学方法：启发发现法，分小组讨论展示。 教学过程： 一、基础知识梳理： 1、三类函数的定义： 幂函数 指数函数 对数函数 2、函数性质： 1）幂函数α x y =（α为常数，R ∈α） 幂函数的定义域、值域、奇偶性要结合具体的α值来看，但无论α取何值，幂函数的图像一定过定点（1,1） 当0<α时，在),0(+∞上，函数单调 ； §2.2.2对数函数及其性质学案 一．学习目标 1．知识技能 ①了解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养严谨的科学态度. 二．学习重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三．学法指导 1．复习指数式与对数式的转化各个字母的取值范围和对数运算法则. 2．动手画图并观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 3．做题时要注意数形结合的思想方法的应用. 四．复习回顾 1.指数式a b =N 中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 将指数式a b =N 改写成对数式为 ,其中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 2.log 1a = l o g a a = l o g n a M = 2(1)log 1= 12 (7)log 1= 2(2)log 2= 12 (8)log 2= 2(3)log 4= 12(9)log 4= 2(4)log 8= 12(10)log 8= 2(5)log 16= 12(11)log 16= 2(6)log 0.5= 12(12)l o g 0. 5= 五、课前预习 1.定义： 叫对数函数 (1)对数函数的自变量是 ； (2)对数函数的定义域是 ； (3)对数函数的值域是 ； (4)对数函数的定义中应注意什么？ 2.用描点法画出2y log x =和12 y log x =的图象 两图象间的关系 3. 同一个坐标系中画出4log y x =，3log y x =，13 log y x =和14 log y x =的图象 高三数学一轮复习 第10课时 对数函数学案 【学习目标】 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性． 【课本导读】 1．对数 (1)对数的定义 ． (2)对数恒等式 ①N a a log ＝ (a >0且a ≠1，N >0)．②log a a b ＝ (a >0，且a ≠1，b ∈R )． (3)对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0) ①log a (M ·N )＝ ；②log a M N ＝ ；③log a M n ＝ ． (4)换底公式 log b N ＝log a N log a b (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0)． 推论： ①log a b ·log b a ＝ ； ②log a b ·log b c ＝ ；③n a b n log ＝ ； ④n a b m log ＝ ． 2．对数函数 (1)对数函数的概念 函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)叫做对数函数． (2)对数函数的图 像 (3)对数函数的性质 ①定义域为 ，值域为 ．②恒过定点(1,0)． ③a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为 ；01，x >1时，log a x 0；当a >1,0 漯河体校师生共用教学案【43】 高一必修一 科目：数学 执笔：张亚丽 审核：数学组 内容:第二章 基本初等函数 课型：复习 学法：议展点练 时间：2014-12-1 教学目标： 1．全面认识和理解指数函数、对数函数的概念与基本性质，了解五种幂函数；并且能够清晰明辨三类函数，弄清它们的区别与联系； 教学重难点： 1．会运用三种函数解决一些相关的实际问题以及较简单综合问题； 2．会利用方程函数、数形结合、转化等数学思想方法解决与三类初等函数有关的问题； 3．在解题过程中引导学生探究、提问，促使学生形成良好的学习习惯，养成积极向上的学习精神；通过对相关知识的简介，使学生了解数学问题的实际背景，从而增强学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、知识梳理： 二、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()10,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 2.2.2 对数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解对数函数的性质． 2．掌握对数函数的单调性及其应用． 基础自测 1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 2．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞) 3．下列不等式成立的是( ) A ．log 32 对数函数最值问题 【例2】 已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值． 规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a 是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论． 变式迁移2 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 利用图象求参数范围 【例3】 若不等式2x －log a x <0，当x ∈??? ?0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ???=为偶数 为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1= - （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 求值：4332 13 2)81 16(,)41(,100,8- -- ,23)425(-,423 981?,63125.132?? 计算：[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1 -++-+---- - 1.化简：（1）2 93 2 )- （2 （3） 2.计算求值() ()( ) .322 510002.08330 1 2 13 2-+--+? ? ? ??--- - 3.÷--)8)(3(312 12 13 2b a b a )6(6 561b a - 4.化简代数式 .21 12 2112112----------+---+-b a b a b a b b a a 5.化简计算：（1）)2(4121y x -)2(4121y x + （2）42 34 32 1)(k n m - 6.已知22 12 1=+- a a ，求下列各式的值。 （1）;1 -+a a (2);2 2 -+a a 7.已知32x a b --=+, . 教学过程 一、知识讲解 考点/易错点1 对数与对数运算 （1）指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； （2）对数恒等式：log a N a N =. （3）基本性质：01log =a ，1log =a a . （4）运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ①()N M MN a a a log log log +=； ②N M N M a a a log log log -=?? ? ??； ③M n M a n a log log =； ④log log n m a a m b b n = （5）换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 推论：a b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a ；log log log a b a b c c ?= 考点/易错点2 对数函数：()1,0log ≠>=a a x y a 的图像与性质 注意：延箭头方向底数越大 ＞1 ＜ ＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 恒过点(1,0) 注意：（1）a y =与x y a log =的图象关系是关于y=x 对称； （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为 同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 考点/易错点3 与对数函数有关的复合函数问题 1、与对数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法： ①函数log [()]a y f x =的定义域为()0f x >的x 的取值； ②先确定()f x 的值域，再根据对数函数的单调性可确定log [()]a y f x =的值域； 2、与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： ①求复合函数的定义域； ②按复合函数的单调区间求法求解（用“同增异减”原则） 二、例题精析 【例题1】 【题干】（1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+? 【答案】见解析 【解析】（1）原式2 2 (lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24 =?=； 2.8 对数与对数函数 ●知识梳理 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系： a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N = b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1， N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象 <11)) 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基 1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是 C D 解析：f （x ）=? ??<<-≥.10,log , 1,log 22x x x x 答案：A 2.（2004年春季北京）若f － 1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的 反函数，则f － 1（x ）的值域为___________________. 解析：f － 1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f － 1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞） 3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 2 1（3－x ）］ 的定义域是__________. 解析：由0≤log 2 1（3－x ）≤1 ?log 2 11≤log 2 1（3－x ）≤log 2 1 2 1 ? 21≤3－x ≤1?2≤x ≤2 5. 答案：［2，2 5 ］ 4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x z D.y =z x 解析：由log x 7y =z ?x z =7y ?x 7z =y ，即y =x 7z . 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b 解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D ●典例剖析 学习内容 2.2 对数函数及其性质 【学习目标】 ①理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型. ②掌握对数函数的图像和性质. 二、学习重、难点 1、重点：对数函数及其基本性质； 2、难点：.对数函数图像及其应用【课前预习案】-------自主学习 1．一般地，我们把函数 _________ __________ （1 0≠ >a a且）称为对数函 数. 2.1 > a时，函数x y a log =的定义域为 _________ __________ ，值域为 _________ __________ ，单调 _________ __________ 区间 _________ __________ ， )1,0( ∈ x时，y _________ __________ 0， ) ,1(+∞ ∈ x时，y _________ __________ 0. 3.1 0< 0.（1） 指数运算：，a a a a a p p 0101 0=≠=≠-(()) （2）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的 次方根． 当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号 表示； 当n 是偶数时， 数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示； 0的n 次方根是 ；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 当n 为奇数时，a 为 ；当n 为偶数时， ． ③根式的性质：______n =； 当n 为奇数时，______a =；当n 为偶数时， (0) _____ (0) a a a a ≥?==? -0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)； 正数的负分数指数幂的意义是m n a -= (a>0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)； 0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 ． (2)有理指数幂的运算性质：a αa β＝ ，(a α)β＝ ，(ab)α ＝ ，其中a>0，b>0，α，β∈ Q. 2 对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作_____x =，其中a 叫做底数，N 叫做真 数． ② 数和 没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 ______0=，______1=，log _____b a a =． （3）常用对数与自然对数 常用对数： ，即10 log N ；自然对数： ，即log e N （其中 2.71828e =…） ． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法： __l ________o l _g __og a a M N += ②减法：log log _____a a M N -= ③数乘：log ______()a n M n R =∈ ④log _____a N a = ⑤log _____log (0,)b n a a M M b n R =≠∈ ⑥换底公式：log ______(0,1)log b b N b b a = >≠且 ⑦log _____1,log log _____a a b b b c ?== 对数与对数函数的教学设计 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一学过概念，时间比较长，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生高一到高三年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法。 三、教学目标： 1、知识与技能 （1）熟练掌握对数的运算性质，并进行化简计算． （2）熟练掌握对数函数的定义、图像与性质． （3）熟练运用对数函数的图像和性质解答问题． 2、过程与方法 （1）让学生通过复习对对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络． （2）对于公式性质要熟练掌握，． （3）通过掌握函数的图像和性质,懂得解决函数问题要做到数形结合． 3、情感．态度与价值观 使学生通过复习对数函数的运算、图像和性质，增强代数运算能力，培养研究函数问题的思维方法,． 四、教学重点： 1、理解对数运算； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质及图像初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图及应用； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动： 对数函数 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是 （ ） A ．)5,(-∞ B ．(2,5) C ．),2(+∞ D ． )5,3()3,2(Y 2．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么 （ ） A ．x =a +3b －c B ．c ab x 53= C ．53 c ab x = D ．x =a +b 3－c 3 3．设函数y =lg(x 2－5x )的定义域为M ，函数y =lg(x －5)+lg x 的定义域为N ，则 （ ） A ．M ∪N=R B ．M=N C ．M ?N D ．M ?N 4．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ ） A ．??? ? ?43,0 B ．??????43,0 C ．??? ???4 3,0 D ．?? ? ??+∞-∞,43 ]0,(Y 5．下列函数图象正确的是 （ ） A B C D 6．已知函数) (1 )()(x f x f x g - =，其中log 2f (x )=2x ，x ∈R ，则g(x ) （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如果y=log 2a －1x 在(0，+∞)内是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．｜a ｜＞1 B ．｜a ｜＜2 C ．a 2-< D ．21< 《对数函数及其性质》 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3.了解反函数的概念，知道指数函数x =与对数函数log a y a =互为反函数 y x () >≠． 0,1 a a 学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照． 知识回顾——复习 指数函数图象及性质： 要点一：对数函数的概念 1．函数 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为 ； （2）底数为 的常数； （3）对数的真数仅有 ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求 ，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意 ． 要点二：对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 性质 定义域： 值域： 过定点 ，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时， ＜0， 当x ≥1时， ≥0 当0＜x ＜1时， ＞0， 当x ≥1时， ≤0 关于对数式log N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起， 对数与对数函数 一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页） 1、对数与对数的运算性质 （1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。 （2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系： （4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N （5）、对数的运算性质： 如果，M>0,N>0 ，那么 =+ = =n（n） 换底公式：= 对数恒等式：=N 2、对数函数与对数函数的性质 （1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。 （2）、对数函数的图象及性质 图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分a1 与a<1两种情况。 3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。原函数的定义域是反函数的 值域，原函数的值域是反函数的定义域。互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。【关于反函数注意大纲的要求】 二、题型探究 探究一：对数的运算 例1： （15年安徽文科）= - +-1) 2 1 ( 2 lg 2 2 5 lg。 【答案】-1 【解析】 试题分析：原式＝1 2 1 2 2 lg 5 lg 2 lg 2 2 lg 5 lg- = - = - + = - + - 考点：对数运算. 例2：【2014辽宁高考】已知 1 3 2 a- =， 21 2 11 log,log 33 b c ==，则（）A．a b c >>B．a c b >>C．c a b >>D．c b a >> 例3：【2015高考浙江】若 4 log3 a=，则22 a a - +=． 【答案】3 3 4 . 【考点定位】对数的计算 探究二：对数函数及其性质 例4：【2014江西高考】函数) ln( ) (2x x x f- =的定义域为（） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ) ,1( )0, (+∞ -∞Y D. ) ,1[ ]0, (+∞ -∞Y 指数函数与对数函数复习课 一. 复习目标 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二．指数函数 1．指数函数定义： 地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ． 2．指数函数x y a =在底数及这两种情况下的图象和性质： 1a > 01a << 图象 性质 （1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞ （3）过点(0,1)，即0x =时1y = （4）在R 上是增函数 （4）在R 上是减函数 例1．求下列函数的定义域、值域： （1）121 8 x y -= （2）11()2x y =-（3）3x y -= （4）1(0,1)1 x x a y a a a -=>≠+ 练习1．当1a >时，证明函数1 1 x x a y a +=- 是奇函数 练习2．设a 是实数，2 ()()21 x f x a x R =- ∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。 分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生 注意不同题型的解答方法。 三 对数函数 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 2．对数函数的性质： （1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞． （2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数 函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。 同样：也分1>a 与10< 01a << 性 质 （1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R （3）过点(1,0)，即当1=x 时，0=y （4）在（0，+∞）上是增函数 （4）在(0,)+∞上是减函数 例1．求下列函数的定义域： （1）2 log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。 练习1．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 1 1 2x y = 2log y x = y x = （图1） 1 1 1()2 x y = 12 log y x = y x = （图2） (1,0) (1,0) 1x = 1x = log a y x = log a y x = 《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.1 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.对数与对数函数
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