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极点配置自适应控制器的设计

具有抑制噪声性质的极点配置自校正控制器设计

摘要:本文首先介绍了极点配置自校正控制器设计中的一些不足之处,然后提

出了一种极点配置自校正控制算法.它具有以下三个特点:(1)除了配置系统的闭环极点外,还可抑制噪声对系统输出的干扰;(2)与其他极点配置自校正控制算法相比,本算法所需的计算量大为减少;(3)理论上可得到算法的收敛性结果.该算法已在实际系统中得到了成功的应用。

关键字:极点配置 自校正 仿真 一、前言

极点配置自校正控制器在最近几年里得到了很大的发展,出现了许多自校正算法,但现有的各种自校正控制算法还存在一些不够完善之处。首先,由于这种控制器的控制目的是配置系统的闭环极点,所以,在控制器的设计过程中,对如何减少噪声对系统输出的干扰这个问题没有特别加以考虑;第二,计算量比较大,难以实时控制;第三,理论上不够完善,如现有的各种算法都没有收敛性证明。所以说,极点配置自校正控制器的理论和应用都不太成熟,有待于进一步发展。

二、算法

设所研究的系统由下面方程描述。

(1)

)e (t )C (q )u (t )(q q (t))(-1-1-k 1-+=B y q A 其中(t)y 为输出量,(t)u 为控制量,(t)e 为零均值白噪声且与t 时刻以前(不包括

t 时刻)的控制(t)

u 无关。

c

c b

b a a n n n n n n q

c q c q C q

b q b b q B q

a q

a A -1

-11--1

-101

--1

-11

-1)()(1)q (+???++=+???++=+???++=

)(1

-q A ,)(1

-q C 为稳定多项式,0

0≠b ,1-q 为延后一步算子。

对上述系统如采用如下控制律

)

()

()

()()

F(q )

G(q

-(t)1

1111

--1t y q F q

G t y u r --+

= (2)

其中(t)r y 为参考输入,)(1-q G ,)(1-q F ,)(1-1q G ,)(q -11F 为四个适当次数的多项。则可得闭环方程

(4)

(t )u (t )u u (t )(3) (t )(t )y (t )2121+=+=y y

其中

(5)

(t))

)G(q

(q q )(q )()

()()

(F )(q q (t)1

-1

-k

-1

-1

-1

-1-11

-1-1

-k

1r y B F q A q F q G q B y +?

=

为跟踪参考输入部分;

(6) (t))

)G(q (q q ))F(q A(q

)

)F(q C(q

(t)1

-1

-k

-1

-1

--1

-1

2e B y +=

为噪声所引起的扰动部分

(7)

(t))

)G(q

(q q )(q )()

()()

(F )

A(q

(t)1

-1

-k

-1

-1

-1

-11-1

-1-11r y B F q A q G q F q u +?

=

为跟踪参考输入所需的控制量

(8) (t))

)G(q (q q ))F(q A(q

)

)C(q

G(q

-(t)1

-1

-k

-1

-1

--1

-1

2e B u ?+=

为抑制噪声干扰所需的控制量。

为对于参考输入实现极点配置,应使下式成立。

(9) (t))

T(q )

)Z(q

(q q (t)1

--1

-1

-k

1r y B y =

其中)(1-q T ,)(1-q Z 由设计者给定,它们决定了系统对于参考输入的极点和部分零点。这里我们假设系统的开环零点都是希望的闭环零点。如此假设不成立时,可采用如下两种方法:1)假设原系统为最小相位系统,我们可取B T T '=。由式(9)可知,此时闭环传递函数为)(q )/T'(q -1-1-Z q k ,从而实现了零极点配置。2)如原系统是非最小相位系统,可将B 分解为稳定部分+B 和不稳定部分-B ,取

+

=B T T ',此时闭环传递函数为'/--T Z B q k

,从而实现了部分零极点配置。

为减少噪声对系统输出的干扰,应使指标函数

})(t )u ~

()k)(t {(2

222λ++=y E J (10) 最小。其中λ~

为某一常数。

不加证明地我们选取如下的控制器参数,可达到上述两个目的。

)()(1

-1

-q G q G =

(11)

)C(q )(q F )(q )(-1

-1

-1

1

-λ+=B q F (12)

))F(q (q )(-1

-1

1

-1T q F =

(13)

)B (q

))A(q )()C(q

(q )(-1

-1

-1

-11-1+=λZ q G (14)

其中)(1-q F ,)(1-q G 由下面方程解得。

)C (q )(q )()(-1-1-1-1-=+G q q F q A k (15) deg 1-)(1-k q F =,deg k)-n 1,-(n max )(c a 1-=q G ,02/~

b λλ= 于是,我们可以得到下面的显式自校正控制算法。

1)在时刻t ,用递推增广最小二乘法辨识系统(1)的参数)(1-q A ,)(1

-q B ,

)(1-q C 得到估计值)(q ?-1t A ,)(q ?-1t B ,)(q ?-1t

C 。 2)由方程)(q ?)q (?q )(q F )(q ?-11

1-1-k -1t -11C G A =+ (16) 解得)(q -1t F ,)(q ?-1t G ,其中deg 1-k )(q -1=t F ,1)-n k,-(n max ?deg a

c 1-=q G t ,然后计算 )(q C ?)(q B ?)(q F )(q ?-1t -1t -1t -1λ+=t F (17) )(q F ?)T(q )(q -1

t

-1

-1

1=t F (18) ))(q B ?)(q A ?)((q C ?)Z(q )(q -1t

-1t -1t -1-11+=λt G (19) 式(17),(19)中的λ的选取准则是使)B(q )(q -1-1+A λ成为一个稳定多项式。对于最小相位系统我们可取0=λ。

3)记由方程(t))

(q F ?)(q ?(t))(q F ?)(q G ?-(t)1-1t -1t

11-t -1t r y G y u +=得到的(t)u 为1M ,则取 t 时刻的控制量为

(t )u 11M )s g n (M {

M ?=

M

|M |M |M |12≤>如果如果

其中M 为一考虑工程上对控制量所加的限制而给定的正数。此控制器具有“结

合型”性质,即兼有极点配置自校正控制器和最优型自校正控制器的特点。对于参考输入,系统具有所希望的闭环极点,这有利于利用工程师们的实际经验设计出一个满意的跟踪系统。而对于噪声,控制器使(10)式的指标函数J 达到了最小, 从而减小了噪声对输出的影响,提高了跟踪精度。

本算法的另一优点是计算量小。一般的极点配置自校正控制器在每一采样周期内要解一个形如))C(q T(q ))G(q B(q )(q )(-1-1-1-1-11-=+F q A 的多项式方程,这相当于解一组k n n b a ++维的线性方程组。当原系统的阶数较高时,其计算量是很大的。在本算法中,这个方程被简化为)C(q )(q )()(-1-11-1-=+G q q F q A k ,我们只需用)(1-q A 除以)(1-q C ,得到k-1阶商式即为)q (1-F ,余式为)(1--q G q k ,另外方程

(12),(13),(14)也只需经过几次多项式乘法即可得到。所以,同其他极点配置自校正控制算法相比,本算法所需的计算量大为减少,从而提高了控制器的实时控制能力。

在本算法中,我们假设延时k 是已知的。如果k 事先并不知道时,我们可按k=1的情形设计控制器。这样做的结果有可能使系统失去抑制噪声的能力。但系统 的跟踪性质并不会受到影响。也就是说,当时延k 事先不知道时,控制器同样可达到极点配置的目的。

由方程(3)和方程(15)~(11)可知,系统的理想闭环方程为

(20) (t))

B(q )A(q )

F(q (t))

T(q )

)Z(q

(q q (t)1

-1--1

1

--1

-1

-k

e y B y r ++

=

λ

设在相同的参考输入和噪声干扰情况下,理想系统(20)的输出为(t)*y ,按上述自校正控制算法得到的输出为(t)y ,则有以下的收敛性定理

定理 对系统(1),如采用本文所述的自校正控制算法,且满足 1)(t)r y 有界;

2)1/2-)(q 1/-1C 严格正实;

3)0/lim 1->∞

→t P t t ,t P 为递推增广最小二乘法中的增益矩阵;

4)λ的选择使)B(q )(q -1-1+A λ为稳定多项式。且1=ρ,ρ为递推增广最小二乘法中的遗忘因子;

5)对充分大的t 有|M u t <|则有

0y (t ))-(t )

(y lim *=∞

→t 三、仿真结果

设被控对象为如下(本例子中加入两人有色噪声):

2)

-0.6065y(k 1)-1.6065y(k -(k)+y

1)-(k 0.5(k)4)-0.0902u(k 3)-(k 0.1065ξξ+++=u 式中,(k)ξ为方差为0.01的白噪声。

期望传递函数分母多项式为 2

--1

-1m 4966.01.3205z

-1)(z z

A +=

取初值0.001(0)?10)0(6==θ、I P ,遗忘因子1=ρ;期望输出(k)r y 为幅值

10的方波信号。极点配置自校正控制间接算法也可分两种情况进行仿真,仿真结果如下如所示:

(1)考虑系统零点不被对消的情况(仿真程序中V al=0.0)

极点配置自适应控制器的设计

(a)控制效果

极点配置自适应控制器的设计

(b)对象参数估计结果

以上(a)、(b)两图为极点配置间接自校正控制零点不对消的情况。仿真程序见附录

(2)考虑系统零点被对消的情况(仿真程序中取V al=0.9)

极点配置自适应控制器的设计

(c)控制效果

极点配置自适应控制器的设计

(d)对象参数估计结果

可见本算法在减少噪声干扰方面的效果是非常明显的。

四、参考文献:

[1]一种具有抑制噪声性质的极点配置自校正控制器郑勤中国科学技术大学

[2]自校正控制器袁著祉中北大学

[3]抑制未知确定性扰动的极点配置自适应控制刘贺平孙一康

北京科技大学自动化信息工程学院北京100083

[4]自校正控制器控制规律的快速解算陈慧清梁慧冰

[5]一种简单的多变量极点配置自适应控制方案吕民张成乾

[6]极点配置自校正PID控制算法及其应用武省陈述平王研张宏宇