第五章固体能带理论II5.3

5.3 晶体的能带结构

1 导体、半导体和绝缘体的能带解释

能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。

满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即

()()k k -=n n E E (5.3.1) 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。在同一能带中k 和 - k 态具有相反的速度：

()()k k --=υυ (5.3.2) 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。

即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。

导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。

根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。

本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。

在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm -3。是普通金属的10-5。Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。

近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为

()k υq - (5.3.3) 而且

()()[]0=-+k k I υq (5.3.4) 或

()()k k I υq = (5.3.5)

表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。

存在外加电磁场时，假如在空态k 放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。在任何时刻有：

()()()[]{}()[]{}B k E B k E F k k I ?+=?+-===*

**υυυq q m q m q m q dt d q dt d 2 (5.3.6) 大括号内恰好是一个正电荷q 在电磁场中受的力。价带顶电子的有效质量*m 为负值，所以在有外加电磁场时，近满带的电流变化，如同一个带正电荷q 、具有正有效质量*m 和速度()k υ粒子的电流。这个假想的粒子称为空穴。空穴的概念对于处理近满带导电问题非常方便。

2 费米面构造法

哈里森费米面构造法 膺势法在某种程度上使近自由电子模型得到推广。费米能级是电子占有态和未占有态的边界面。哈里森（W.A.Harrison ）提出如下自由电子模型构造费米面的方法：这个方法分成两步：第一步先画出自由电子的费米面(1) 利用()k n E 是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的广延图形。(2) 用自由电子模型画出费米球。(3) 落在各相同布里渊区的费米球碎片平移一倒格矢到简约布里渊区中的等价位置。第二步由自由电子费米面过渡到近自由电子费米面必须注意下面事实：(1) 布洛赫电子与晶格周期势场的相互作用在布里渊区边界处产生能隙，(2) 可以证明费米面几乎总是与布里渊区边界面垂直交截，

(3) 晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化，(4) 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，而不依赖晶格相互作用的细节。

(a) (b) (c) (d)

图5.3.1 二维自由电子费米面。(a) 在广延布里渊区中分布在四个布里渊区中。(b)第一布里渊区的量子态全部被电子填满；(c)第二布里渊区中碎块平移到简约区中。(d) 第三布里渊区中碎块平移到简约区中。

图5.3.2 第二布里渊区和第三布里渊区中的费米面。晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化

布里渊区边界处能带的斜率为零 由于能带()k E 在k 空间具有反演对称性，因此：

()()k k -=E E ；

k

k -??-=??k E k E (5.3.7) 又因为()k E 是k 的周期函数。周期为K h ，所以：

()()h E E K k k +=；

h k E k E K k k +??-=?? (5.3.8) 在布里渊区边界上2/h K k =，根据上面两组公式有：

22h

h

k E k E

K K -??-=??； 22h

h

k E k E K K -??=?? (5.3.9)

两式相加可得：

02=??h

k E

K (5.3.10)

如果能带在布里渊区边界上简并，这个论证可能失效。

电子轨道、空穴轨道和开放轨道 在静磁场中，电子在垂直于磁场的平面上沿等能曲线运动。费米面上的电子沿费米面上的一条曲线运动。环绕被充满电子能态的轨道是电子轨道；环绕空态的轨道是空穴轨道，从一个布里渊区到另一个布里渊区运动而不封闭的轨道称为开放轨道。处于近乎被充满的能带顶端的空轨道给出类空穴轨道，开放轨道对磁致电阻有重要影响。

图5.3.3 空穴轨道、电子轨道和开放轨道。

3 德· 哈斯－范· 阿尔芬效应

德· 哈斯－范· 阿尔芬效应 1930年德· 哈斯（De Hass ）和范· 阿尔芬（Van Alphen ）在低温下强磁场中研究了铋单晶的磁化率，发现磁化率随强磁场变化而呈现出振荡。后来在很多金属中都观察到了类似的振荡现象。分析表明，磁化率随磁场的倒数呈现周期性的变化。这种现象称为德· 哈斯－范· 阿尔芬效应。这种现象必须在低温下才能观测到，因为不希望电子的布居振荡被相邻能态的热布居平均化。实验用的样品必须非常纯净，否则电子轨道的量子化由于碰撞而模糊。德· 哈斯－范· 阿尔芬效应和金属费米面附近电子在强磁场中的运动相关，因而同金属费米面结构密切相关，已经成为研究金属费米面的有效方法。

二维自由电子模型 在绝对零度温度下，二维自由电子的能量为：

()m

k E 22

2 =k (5.3.11) k 的取值在k x -k y 平面内。应用周期性边界条件可得k 的取值为：

222111b b k N n N n +=

(5.3.12) 波矢在k 空间的密度为S

42π，S 为二维晶体的面积。波矢0到k 范围内的粒子态总数为：

2

42 πππmSE S k =? (5.3.13) 由此可得二维自由电子气的能态密度为

2 πmS ，与能量E 无关。在垂直平面的强磁场中，能量本征值为一

系列分立的的朗道能级： E n n =+?? ??

?120 ω (5.3.14) 二维自由电子气具有准连续的能谱，在垂直强磁场中，聚集为间隔为 ω0的分立能级，这种改变是量子态的重新组合，量子态的总数应该不变。

图5.3.4 磁场中二维自由电子气的准连续能级和朗道能级

因此每一个朗道能级是高度简并的，包含的量子态的数目等于原来准连续能谱中能量间隔为 ω0内的量子态数，因此朗道能级的简并度D 为：

D mS

qS B =?=πωπ

20 (5.3.15) 由此可见，每一个朗道能级的简并度D 与外磁场B 成正比。如果在某一磁场值B 0，恰好使λ朗道能级上填满电子，而λ + 1朗道能级上没有电子，即满足：

λD N = (5.3.16) 其中N 为总电子数。此时费米能级为：

()E F 001=+λω (5.3.17)

磁感应强度的倒数为：

10B qS N =λπ (5.3.18) 全填满能级中的二维自由电子气系统的能量为：

()D n D n ωωλλ

000212121+?? ???=+=∑ (5.3.19)

图5.3.5 朗道能级上电子的布居数随磁场的变化

如果磁场变小到B 1，朗道能级的间隔减小，每一个朗道能级的简并度也减小，电子将填充到λ+1朗道能级上，因为每一个朗道能级能接纳的电子数就是它的简并度，λ+1朗道能级上电子的填充几率从0

开始增加，二维自由电子气系统的能量不断增加，原来准连续能谱中能量小于λω++?? ??

?1121 朗道能级的电子的能量被提升到朗道能级，系统的能量在λ+1能级上填充

D 2个电子时达到极大值，λ+1能级上填充电子数超过D 2

时，由于准连续能谱中高于朗道能级能量的电子要降低能量到朗道能级，因此系统的能量下降。当磁场降低到恰好使λ+1能级上全部填满电子后，系统能量才停止下降。当磁场继续减小时，电子开始填充λ+2朗道能级，系统能量开始新一个周期的增加和减小。因此二维自由电子气系统的能量随外加强磁场周期性变化。当B 1减小到使λ+1朗道能级完全填满时：

()111B qS N

=+λπ (5.3.20) 因此从填满λ朗道能级到λ+1朗道能级磁场倒数变化为：

?111210B B B qS N q S F

?? ???=-==ππ (5.3.21) 其中

S k N S

F F ==πππ22 (5.3.22) 在绝对零度温度下，系统的磁矩为：

B

E M ??-

= (5.3.23) 由于系统总能量随1B 周期性振荡，变化周期为2πq S F ，因此磁化率也随1B 周期性振荡，变化周期也为2πq S F ，这就是德· 哈斯－范· 阿尔芬效应的物理原因。

三维情况 在三维情况下，在外加强磁场沿z 方向时，自由电子能量本征值为：

E n k m

n z =+?? ???+122022 ω (5.3.24) 在与磁场垂直的平面内轨道是量子化的。沿磁场方向k z 的取值是准连续的。在k 空间形成一系列的“圆柱面”，通常称为朗道筒，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n ，可以看成是一个子带，在每个子带中只有一维自由度k z ，很容易证明，若z 方向的长度为L ，则一维自由电子能态密度函数为：

()N E L m E k k z z =-221π

(5.3.25)

所有子带能态密度的总和为：

()N E D L m

E n n =-+?? ?????????-∑2212012πω (5.3.26) 在能量为n +?? ??

?120 ω处出现峰值。与二维情况类似，加入强磁场后，每个朗道能级上简并度发生变化，系统能量将随1B 周期性振荡，磁矩M 也将随1B

周期性振荡。与费米球相切的圆柱面上的电子k z →0，它对峰值能态密度的贡献最大，磁矩M 随

1B 振荡的周期，取决于最大截面S F ，又称为极值截面。

(a ) (b ) 图5.3.6 (a )磁场中三维自由电子气在k 空间形成的子能带，(b ) 磁场中三维自由电子气的能态密度

图5.3.7 铜的德· 哈斯－范· 阿尔芬效应

4 典型金属的能带

碱金属 它们的离子实是惰性气体电子壳层结构，内层电子根据紧束缚的原子轨道线性组合可得形成能量较低的很窄的紧束缚能带。

图5.3.8 碱金属的费米球

如果在碱金属中的传导电子看成是完全自由的，自由电子只填满导带的一半。其费米面为一球面，半径为：

k n a F 32332π== (5.3.27) a 为体心立方单胞的晶格常数。因此

??

? ??=??? ????? ??=a a k F πππ2620.02433/1 (5.3.28)

图5.3.9体心立方金属费米面的布里渊区边界效应

从第一布里渊区中心到它的边界面的最短距离为：

()()ΓN =?? ???++=?? ??

?2007072122

122

ππa a . (5.3.29) 因此自由电子的费米球完全在第一布里渊区内，费米面偏离球面很小。

贵金属：以铜为例，它们的内层离子实是惰性气体电子壳层结构，内层电子根据紧束缚的原子轨道线性组合可得形成能量较低的很窄的紧束缚能带。

图5.3.10 计算得的铜的能带，下图为自由电子能带

外层有10个3d 电子和一个4s 电子，这11个电子至少形成6个能带，其中有5个能带相对较窄，位于费米能级下2-5 eV 处，通常称为d 带，第六个能带较宽，能量范围在费米能级以上7 eV 到以下9 eV ，通常称为s 带。对于半满的面心立方晶体的自由电子能带的费米面是球面，完全处于第一布里渊区内，第一布里渊区中心到边界面的最短距离为到<111>方向正六边形中心的距离a

π3L =Γ，费米半径3/13212???? ??=a k F π与ΓL 的比值为0.903。由于周期势场的影响，贵金属费米面在第一布里渊区8个六边形边

界面处，伸出8个脖子，与边界面正交，相邻的四个费米球连结可以形成所谓“狗骨形”（dog’s bone ）轨道，这是类空穴轨道。

图5.3.11 贵金属费米面上的电子轨道、空穴轨道和开放轨道

二价金属二价金属在元素周期表中是紧靠在碱金属和贵金属右边的。它们受填满d带的影响较小。能带计算表明，对于Zn和Cd，d带完全位于导带底以下。对于水银，d带和导带的交叠仅仅在导带底非常窄的区域。IIA族的Be和Mg为六角密积结构；Ca和Sr是面心立方结构；Ba是体心立方结构。IIB族的Zn和Cd为六角密积结构。对于立方晶格的Ca、Sr和Ba因为每个原胞内有两个电子，原则上似乎应该是绝缘体。在自由电子模型中，费米球和第一布里渊区有相同的体积，并且和布里渊区边界面相交。这样自由电子费米面在第一布里渊区内有相对复杂的结构，有少部分电子在第二布里渊区。按照近自由电子模型，问题是有效晶格势即膺势是否足够强到将第二布里渊区中的电子全部收缩到第一布里渊区内，填满所有在自由电子模型中未被填充的能级。实际上所有IIA二价元素都是导电的碱土金属。具有三角布拉伐格子的水银要求研究k空间讨厌的不熟悉的几何结构。但是实验表明，在第二布里渊区有少量电子。对于六角密积结构的二价金属，每个原胞有两个原子，4个价电子。实验数据表明它们的费米面或多或少地可以辨认出非常复杂结构的畸变，这个复杂结构是根据每个六角布拉伐格子中有4个电子按照自由电子模型画出的，这个结构被布喇格面切成碎片。所有六角密积结构金属的复杂特征起因于第一布里渊区六边形面上结构因子不考虑自旋轨道耦合时为零。弱周期势即膺势在中心布喇格面上自由电子能带不产生一级近似的分裂。这个事实超出了近自由电子近似：一般地说，如果自旋轨道耦合可以忽略，在

六边形布喇格面上至少是二重简并的。

图5.3.12 碱土金属Be 的费米面

三价金属 铝的费米面非常接近于每个原胞有3个传导电子的面心立方布拉伐格子的自由电子的费米面。可以证明这时自由电子的费米面完全处于第二、第三和第四布里渊区内。将第二布里渊区内的费米面显示在简约区中是含有未占据能级的封闭的结构，将第三布里渊区内的费米面显示在简约区中是复杂的细管状结构。将第四布里渊区内的费米面是非常少的，只有极少数占据的电子能级。弱周期势效应消除了第四布里渊区极少数电子的效应。将第三布里渊区的费米面简约成一系列不相互连结的环。根据半经典理论铝在高磁场中霍尔系数为

()e

n n R h e H --=1 (5.3.30) 其中n e h , n 为费米面上包含在电子和空穴轨道单位体积的能级数。因为铝的第一布里渊区完全被电子填满，相应于占据了每个原子中的两个电子。每个原子三个价电子中剩下的一个价电子填充第二和第三布里渊区中的能级。因此：

n n n e e II III +=3

(5.3.31)

这里n 为3价铝金属中自由电子密度。另一方面任何布里渊区中的能级总数都可以填充每个原子的两个电子。因此

??

? ??=+32I I I I n n n h e (5.3.32) 两式相减得到：

n n n e h III II -=-3

(5.3.33) 因此，金属铝在高磁场中的霍尔系数大于零，为：

03>=ne

R H (5.3.34)

图5.3.13 金属铝的费米面

四价金属 和铝类似，铅具有面心立方布拉伐格子，它们的自由电子费米面也非常相似。除去它的费米球体积比铝大三分之一，因此费米球半径大百分之十。伴随每个原子有4个电子，在第四布里渊区中的电子数远大于铝，但是因为晶体势场仍然可以被忽略。在第二布里渊区中的空穴费米面小于铝，在第三布里渊区中管状的费米面变得粗一些。因为铅有4个价电子，因此第二和第三区费米球区域必定含有相同的的能级数：

n n h e

II III (5.3.35) 因为第三布里渊区费米面的轨道不全是单一载流子类型，铅的电磁性质比较复杂。

图5.3.14 面心立方4价金属的自由电子费米面

半金属由碳组成的石墨和导电的5价元素是半金属。半金属的载流子浓度比一般金属的载流子浓度1022 / cm3小几个量级。石墨具有简单六角布拉伐格子，每个原胞中含有4个碳原子。垂直于c轴的点阵面为蜂窝状排列。这种结构是特殊的，沿c轴两个点阵面之间的距离几乎是点阵面内最近邻原子间距的2.4倍。这里没有任何能带交叠。其费米面由极少量的电子和空穴组成，载流子浓度约为n e= n h = 3 ? 1018 / cm3。

非绝缘体的5价元素As ([Ar]3d104s24p3)，Sb ([Kr]4d105s25p3)和Bi ([Xe]4f145d106s26p3)都是半金属。它们具有相同的晶体结构。基元中具有两个原子的三角布拉伐格子。每个原胞中含有偶数个传导电子。它们变得非常接近于绝缘体，都是由于存在微小的能带交叠，导致非常小的载流子数，Bi的费米面包含几个偏心的椭球形电子和空穴袋，总的电子密度约为 3 ? 1017 / cm3。类似的电子空穴袋在Sb中也发现了，虽然明显的不是椭球形，其电子（或空穴）密度约为 5 ? 1019 / cm3。在As中共有电子的密度为 2 ? 1020 / cm3。电子空穴袋也偏离椭球形，它们通过细管连结成扩展的费米面。这样低的载流子密度可以解释为什么5价金属偏离自由电子理论。很小的电子空穴袋暗示很小的费米面面积和很小的费米能级上的能级密度。这就是为什么Bi的比热线性项仅仅是一个5价元素自由电子理论值的百分之五。其电阻率是大多数金属的10到100倍。有趣的是这三种半金属的晶体结构仅仅是简单立方布拉伐格子的微小畸变，可以这样构成：取一个NaCl结构，沿<111>方向稍微拉伸，使三个立方轴之间相等的夹角略小于90?，沿<111>方向稍微移动每一个Cl原子，然后用Bi原子代替所有的Na和Cl原子的位置，这样就构成了Bi的结构。5价半金属提供了晶体结构在决定金属性质上的关键性的重要性。如果是严格的简单立方布拉伐格子，有奇数个价电子，它将是很好的金属，从立方晶格微小的畸变引起的能带隙使有效载流子浓度变化了5个数量级。

过渡金属元素周期表中三排从碱土金属到贵金属之间，每一排有9个过渡金属元素，每一排的d壳层在碱土金属中是空的，而在贵金属中是填满的。这些过渡金属稳定的室温结构为面心立方、体心立方或六角密积结构。它们都金属性质在很大程度上由d电子决定。计算的过渡金属能带结构表明，d能带不像贵金属那样位于导带之上，而是延伸通过费米能级。当费米面上的能级为d电子能级时，紧束缚近似比

近自由电子或正交化平面波方法更好，估算费米面结构。不再有任何原因期望过渡金属的费米面可以由

自由电子费米球稍加畸变得到。d带比典型的自由电子导带要窄，必须有足够多的能级容纳10个电子。因此有很高的能态密度。这个效应可以在低温电子比热中观察到。部分填满的d带引起显著的磁性质，必须考虑电子自旋相互作用。

图5.3.15 体心立方金属钨的费米面

稀土金属在La和Hf之间的元素是稀土金属。它们原子的电子组态中有部分填满的4f壳层。类似于部分填满过渡金属的d壳层，可以导致磁性质的变化。典型的稀土金属原子的电子组态为[Xe]4f n5d(1 or 0)6s2。它们可能有很多类型的晶体结构。但是在室温通常是六角密积结构。通常在处理导带时每个原子含有的电子数为标称的化学价，很多情况下是3价。除去5d原子能级的影响，导带类似于类自由电子的，即4f 能级没有混合进来。初看起来非常吃惊，一般以为4f原子能级展宽成部分填满的4f能带。这样一个能带像任何部分填满的能带一样，含有费米能级，至少费米面上的某些能级具有很强的4f特征。但是稀土金属费米面上的能级只有非常小的4f特征。关键性的差别是稀土元素中4f原子轨道比最高占据的过渡金属元素中的原子d能级要局域得多。结果是好像独立电子近似对4f电子完全失败，因为它们满足紧束缚分析中产生窄的部分填充能带的必要条件。在每一个原子位置上的4f电子之间的相互作用足够强，产生局域磁矩。有时认为稀土金属中的4f能带分裂成两个很窄的部分：一个完全填满的能带在费米能级以下，另一个完全空着的能带在费米能级以上。这个图像是半信半疑的，但是如果要应用独立电子模型于4f电子，这是最好的结果。4f能带两部分之间的能隙试图表示非常稳定的4f电子在填满部分能带的自旋排布，在这种排布中，任何其它电子都不可能加入。

5 金属绝缘体转变

在一定的外界条件下，晶体可以呈现出从导体到非导体的转变，称为金属－绝缘体转变。这里介绍几种典型的转变机制。

Wilson转变每个原胞中有偶数个价电子的晶体，似乎应该是绝缘体，但是实际上由于存在能带交叠，它们呈现出金属的性质。压力和温度可能改变晶体能带之间的相对关系，贝尔纳(Bernal) 认为任何非导体在足够大的压强下都可以实现价带和导带的重叠，从而呈现出金属导电性。近代高压物理的发展，为这一预言提供愈来愈多的证据。典型的例子是低温下固化的惰性气体在足够高的压强下发生金属化的转变。1979年Ruoff等人利用33 GPa的静高压，使Xe的5d带和6s能带发生交叠，实现了Xe的金属化转变。这种与能带是否交叠相对应的金属－绝缘体转变，称为Wilson转变。从非金属态转变成金属态所需

的压强称为金属化压强。

Perierls 转变 晶格结构变化引起的金属－绝缘体转变称为Peierls 转变。以一维情况为例，设想一维布拉伐格子每个原胞中只有一个价电子，此一维晶体只有一个半满的导带。当相邻原子之间有一个小位移时，变成了每个基元中有两个相同原子的一维复式格子，每个原胞中有两个价电子，晶格常数增加一倍，而倒格子基矢缩短一半，第一布里渊区体积减小一半。原胞数是原来的一半，第一布里渊区内能容纳的电子数正好是原胞数的两倍，即导带变成了满带从而由金属变成了绝缘体。这种转变称为Peierls 转变。 Mott 转变 设想有N 个氢原子逐渐靠近排列成晶体，当每个原子只有一个电子时，相当于中性氢原子；当每个原子有两个电子时，相当于氢的负离子态，电子之间的库仑排斥作用使它们之间有正的相关能U （有时称为Hubbard 能）。如果以ε0表示第一个电子的能量，ε0+U 表示第二个电子的能量。当氢原子之间相互靠近时，能级展宽成能带，分别称为下Hubbard 带和上Hubbard 带。当相邻原子电子的波函数重叠很小时，能带宽度很窄，上下Hubbard 带是分开的，下Hubbard 带是满带，上Hubbard 带是空带，晶体呈现绝缘体性质。当原子逐渐靠近，上下Hubbard 带发生交叠，而且都变成了部分填充的能带，呈现出金属电导的性质。这种由上下Hubbard 带引起的金属－绝缘体转变称为莫特（N.F.Mott) 转变。 Anderson 转变 在无序系统中，电子本征态波函数不再是布洛赫函数，其电子本征态可以分为两类：一类称为扩展态；一类称为定域态。扩展态波函数遍及整个材料之中，而定域态波函数局限在某一局域范围之内。电子能态密度在带顶和带底区域出现带尾，在带尾区域中的电子态为定域态；带中间区域的电子态为扩展态。它们中间的分界Ec 和Ec’称为迁移率边。在无序系统中电子运动定域化是安德森（P.W.Anderson ）在1958年提出的重要概念，因此又称为安德森定域化。后来莫特（N.F.Mott ）又提出了迁移率边，这两个概念是无序系统电子态理论的基本概念。对于无序系统短自由程情况，讨论电导问题时，玻耳兹曼方程的方法不再适用，需要用Kubo-Green Wood 公式，按照Kubo-Green Wood 公式，金属的电导率为

()()

{}σσ00==E E E F (5.3.36) ()(){}σπE av q m D N E 0223

322= (5.3.37)

其中 ???=*τψψd x

D E E ' (5.3.38) 表示重叠积分。av 表示对所有ω +=E E '状态的平均。如果E 属于定域态的能量范围，ψE ,和 'E ψ没有交叠，D = 0，()σE 00=。相反，当E 属于扩展态的能量范围，()σE 00≠。系统总电导主要来自费米面附近电子的贡献。因此，当费米能级位于扩展态区域，材料呈现出金属导电性；当费米能级位于定域态区域，材料呈现出非金属性质。在有限温度下，当费米能级位于定域态区域时电导率不为零，可以借助声子的作用，实现电子在不同定域态之间的转移，电导率随温度升高表现出热激活的性质，电阻温度系数为负值，这种情况称为费米玻璃。如果改变条件，例如改变电子浓度，使填充能带的费米能级位置不同，或者改变无序度，使迁移率边的位置移动，就可能使费米能级从定域态区域经过迁移率边进入扩展态区域，使电导从非金属型转变为金属型，反之亦然，这类金属－绝缘体转变称为安德森转变。 例题5.3.1 证明在磁场中运动的布洛赫电子，在k 空间中轨道面积S n 和在在r 空间中轨道面积A n 之间的关系为：

n n S qB A 2

???

? ??= 解: B r k ?=dt

d q dt d 在垂直与B 的平面内线元r ?与k ?的关系为k eB

r ?=?

由此得 n n S eB A 2??

? ??= 例题5.3.2 六角密积结构。考虑晶格常数为a 和c 的三维简单六角点阵晶体的第一布里渊区。令G c 表示平行于晶体点阵的c 轴的最短倒易点阵矢量。(1) 证明六角密积晶体结构的晶体势U (r )的傅里叶分量U (G c )为零。 (2) 傅里叶分量U (2G c )是否也为零？(3) 为什么原则上可以得到由处于简单六角点阵的阵点上的二价原子所构成的绝缘体？(4) 为什么不可能得到六角密积结构的单价原子构成的绝缘体。

解：势能为()()

∑=j U r -r r ，其傅立叶分量为： ()()()

?∑∑?∑?-?-?-==j r i i c

i j c G e e V d V e V d V U G G r G r -r r ρρρ11 对于六角密积结构，原胞基矢和倒格子原胞基矢分别为：

?????????=+-=+= 223 2233

21z a y x a y x a c a a a a ， ?????????=+-=+= 2 232 232321z b y x b y x b c a a a a ππππ基元中的原子位于： ()??? ??++32121313

2 0,0,0a a a （1） 设 2z G c

c π= ()01122=???

? ??+=?∑?-?-z z G c c i i c G e e V d V U c πρρρ （2）

()()011224≠???

? ??+=?∑?-?-z z G G c c i i c c e e V d V U πρρρ （3）在第一布里渊区中有N 个量子态可以填充2N 个电子，二价原子共有4N 个价电子。刚好填满第一和第二布里渊区。由于在第二布里渊区边界上能带隙()02≠c U G ，因此原则上可以得到由处于简单六角点阵的阵点上的二价原子所构成的绝缘体。

（4）单价原子共有2N 个价电子。刚好填满第一布里渊区。由于在第二布里渊区边界上能带隙0=c U G ，因此不可能得到六角密积结构的单价原子构成的绝缘体。

习题

5.3.1 (1) 根据自由电子模型计算钾的德· 哈斯－范· 阿尔芬效应的周期??

? ???B 1。(2) 对于B = 1 T ，在实空间电子运动的轨道面积有多大？

5.3.2 在磁场B = 10 T 的条件下研究铜的德· 哈斯－范· 阿尔芬效应，为了获得好的实验结果，必须满足

条件0ω <

5.3.3 开放轨道。单价四角金属中的开放轨道连通相对的布里渊区边界。这些面间距G = 2 ? 108 cm -1，磁

场B = 10-1 T 垂直于开放轨道的平面。(1) 取υ≈108cm / sec ，在k 空间中运动周期的量级是多少？

(2) 描述存在磁场时，电子在实空间这个轨道上的运动。

5.3.4 (1) 试证明对于金刚石结构，在A

U为零，其中

=时一个电子所感受的晶体势场的傅里叶分量()G

G2

A为用立方单胞的倒易点阵中的基矢。(2) 为什么金刚石结构的金刚石是绝缘体，硅、锗是半导体，而灰锡则是金属。

第5章 能带理论 习题参考答案

第5章 能带理论 (习题参考答案) 1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m -=?，10b 410m -=? （1）画出倒格子图 （2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区 （3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子） 解：（1）因为 a =a i=20 A i b =b j=40 A j 倒格子基矢为 12a i A * = , 014b j A *= 以a * b *为基矢构成的倒格子如下图。

由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。 (2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点 A i,次近邻点 B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。 (3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。简约布里渊区的面积

02 1()8A a b A * * * -=?= 而状态密度 022()16()N g K N A A *== 当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 2 02()216F k F N g k kdk N k ππ=?=? 所以 01/21111 1()0.2()210()8F k A m π---=≈=? 这就是费米圆的半径。费米圆如下图所示 2. 已知一维晶体的电子能带可写成 ()2271cos cos 2,88E k ka ka ma ?? =-+ ??? 式中a 是晶格常数。试求能带的宽度；

()()()()() () ()()2222 2min 2 max 2 2 max min 22 2 22 min 71 cos cos 2, 8811cos 24400, 2;221sin 24sin 404k i E k ka ka ma ka ma k E k E a ma E E E ma ma ii v E k v ka ka ma iii E k k k E E m π ??=-+ ?????=--????====?=-= ∴=?∴=--==+ 解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得： ()() ()22 min 22 max 2 2 max 220 34220 3 k E m m m E k k E E k m k E m m m π π δδδ* *** =+ ∴===-=+ ∴=- 在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k= +k 可得： a a

固体能带理论概述

固体能带理论概述 朱士猛学号220130901421 专业凝聚态物理 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似等基本理论。还介绍了采用了近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论布洛赫定理近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5，7，8，11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2，8，9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16，17]的材料进行了计算和分析，

并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 2 布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）

第五章_激励

第五章激励 第一部分：本章概要 1.1 重点概念 1.激励（motivation）：在个人需要和组织目标整合的基础上，形成强烈实现目标的意愿，并促使其付出努力行为的整个过程。 2.需求层次理论(needs hierarchy theory)：马斯洛认为，人类需要可以大致分为生理需要、安全需要、交往需要、尊重需要和自我实现的需要等，它们是由低级到高级逐级形成和发展的。 3.ERG理论：人有三种基本的需要，分别是生存的需要（Existence）、相互关系的需要（Relatedness）和成长的需要（Growth）。即使一个人的生存和相互关系需要尚未得到完全满足，他仍然可以为成长发展的需要工作，而且这3种需要可以同时起作用。 4.双因素理论（two— factor theory）：从外在需要、内在需要的区分及两者在调动人的积极性方面起着不同作用的角度，探讨如何更有效的激发员工的工作积极性，分为保健因素和激励因素两方面。 5.期望理论(expectancy theory)：个体行为倾向的强度取决于个体对这种行为可能带来结果的一种期望度，以及这种结果对行为的个体来说所具有的吸引力。期望理论用公式表示为：激励力量（M）＝目标价值（V）×期望值（E） 6.公平理论(justice theory)：又称社会比较理论，当一个人做出了成绩并取得了报酬以后，他不仅关心自己所得报酬的绝对量，而且关心自己所得报酬的相对量。 7.自我决定理论：认为人们喜欢感到自己对事物具有控制力，若人们感到以前有兴趣的工作变成一种义务而不是自主选择的活动，这样激励程度就降低了。 8.目标设置理论：是从行为的目的性出发来对行为动机进行研究的一种激励理论。该理论认为，目标是人们行为的最终目的，是人们预先规定的、合乎自己需要的“诱因”，是激励人们的有形的、可以测量的成功标准。 9.强化理论(reinforcement theory)：也叫“操作条件反射理论”。该理论认为人类(或动物)为了达到某种目标，本身就会采取行为作用于环境。当行为的结果有利时，这种行为重复出现；不利时，这种行为就减弱或消失。 1.2 关键知识点 1.需求层次理论的基本观点 马斯洛认为人有生理需要、安全需要、交往需要、尊重需要和自我实现五种需要。 这五种需要像阶梯一样从低到高，按层次逐级递升，但这种次序不是完全固定的，可以变化，也有种种例外情况。 一般来说，某一层次的需要相对满足了，就会向高一层次发展，追求更高一层次的需要就成为驱使行为的动力。相应地，获得基本满足的需要就不再是一股激励力量。 同一时期，一个人可能有几种需要，但每一时期总有一种需要占支配地位，对行为起决

固体物理总结能带理论完全版

精品文档

目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本内容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似

在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受)(r u k ?调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+r v u u v ，n R ρ取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符μT ，)()()()(3 32211321a T a T a T R T m m m m ? ??? = b ． 证明μT 与?H 的对易性。ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出μT 在μT 与?H 共同本征态下的本征值

固体物理学能带理论小结

能带理论 一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）万尼尔函数概念； 3）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似 在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的

运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 维格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值 λ。即?? ???+=+=+=)()( ()() ()(332211a N r r a N r r a N r r ψψψψψψ3 2 1 321,,a k i a k i a k i e e e ???===λλλ d. 将λ代入T 的本征方程中，注意T 定义，可得布洛赫定理。

(完整版)大学物理章节习题9原子结构固体能带理论

?物理系_2015_09 《大学物理AII 》作业 No.9 原子结构 固体能带理论 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误） [ F ] 1．根据量子力学理论，氢原子中的电子是作确定的轨道运动，轨道是量子化的。 解：教材227.电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能断言电子一定 出现 在核外某个确定的位置，而只能给出电子在核外各处出现的概率。 [ F ] 2．本征半导体是电子与空穴两种载流子同时参与导电，N 型半导体只有电子导 电，P 型半导体只有空穴导电。 解：N 型半导体中依然是两种载流子参与导电，不过其中电子是主要载流子；P 型半导体也是两种载流子参与导电，其中的主要载流子是空穴。 [ T ] 3．固体中能带的形成是由于固体中的电子仍然满足泡利不相容原理。 解：只要是费米子都要遵从泡利不相容原理，电子是费米子。 [ T ] 4．由于P 型和N 型半导体材料接触时载流子扩散形成的PN 结具有单向导电性。 解：教材244. [ F ] 5．施特恩-盖拉赫实验证实了原子定态能级的存在。 解：施特恩-盖拉赫实验验证了电子自旋的存在，弗兰克—赫兹实验证实了原子定态能级的存在. 二、选择题： 1．下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ [ D ] (A) n = 2，l = 2，m l = 0，21= s m (B) n = 3，l = 1，m l =-2，21-=s m (C) n = 1，l = 2，m l = 1，21=s m (D) n = 3，l = 2，m l = 0，2 1 -=s m 解：根据原子中电子四个量子数取值规则和泡利不相容原理知D 对。 故选 D 2．与绝缘体相比较，半导体能带结构的特点是 [ D ] (A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴，导带中总是有电 子 (D) 禁带宽度较窄 解：教材241-242. 3. 在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )是 (1) (2，0，1， 2 1) (2) (2，1，0，2 1- )

《组织行为学》课后习题答案完整版-第五章激励理论及其应用

第五章激励理论及其应用 一、简答题 1.什么是双因素激励理论？如何将保健因素转化为激励因素？ 答：双因素激励理论的基本观点： （1）传统理论认为，“满意”的对立面是“不满意”，但双因素理论认为“满意”的对立面是“没有满意”，“不满意”的对立面是“没有不满意”。 （2）那些使员工对工作感到不满意的因素主要是与工作环境相联系的保健因素。保健因素主要起预防作用。保健因素包括工作本身、认可、成就和责任、进步、晋升等。在工作激励中，保健因素的满足主要是避免员工的不满意。 （3）那些使员工感到满意的因素主要是与工作内容相联系的激励因素。激励因素包括公司政策和管理、监督、薪水、工作条件、安全以及人际关系等。只有对激励因素的满足才能真正达到激励员工的目的。 将保健因素转化为激励因素的措施有：（1）精神激励是最长久，通过有效的领导、积极向上的企业文化、个人参与、多元化价值观等事业留人、也可通过绩效管理、行业发展、职业的优越感、绩效激励等情感留人；（2）个人目标和公司目标结合；（3）帮助员工做好职业规划；（4）制定较为灵活的薪酬策略，与工作发展前途对应等 2.内容型激励理论主要包括马斯洛的需要层次理论、奥尔德弗的ERG理论、赫兹伯格的双因素理论和麦克利兰

的成就需要理论，试对它们进行比较。 答：ERG理论是在需要层次论基础上的发展主要表现在： (1)马斯洛的需要层次论是建立在满足——上升的基础上的。也就是说一旦较低层次需要已经得到满足，人们将进到更高一级的需要上去；而ERG 论不仅体现满足——上升的方面，而且也提出了遇挫折——倒退这一方面。挫折——倒退说明较高的需要未满足或受到挫折的情况下，更着重或把更强烈的欲望放在一个较低层次的需要上。 (2)需要层次论认为，每一个时期只有一种突出的需要；而ERG 论指出在任何一个时间内可以有一个或一个以上的需要发生作用。 (3)需要层次论认为，人的需要是严格地按由低到高逐级上升的, 不存在越级，也不存在由高到低的下降；而ERG论则指出，人的需要并不一定严格按由低到高发展的顺序，而是可以越级的。 (4)需要层次论认为，人类有五种需要，它们是生来就有的，是内在的；而ERG论则认为，只有三种需要，其中有生来就有的，也有经过后天学习得到的。 (5) ERG论在一定程度上修正了马斯洛的需要层次理论弥补了需要层次理论的不足，更符合现实社会中人们的行为特点。 成就激励论是在需要层次论基础上的升华主要表现在： (1)着重点不同。需要层次论研究从低到高顺序的五种需要；而成就激励论不研究人的基本生理需要，主要研究在人的生理需要基本得到满足的前提条件下，人还有哪些需要。 (2)认识度不同。需要层次论认为五种需要都是生来就有的，是内在的；

固体能带理论综述

半导体物理学 ——固体能带理论综述 班级：材料物理081401 姓名：薛健 学号：200814020122

固体能带理论综述 摘要:本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论,包络函数,近自由电子近似 一、引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 二、布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）

第五章《管理学原理》习题参考答案

第五编 一、单项选择题 1、注重于对已发生的错误进行检查改进属于（ C ）。 A、前馈控制 B．现场控制 C．反馈控制 D．直接控制 2、在控制的基本过程中，衡量实际工作主要解决的问题是（ D ）。 A．衡量什么 B．制定标准 C．如何衡量 D．A和C 3、实施控制的关键性步骤是（ D ）。 A 选择关键点 B拟定标准 C．选择控制技术 D．建立控制系统 4、控制工作得以展开的前提是（ A ）。 A建立控制标准 B分析偏差原因 C采取矫正措施 D明确问题性质 5、"治病不如防病，防病不如讲究卫生"根据这一说法，以下几种控制方式中，哪一种方式最重要：A A前馈控制 B现场控制 C反馈控制 D直接控制 6、控制过程的第一步是（ D ） Ａ进行预测Ｂ科学决策Ｃ分析判断Ｄ确定标准 7、控制工作的基本目的是（ C ） A 维持现状 B 打破现状 C 激励现状 D 突破现状 8、统计分析表明，"关键的事总是少数，一般的事常是多数"，这意味着控制工作最应重视（ A ）Ａ突出重点，强调例外Ｂ灵活、及时和适度Ｃ客观、精确和具体Ｄ协调计划和组织工作。 9、控制工作使管理过程形成了一个（ A）的系统： A 相对封闭 B 绝对封闭 C 相对开放 D 绝对开放 10、进行控制时，首先要建立标准。关于建立标准，下列四种说法中哪一种是正确的? A、标准应该越高越好 B、标准应考虑实施成本 C、标准应考虑实际可能 D、标准应考虑顾客需求11．能够有效地监督组织各项计划的落实与执行情况，发现计划与实际之间的差距，这一管理环节是（ C ）。 A．领导 B．组织 C．控制 D．协调 12．以下列举了现场控制必备的条件，除了（ D ）项。 A．较高素质的管理人员 B．下属人员的积极参与C．适当的授权 D．部门的明确划分 13．即时控制通常又被称作（ D）。 A．前馈控制 B．反馈控制C．作业控 制 D．现场控制 14．在集中控制中，信息处理、偏差检测、纠偏措施的拟定等都是由（ A）统一完成的。 A．控制中心B．最高决策层 C．中级管理 层 D．监督机构 15．将组织管理系统分为若干相对独立的子系统，每一个子系统独立地实施内部直接控制，这就是（ B）。 A．分散控制B．分层控制C．集中控 制 D．内部控制 16．控制活动过程中，管理人员所在的部门、所处的管理层次不同，实施控制的主要任务也不尽相同。一般来说，（ A）主要从事例行的、程序性的控制活动。 A．高层管理人员B．中层和基层管理人员C．重点部门管理人员D．科研部门管理人员 17．一个组织的全部行为活动构成控制的（ B）。 A．目的 B．客体 C．媒体 D．主体 18．控制系统是指由（D ）组成的具有自身目标和功能的管理系统。 A．控制主体、控制客体和控制载体B．控制实体、控制客体和控制媒体 C．控制主体、控制客体和控制目的 D．控制主体、控制客体和控制媒体 19．控制应当从实际目标出发，采用各种控制方式达到控制目的，不能过分依赖正规的控制方式，也要采用一些能随机应变的控制方式和方法。这就是控制的（B ）。 A．随机性原则B．灵活性原则C．多变性原 则D．弹性原则

固体物理--能带理论

固体物理中关于能带理论的认识 摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的 概念更细致的把握。 关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定 引言 能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。 1 能带理论的假定 能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。 1.1 绝热近似 考虑到电子与核的质量相差悬殊。可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。电子运动时,可以认为核是不动的。电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。 1.2 平均场近似 因为所有电子的运动是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。 1.3 周期场假定 薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。代表一种平均势能，应是恒量。因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。 2 电子的共有化运动 我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定

第五章固体能带理论II5.3

5.3 晶体的能带结构 1 导体、半导体和绝缘体的能带解释 能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。 满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即 ()()k k -=n n E E (5.3.1) 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。在同一能带中k 和 - k 态具有相反的速度： ()()k k --=υυ (5.3.2) 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。 即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。 导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。 根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。 本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。 在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm -3。是普通金属的10-5。Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。 近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为 ()k υq - (5.3.3) 而且 ()()[]0=-+k k I υq (5.3.4) 或 ()()k k I υq = (5.3.5)

固体物理总结材料能带理论完全版

标准文案

目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本容 1、三种近似

在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(3322113 2 1 a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值

固体的能带理论 习题

第五章 固体的能带理论 1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？ 解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。 2.周期场对能带形成是必要条件吗？ 解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。 3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？ 解：这是由于晶体中含有的总原胞数N 通常都是很大的，所以k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。 4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？ 解：对于在倒格矢h K 中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使)(k E 函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。

5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？ 解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？ 解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。 7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。 解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。 准经典运动的基本公式有： 晶体电子的准动量为 k p η=； 晶体电子的速度为 )(1 k v k E ?= η； 晶体电子受到的外力为 dt d k F η= 晶体电子的倒有效质量张量为 β ααβk k E m ???=) (1122*k η； 在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足： )(B v Εk ?+-=ηe dt d )(*B v Εv ?+-=m e dt d 8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？ 解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。 当满带顶附近有空状态k 时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q 和具有正质量*m 、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。 9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。 在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

固体能带理论综述

固体能带理论综述 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论包络函数近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的耦合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。

第五章晶体中电子能带理论习题解答

晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 )()(r r k.r k i k u e =ψ, 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 )(r k u = r K K .)(1 m i m m e a N ∑Ω . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数 r K k'h K k r ).()'()(h i h e a +∑+=ψ, 其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 得到 n k'.R i e =n k.R i e . 其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、 , 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、 1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321) (Ω=??b b b ,

能带理论概述1

能带理论概述 摘 要：一般来说，物质具有四种状态：即气态，等离子体态，液态和固态。凝聚态物理研究的是后面两种状态。固态和液态是人类经常接触的物质形态，它们的宏观变化规律人类早已有所了解，但大多属于表象规律。从结构来说，凝聚态物质比气态要复杂得多，因为凝聚态物质的原子间距与原子本身的线度在数量级上大致相同，原子间有较强的相互作用，经典理论不适于处理凝聚态的微观过程。能带理论是凝聚态物理中非常重要的理论。本文简要说明能带理论主要思想。 关键词：能带理论 电子输运性质 费米面 1能带理论 固体能带理论是固体物理学中最重要的基础理论，它的出现是量子力学，量子统计理论在固体中应用的最直接，最重要的结果。能带理论成功的解决了索末菲半经典理论处理金属所遗留下来的问题，为其后固体物理学的大发展提供了条件。1926年布洛赫在瑞士的苏黎世读大学时参加了薛定谔第一次关于他的波动力学的报告会，了解了微观粒子的运动规律。1928年初海森伯认识到量子力学可能在固体的研究中有丰硕的成果，他为布洛赫提出了两个亟待解决的问题，一个是铁磁性理论，揭示外斯分子场理论的实质；另一个是金属电导理论。 布洛赫非常了解经典电子论和半经典电子论的成功和困难他从电子的波动性入手，物理图像的启发来自海特勒，伦敦和洪德对分子中电子特性的论述，以及耦合摆运动的迁移现象。数学上它采用传统的傅里叶展开法来处理最简单的一维单原子势场中的电子运动问题。发现薛定谔方程的解与自由电子德布罗意波的的解差一个周期性的调幅因子： ()()ikr k k x e u x ψ= 其中 ()()k k u x u x na =+ 这n 为任意整数，a 为一位单原子链中的原子间距（晶格常数），ikr e 描述平面波，()k u x 是 平面波的调幅因子。这一理论可以概括为在周期性势场中运动的电子波函数具有调幅平面波的形式，调幅因子食欲晶格周期性相同的周期函数，这种电子的波函数成为布洛赫函数。这一理论就是布洛赫定理，是现代固体理论中的重要基础。 经过完善之后，能带理论的基本内容是：晶体中电子的允许能级形成能带；能带既不象孤立原子中的分立能级，也不像无限空间中自由电子的连续能级，而是由准连续的能级构成；相邻的两个能带之间的能量范围为禁带；在绝对零度，被电子填充满的能量最高的电子能带为价带通常价带中的电子对应于组分原子中的价电子；在能带之上，部分被电子占据的能带称为导电带，完全没有电子占据的能带称为空带。 2 费米面 费米面概念是能带理论的又一重要内容。索末费和贝特在1933年发表了《金属电子论》的著名论评，全面奠定了金属理论的基础。贝特利用布洛赫的能带理论研究电子在布里渊区中的填充情况时首先提出来费米面的概念，当时称为“波数空间的等能面”。通过在在其附近电子对固体一些重要物理性质的决定性作用，人们认识到了费米面的重要性。