高考数学专题复习导练测第十二章第1讲合情推理与演绎推理理新人教A版

第十二章推理证明、算法、复数

第1讲合情推理与演绎推理

一、选择题

1．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )．

解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.

答案 A

2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )

A．① B．②

C．③ D．①和②

解析由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．

答案 B

3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0?a＝c”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，

则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”；

④“若x∈R，则|x|<1?－1

其中类比结论正确的个数有( )．A．1 B．2 C．3 D．4

解析类比结论正确的只有①②.

答案 B

4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为

( )．

A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125

解析∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…

∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n

(n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7) ∴5

2 011

与57

的末四位数字相同，均为8 125.故选D.

答案 D

5．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，

h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则

传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )．

A ．11010

B ．01100

C ．10111

D ．00011

解析 对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110. 答案 C

6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是

( )．

A ．289

B ．1 024

C ．1 225

D ．1 378

解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，

a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )?a n ＝1＋2＋3

＋…＋n ＝

n n ＋

2

，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2

.把四

个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C 二、填空题

7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝

a 2＋

b 2

2

.运用类

比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________.

解析 (构造法)通过类比可得R ＝

a 2＋

b 2＋

c 2

2

.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为

a ，

b ，

c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外

接球的半径是 a 2＋b 2＋c 2

2，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．

答案

a 2＋

b 2＋

c 2

2

8．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．

解析 按拼图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图有白色地砖3×5－2(块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是503

603.

答案 503

503603

9．对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S 1＝5

9；第二步，将图1

的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，

到第n 步，所得图形的面积S n ＝? ??

??59n

.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则

到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________.

解析 对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成3×3×3个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新1几何体，其体积V 1＝927＝1

3；第二步，

将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新2

几何体，其体积V 2＝? ????132；…，依此类推，到第n 步，所得新n 几何体的体积V n ＝? ????13n

.

答案 ? ??

??13n

10．设N ＝2n

(n ∈N *

，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N

2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变

换．将P 1分成两段，每段N

2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i

分成2i

段，每段N

2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，

此时x 7位于P 2中的第4个位置．

(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置； (2)当N ＝2n

(n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．

解析 (1)当N ＝16时，P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9…x 16，此时x 7在第一段内，再把这段变换x 7位于偶数位的第2个位置，故在P 2中，x 7位于后半段的第2个位置，即在P 2中x 7位于第6个位置．

(2)在P 1中，x 173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P 2中x 173位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得P 3时，x 173位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，x 173位于十六段中的第四段的第11个位置上，也就是位于P 4中的第(3×2

n －4＋11)个位置上．

答案 6 3×2n －4

＋11

三、解答题

11．给出下面的数表序列：

表1 表2 表3

1 1 3 1 3 5

4 4 8 12

…

其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．

写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)． 解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．

将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．

12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2

13°＋cos 2

17°－sin 13°cos 17°； ②sin 2

15°＋cos 2

15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2

18°＋cos 2

12°－sin 18°cos 12°； ④sin 2

(－18°)＋cos 2

48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2

(－25°)＋cos 2

55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：

sin 215°＋cos 2

15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.

(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.

证明如下：

sin 2

α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2

α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2

α＋32sin

αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝3

4

.

13．观察下表： 1， 2,3 4,5,6,7，

8,9,10,11,12,13,14,15， …

问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 013是第几行的第几个数？ 解 (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n

， ∴第n 行的最后一个数是2n

－1. (2)2n －1

＋(2

n －1

＋1)＋(2

n －1

＋2)＋…＋(2n

－1)

＝

2

n －1

＋2n －

n －1

2

＝3·22n －3

－2

n －2

.

(3)∵210

＝1 024,211

＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013在第11行，该行第1个数是210

＝1 024，

由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．

14．将各项均为正数的数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…，构成数列{b n }，各行的最后一个数a 1，

a 3，a 6，a 10，…，构成数列{c n }，第n 行所有数的和为S n (n ＝1,2,3,4，…)．已知数列{

b n }

是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q ，且a 1＝a 13＝1，a 31＝5

3

.

(1)求数列{c n }，{S n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和T n 的表达式．

解 (1)b n ＝dn －d ＋1，前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋

2个数，因为13＝4×5

2

＋

3，所以a 13＝b 5×q 2

，

即(4d ＋1)q 2＝1，又因为31＝7×82

＋3，所以a 31＝b 8×q 2

，

即(7d ＋1)q 2

＝53，解得d ＝2，q ＝13

，

所以b n ＝2n －1，c n ＝b n ? ??

??13n －1＝2n －1

3n －1，

S n ＝

n －

? ????

1－13n 1－

13

＝3

2(2n －1)·3n

－1

3

n . (2)T n ＝11＋33＋532＋…＋2n －1

3n －1，

① 13T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n .

②

①②两式相减，得

23T n ＝1＋2? ????13＋1

32＋…＋13n －1－2n －13n

＝1＋2×13－1

3n

1－

13－2n －13n ＝2－2n ＋2

3n ，

所以T n ＝3－

n ＋1

3

n －1

.