周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
周期函数
一、周期函数的定义
1、 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．
时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意：
① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。
例题：sin (010)y x x π=≤≤是周期函数吗？
② 变的只能是x
T 的变化只能发生在x 上。例如()s i n (38)
f x x =+是周期函数，则()sin[3()8]f x T x T +=++，不能写成()sin(38)f x T x T +=++。
例题：sin 2sin 33x x π????
+= ? ?????
，那么2π是sin ()3x 的周期吗？
③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：()[]f x x x =-（33x -≤≤）（[]x 是取整函数，表示不超过x 的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。
二、 周期函数问题的相关题型及解答。
核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T ，即将题目里各种()f x 的等式往()()f x T f x +=方向化简。
化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意()f x 本身的对称性和奇偶性。
三、抽象函数的周期总结
1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。
证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。
2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。
3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()
4. f x a f x ()()
+=-
1
型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=21
1
1。 5. f x a f x ()()
+=
1
型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=
+=
=21
1
1。 6. f x a f x f x ()()
()
+=
+-11型：f x ()的周期为4a 。
证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()()
+=++=
++-+211=+
+--+-
=-1111111f x f x f x f x f x ()
()()()
()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=4221
21
1。 7.)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=
+)(x f y =的周期为a T 2=
证明：1()(2)[()]1()f x a f x a f x a a f x a -++=++=++=1()11()
()1()11()
f x f x f x f x f x -
-+
=
=-++
。 8、1
)(1
)(+-
=+x f a x f ?)(x f y =的周期为3T a =
证明：1
1()1
[()]1()1()1()1
11
[(2)]()()1(2)11()
(3)()
f x f x a a f x a f x f x f x a a f x f x f x a f x f x a f x +++=-
=-
=-
++-
++++=-=-=+++-++=
9、)()()2(x f a x f a x f -+=+)(x f y =的周期为a T 6= 证明：)()()2(x f a x f a x f -+=+
(3)(2)()f x a f x a f x a +=+-+
(3)()
[(3)3](())()
f x a f x f x a a f x f x +=-++=--=
10.两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。 证明：
f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()
()()()()=-=-??
??-=-?=+-222222，
。 8. 一线一点对称型：函数f x ()关于直线x a =及点（b ，0）对称，则f x ()的周期为||44b a -。 证明：
f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()
()()
()()()()=--=-??
??-=--?+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()+-=+-+-=-+-=--=44222222
9. 两点对称型：函数f x ()关于点（a ，0）、（b ，0）对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：
f a x f x
f b x f x
f a x f b x f x f x b a
()()
()()
()()()() 2
2
2222 -=-
-=-
?
?
?
?-=-?=+-。
几种特殊性质的函数的周期
几种特殊性质的函数的周期： ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ) (1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数； ④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数 y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数 sin y x = ⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数； ⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。正切型函数则只有一个。 ⑧0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(() (1)(≠= +x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01， -上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于 对称； ②)(x f 的周期为 ； ③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）； ④）时，，（若10∈ x )(x f =x 2，则=)(log 18 21f 。 例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间 [2，3]上 )(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。 4．函数（图象）的对称性 1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结 篇一：函数周期性结论总结 函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a ②f(x+a)=±1T=2af(x) ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称 所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)
代换x=x+2a得： f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)假设 a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞ b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称 =f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)]
函数周期性结论总结
精品文档 . 函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得： f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识 麻城实验高中 阮 晓 锋 对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。 几种特殊的抽象函数的周期： 设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足： （1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k ?Z)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。 （2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。 (3）()() 1f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （5）1()()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （6）()+1(+)= ()-1 f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （7）1()()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. （8）1()()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. （9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b| 推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。 （10）若函数f(x)有两条对称轴x=a 和x=b （a≠b ），那么该函数一定为周期函数，且其中 一个周期为T ＝2|a －b| 推论：若偶函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+，则其周期为2T a =. (11)若函数f(x)有两个对称点(a,c),(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且其中一个周期 为T ＝2|a －b| (12)若.2 , )2 ()(,0p T p px f px f p = -=>则 认识：
抽象函数的周期性
抽象函数的周期 抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。 1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则 f (.)20055等于（ ） A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 4. f x a f x ()() +=- 1 型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =21 1 1。 5. f x a f x ()() += 1 型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 6. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。
用函数的特征式判断函数的周期性及其周期
由函数特征式判断函数的周期性及周期 李圣平 (宜昌市体育运动学校，湖北宜昌 443000) 摘要探讨利用函数的特征式研判函数的周期性和周期，让学生掌握研究和判断的方法很有必要，在此给出了用函数特征式研究和判断函数周期性及周期的一般方法，研究了几种具体情形供师生参考。 关键词函数；特征式；判断；周期函数；周期 函数的周期性是高中数学的一个重要知识点，用函数的特征式判断函数的周期性和周期具有抽象性，可以考察学生的抽象思维能力和想象能力，此类问题在高考题中多年涉及，学生掌握一些类型的研究方法及其结论十分必要，本文做出了一些相关探讨。 1 函数的周期性与周期 1. 1 周期函数及其周期的几何定义 从图象上看，函数的图象能够划分为无数段向左右两边无限重复延伸的全等图象段，分点若为函数图象上的点，则为相邻图象段的公共点，将每一段图象称为重复段，将任一重复段向左右无限重复延伸就得到整个函数的图象，这样的函数称为周期函数。周期函数的任一重复段夹在某两条直线x=a和x=b之间（a ＜b﹚，在左或右要么与直线相交，要么可以与直线无限趋近，将这个重复段向左平移b-a个单位或者向右平移b-a个单位得到与其左右紧邻的重复段，将b-a 称为该函数的一个正周期，a-b称为该函数的一个负周期，每一个重复段称为该函数的一个周期内的图象。如果重复段不能再划分为可重复的小重复段，则把周期b-a称为该函数的最小正周期。 1. 2 周期函数及其周期的代数定义 对于函数f（x），如果存在非零常数k，使f（x+k）=f（x）成立，称函数f （x）为周期函数，把k称为该函数的一个周期。如果k为正数，该函数不存在比k小的正周期，则把k称为该函数的最小正周期。把等式f（x+k）=f（x）称为函数f（x）的一个特征式。 2 用函数的特征式判断函数的周期性和周期 定理1 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，都有：f（x+a）=f（x+b）或f（a-x）=f（b-x），其中a、b是常数，且a≠b，则函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。 证明：若f（x+a）=f（x+b），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（（x-b）+b）=f（（x-b）+a）=f（x+（a-b）），根据周期函数的定义，函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。若f（a-x）=f（b-x），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（b-（b-x））=f（a-（b-x））=f（x+（a-b）），表明函数f（x）是周期函数，且a-b是函数f（x）的一个周期。 定理2 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，满足下列条件之一，则函数f（x）是周期函数，且2（a-b）是函数f（x）的一个周期，这里a≠b。 条件1：f（x+a）= -f（x+b）或 f（a-x）= -f（b-x）； 条件2：f（x+a）=1／f（x+b）或f（a-x）=1／f（b-x），（f（x）≠0）； 条件3：f（x+a）= -1／f（x+b）或 f（a-x）=- 1／f（b-x），（f（x）≠0）。 这里只对满足条件3的函数f（x）是周期为2（b-a）的周期函数作证明，其余的用类似的方法（变形法）证明。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思
抽象函数周期性的判断及其简单运用
抽象函数周期性的判断及其简单运用 朱永瑛 江苏省洪泽县教师进修学校(223100) 所谓周期函数就是：对定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在常数0T >()x T D +∈有()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数．对具体的函数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的定义进行判断．那么，抽象函数的周期性如何判断？又如何运用于解题呢？ 1抽象函数周期性的判断 1.１类型一 ()()f x a f x b +=+ 定理一：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f x a f x b +=+对任意x D ∈都成立，∴()()f x a a f x a b ?+=?+， 即()()f x f x b a =+?. ∴||b a ?为函数()f x 的一个周期. 1.2 类型二 ()()f x a f x b +=+ 定理二：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=?+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f x a f x b +=?+对任意x D ∈都成立, ∴()()()f x a a f x a b f x b a ?+=??+=?+?， 即()()f x f x b a =?+?. ∴()[2()]f x b a f x b a +?=?+?， ∴(){[2()]}[2()]f x f x b a f x b a =??+?=+?， ∴()f x 是周期函数,2||b a ?为函数的一个周期. 1.3 类型三1()()f x a f x +=，(或者1 ()()f x a f x +=?) 定理三：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1 ()() f x a f x +=? ) (其中a 为常数，0a ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a 是函数的一个周期． 证明：∵()1/()f x a f x +=， ∴11 (2)()()1/() f x a f x f x a f x +===+， ∴函数()f x 是周期函数，2||a 是它的一个周期. 同理可证()1/()f x a f x +=?是周期函数，且 2||a 是它的一个周期． 1.4 类型四()()f a x f a x +=?且()()f b x f b x +=? 定理四：定义在R 上的函数()f x ，若对任意的x R ∈，有()()f a x f a x +=?且()()f b x f b x +=?，(其中,a b 是常数，a b ≠)则函数()y f x =是周期函数，2||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f a x f a x +=?且()(f b x f b +=? )x 对任意x R ∈都成立， ∴[(2())][(2)]f x x b f a x a b +?=++? [(2)](2)[()]f a x a b f b x f b b x =?+?=?=+? [()]()f b b x f x =??=， ∴[2()]()f x a b f x +?=， ∴()f x 是周期函数,2||a b ?是函数的一个周期. 注：1．上述函数的定义域未必一定是实数集，符合条件的任意数集都可以； 2．定理四中，由()()f a x f a x +=?且()f b x + ()f b x =?可知函数图象关于直线x a =和直线x b =对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数． 2 利用周期性求值 在解决一些抽象函数的函数值问题时，若能充分利用函数的周期性，问题常会得到巧妙的解决． 例１函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，都有(1)(3)f x f x +=+，求(2)(4)(6)f f f ++ (2008)f ++ 的值． 解析：∵(1)(3)f x f x +=+， ∴函数()f x 是周期函数，周期为2， ∴(0)(2)(4)(6)(2008)f f f f f ===== ． ∵()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ===== ， ∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ++++= . 例2函数()f x 对任意的x R ∈，有()(1)f x f x =+ (1)f x +?，且(0)9,(10)30f f ==.求(101)f 的值． 解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意一种类型，但若对()(1)(1)f x f x f x =++?稍作变形，将式中的x 取作1x +，再将两式联立，便可发现其属于类型2． ∵()(1)(1)f x f x f x =++?①，将式中x 取作1 x +34 福建中学数学 2008年第8期
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
周期函数的定义 1、对于函数f(x)，如果存在一个非零常数.T ,使得当x 取定义域内的每一个值.时，都有 f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 ① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其 定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内，故周期函数定义域必是无界集。 例题：y sin x(0 x 10 )是周期函数吗？ ② 变的只能是x T 的变化只能发生在 x 上。例如f(x) sin(3x 8)是周期函数，则 f (x T) sin[3( x T) 8]，不能写成 f (x T) sin(3x T 8)。 ③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：f (x) x [x] ( 3 x 3 ) ([x]是取整函数，表示不超过 x 的 最大整数)，该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域 两端都有界，所以其必不为周期函数。 周期函数问题的相关题型及解答。 核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期 T ,即将题目里各种f(x)的等 式往f(x T) f (x)方向化简。 化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x)本身的对称 性和奇偶性。 抽象函数的周期总结 周期函数 例题：sin - 2 3 sin -，那么2 3 是sin (为的周期吗? 3
1. f(x) f(x T)型：f(x)的周期为 T o 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T) f (x)，贝y f (x)为周期函数，T 叫 函数f (x)的周期。 2. f (x a) f (x b)型：f(x)的周期为 |b a|。 证明：f (x a) f (x b) f (x) f (x b a)。 3. f (x a) f (x)型：f (x)的周期为 2a o 1 4. f (x a) 型：f (x)的周期为2a o f(x) 1 —f(x)。 f(x) 1 5. f (x a) —型：f (x)的周期为 2a 。 f(x) 6. f (x a) 1一型 型：f (x)的周期为4a 。 1 f(x) f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] f (x a) [f(x)] f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f(x a) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f (x a) 1 1 f(x) f (x) o 证明：f (x 2a) 1 1 f (x a) 1 f (x) 1 1 f (x a) 1 1 f(x) 1 f (x) f(x)' f (x 4a) f [(x 2a) 2a] 1 f(x 2a) f (x) o 7. f (x a) 1 f (x) 1 f (x) y f(x)的周期为T 2a f [(x a) a] 1 1 f(x)
(完整版)专题函数的周期性
专题函数的周期性 一知识点精讲 1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集 2性质 ①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 3?几种特殊的具有周期性的抽象函数: 函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数) (1) f x f:X a，则y f x的周期T a . (2) f x a f x，贝U f x的周期T2a . (3) f x a的周期T2a . ，贝U T x f x (4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a . (5) f(x a)1 f (x)，则f x 1 f(x)的周期 T2a . (6) f(x a) 1 f(x)，则f 1 f (x) x的周期T4a数. (7) f(x a) 1 f (x)，则f x 1 f(x) 的周期T4a . (8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为 T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a . (9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是 以2 b a为周期的周期函数. (10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数 f (x)是2 b a为周期的周期函数. (11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数 f (x)是以4 b a为周期的周期函数. (12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a. 二典例解析 1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( ) A.0.5 B. —0.5 C.1.5 D. —1.5 2. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( ) ②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为 2 2
证明函数单调性的方法总结归纳
证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改
三角函数·函数的周期性
三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：设－1
所以， 所以 所以 设 则， 因为， 所以， 所以 所以 同理，可得 （2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减） ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单调区间。 解：
在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 增增增 增减减 减增减 减减增 例4.求函数的单调区间
例析抽象函数周期的求法
例析抽象函数周期的求法 抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。 一、仅含抽象关系式的周期函数 例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。 解：设，则，依题意有 ，由周期函数的定义，是的一个周期 所以期 例2 已知函数满足，求证：函数 为周期函数。 证明：因为对有 （2）代入（1）得 这样 所以为周期函数，且为它的一个周期。
例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有 ，且存在常数，使。试证：是周期函数，且有一个周期为4a。 证明：设，则 所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。 说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。 例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有 ，又，求的值。 解：
又 所以 可知是以2为一个周期的周期函数 所以 二、图象中有两条对称轴的抽象函数 例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。 证明：因为的图象关于直线和（a
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，
抽象函数的对称性奇偶性与周期性总结及习题
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①)) (2,)(2(),(),(2 222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数)) (2()(2)(2 222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++- =与关于直线
函数的单调性证明
函数的单调性证明 一．解答题（共40小题） 1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数． 4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数． 8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．
10．已知函数f（x）=x+． （Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数； （Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围． 11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减． 12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性． 14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．
15．求函数f（x）=的单调增区间． 16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 17．求函数的定义域． 18．求函数的定义域． 19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 21．求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
函数的周期性与函数的图象(最全解析版)
八、函数的周期性 ㈠ 主要知识： 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()() 1 f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1() ()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1() ()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为 4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 3、图象的对称性 一个函数的对称性： 1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称 ()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ? =--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-?。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ?关于点()0,a 对称。 ④ c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2(c b a + 对称 2、两个函数的对称性： ①)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。