高等数学模拟6
四川大学继续教育学院模拟试卷(六)
【答卷时间100分钟，总分100分】
专业： 层次：专科
课程： 高等数学 总分：
一、填空题：（每题3分,共21分.）
1．函数arccos()z y x =-的定义域
为 。
2．已知函数ln()z xy =，则
()
2,1z
x ?=? 。
3．已知
()
22sin z x y =+，则=dz 。
4．设
L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则2L
ds =
?
。
5
．将1
220
()dx f x y dy
+??
化为极坐标系下的二重积
分 。
6.级数∑∞
=-12
)1(n n
n 是绝对收敛还是条件收
敛？ 。
7．微分方程2y x '=的通解为 。
二、选择题：（每题3分,共15分.）
1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分
存在的（ ）条件。
A ．必要非充分，
B ．充分，
C ．充分必要，
D ．既非充分，也非必要，
2．直线
22:
110x y z l -+==与平面:23x y z π++=的夹角为
（ ）。
A ．6π
B ．3π
C ．2π
D ．4π 3．幂级数2
13n
n n x n ∞
=∑的收敛域为（ ）。 A ．(3,3)- B ．[3,3]- C ．(3,3]- D ．[3,3)-
4.设*
()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，
()y x 是方程()y p x y '''+()q x y +
0=的通解，则下列（ ）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通解。
A ．()y x
B ．*()()y x y x -
C ．*()y x
D ． *
()()y x y x + 5．2z dv Ω???在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），
其中Ω为2222
x y z R ++≤的上半球体。 A ．22
000R R
d rdr z dz πθ??? B ．220
R r
d rdr z dz
πθ?
??
C
．220
R
d dr dz
π
θ??
D
．22000
R
d rdr dz
π
θ??
三、计算下列各题（共18分，每题6分）
1 、已知3
35z xyz -=，求
y z x z ????,
2
、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面
方程。
3
、计算22()D
x y dxdy +??
，其中D 为y x =、0y =及1
x =所围的闭区域。
年级： 学号： 姓名：
………○………………密………………○………………封………………○………………线………………○………
四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）
1
、计算曲线积分2()(sin )L
x y dx x y dy
--+?
，其中L
为圆周2
2x x y -=上点)0,0(到)1,1(的一段弧。
2
、利用高斯公式计算曲面积分：
xdydz ydzdx zdxdy
∑
++??，其中∑是由22
0,3,1
z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：
)1(21(1)ln n
n n ∞
=-∑
n
n n
3sin 4)2(1π∑∞
=
五、求解下列各题（共21分,每题7分）
1
、求函数
123163),(23
2++-
+=y y x x y x f 的极值。
2 、求方程x
dy
y e dx -=满足0
1x y
==的特解。
3、求方程=+'-''y y y 65(1)x
x e +的通解。
参考答案
一、 填空题：（每空3分，共21分）
1、{
}11),(+≤≤-x y x y x ， 2、21
，3、dy y x y dx y x x )cos(2)cos(22222+++,
4、22，
5、1
2
2
0()d f r rdr πθ??，6、绝对收敛，7、c
x y +=2（c 为?常数）， 二、选择题：（每空3分，共15分）1、B ，2、B ，3、B ，4、D ，5、D
三、解：
1、令53),,(3
--=xyz z z y x F 2'
xy z yz F F x z z x -=-=??2
4' xy z xz
F F y z z y -=-=??2
6' 2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'
则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6' 3、原式dy
y x dx x
??+=02
210)(4' 31
= 6'
四、解：1、令
2
(,),(,)(sin ),1
P Q
P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'
原式
1
1
2
(0)(1sin )x dx y dy
=--+??6'
5
cos13=-
7' 2、令z R y Q x P ===,,2'
原式
(
)P Q R
dv x y z Ω
???=++??????5'
3dv
Ω
=???7' π9=8'
3、)1( 此级数为交错级数 1'
因0
ln 1lim
=∞→n n ，)1ln(1ln 1+>n n )3,2( =n
4'
故原级数收敛 5'
(2) 此级数为正项级数1'
因1
3
43sin 43sin
4lim 11>=++∞→n
n n n n ππ
4' 故原级
数发散 5'
五、解：1、由066),(=+=x y x f x ，
04),(2
=-=y y y x f y 得驻点)4,1(),0,1(-- 3'
在)0,1(-处
4)0,1(,0)0,1(,6)0,1(=-==-==-=yy xy xx f C f B f A 因0,02
>>-A B AC ，所以有极小值2)0,1(-=-f 5' 在
)4,1(-处 4)4,1(,0)4,1(,6)4,1(-=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因,02
<-B AC ，所以在此处无极值 7' 2、通解1[]dx dx x y e e dx c e -??=+? 3' ()x x c e =+ 5' 01,x y c === 特解为(1)x
y x e =+ 7'
3、)1对应的齐次方程的特征方程为 0652=+-r r , 有两不相等的实根3,221==r r
所以对应的齐次方程的通解为
x
x e c e c y 3221+=（21,c c 为?常数）
3'
)2设其特解x
e b ax x y )()(*+=
将其代入原方程得
152321,,24ax a b x a b -+=+=
=
故特解
*15
()()24x
y x x e =+6'
)3原方程的通解为x
x e c e c y 3221+=15
()24
x
x e ++7'