高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设

A x f x x =→)(lim 0

，

（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

（i ）数列{}

的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”

（ii ）A x x f x A x f x =+∞

→=-∞

→?=∞

→lim

lim

lim

)()(

(iii)

A x x x x A x f x x =→=→?=→+

-

lim lim lim 0

)(

(iv)单调有界准则

（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）

（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限

)

(lim 0

x f x x →存在的充分必要条件是：

εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．

时候使用。例题略。 2.洛必达（L’ho spital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

（i ）“

00”“∞

∞

”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)

()(1

)(1

)(1

)()(x g x f x f x g x g x f -=-

(iii)“00”“∞1”“0

∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e

x f x g x g x f )

(ln )()()(=，

这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x

e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θ ； 3211253)!

32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m

x m x m x x x x x θ

cos=221242)!

22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ ln （1+x ）=x-1

1132)1)(1()

1()1(32++-++-+-+-+n n n

n

n x n x n x x x θ (1+x)u =1112

)1(!

2)1(1+--+++++-+

+n n u n u n n u x x C x C x u u ux θ 以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设均不为零m n b a ,，

P （x ）=0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,0111)(b x b x b x b x Q m m m m ++++=-- (i)????

?????>∞<==∞

→)(,)(,0)(,)()(lim m n m n n m b a x Q x P x n n

（ii ）若0)(0≠x Q ，则)()

()()(00lim

x Q x P x Q x P x x =→ 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设

0>>>c b a ，n n n n n c b a x ++=，求n n x lim ∞

→

解：由于a a

a a a x a n

n n n n ==<<∞

→∞

→)3(,,3lim lim 以及

，由夹逼定理可知a x n n =∞

→lim

（2）求???

???++++∞→222

)2(1)1(11lim n n n

n

解：由n n

n n n n n

1

111)2(1)1(1102222

22

=+++<++++< ，以及01

0lim lim ==∞→∞→n

n n 可知，原式=0 (3)求????

??++++++∞

→n n n n n 2

221

211

1lim 解：由n

n n

n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,以及

11111lim

lim

lim 2

=+

=+=∞

→∞

→∞

→n

n

n n n n n 得，原式=1

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：

求

()

12

321lim -∞

→++++n n nx x

x )1|(|

8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

???

? ??+++?+?∞

→)1(1321211lim n n n =1)1(11)1(1

131

21211lim lim =??

? ??+-=??? ??+-++-+-∞→∞

→n n n n n 9.利用1+n x x x 与极限相同求极限。例如：

（1）已知n n a a a 12,211+==+，且已知n n a lim ∞

→存在，求该极限值。 解:设n n a lim ∞

→=A ，（显然A 0>）则A

A 12+=，即0122=--A A ，解得结果并舍去负值得A=1+2

（2）利用．．单调有界的性质．．．．．．．。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如 设n n n n x x x x x lim ,2,,22,2121∞

→-+=+==求

解：（i ）显然221<

所以，{}n x 是单调递增数列，且有上界，收敛。设

A n =∞

→lim ，（显然)0>A 则A A +=

2，即

022=--A A 。解方程并舍去负值得A=2.即2lim =∞

→n n x

10.两个重要极限的应用。 （i ）

1sin lim 0

=→x x

x 常用语含三角函数的“00” 型未定式 (ii)()e x x x =+→1

1lim ，在“∞

1”型未定式中常用

11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n

n 快于n ！,n ！快于指数型函数n

b (b 为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x 趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。

12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限

x

x x 2sin 2arccos lim

π

-

→。解：设t t x t x x t sin )2cos(,00,2arccos -=+=→→-=ππ且时，则。

原式=

2

1

sin 222arccos 22arccos 2sin 2lim

lim

lim 0

0-=-=

-

=

-

→→→t t x

x x

x x

x t x x π

π

13．利用定积分求数列极限。例如：求极限???

??++++++∞→n n n n n 12111lim 。由于

n

i n i n +=+11

1，所以

2ln 11111111211121lim lim ==?

????? ?

?+++=??? ??++++++?∞→∞→x n n n n n n n n n n 14.利用导数的定义求“0

0”型未定式极限。一般都是x →0时候，分子上是“)()(a f x a f -+”的形式，看见

了这种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你m '

=）（a f 告诉函数在具体某一点的导数值时，

基本上就是暗示一定要用导数定义）

例:设

)

(,0)('

a f a f >存在，求()n

n a f n a f ?????

?

???

?????? ??+∞→1lim 解：原式=()n a f a f n a f a f n

a f a f n n

n a f a f n a f a f a f n a f )

()

()1

()

()1

()

()()()1(1)(11lim lim -+?

-+∞→∞→?

?

????????-++=?????

???

??

??-??? ??++

=)

()(')(11)

()1

(lim a f a f a f n

a f n

a f n e

e

=-+∞

→

导数

微分学

微分

微积分

不定积分

积分学

定积分

无穷级数

第一章 函数及其特性

1.1 集合

一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。 二、表达方式： 集合A ，B ，C ……（大写字母）

元素a ，b ，c ……（小写字母） A=｛a ，b ，c ｝

元素的排列无重复，无顺序。

a 属于A 记作a ∈A ，1不属于A 记作1?A 或1∈A 三、分类 有限集

无限集

空集Ф

四、集合的运算

1、子集：存在A 、B 两个集合，如果A 中所有元素都在B 中，则A 叫做B 的子集，A ?B 或B ?A （空集是任何集合的子集）。

2、交集： 存在A 、B 两个集合，由既在A 中又在B 中的元素组成的集合。A B ，A B ?A ，A B ?B ，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A 、B 两个集合，由所有在A 、B 中的元素组成的集合。A B ，A B ?A ，A B ?B ，Ф B=B 。

4、补集：存在A 、B 两个集合，且A ?B ，由在B 当中但不在A 中的元素组成的集合，叫A 的补集，B 叫全集。记作A B 或A C B ， A B A=Ф， A B A=B 五、数、数轴、区间、邻域

1、数 实数

虚数: 规定i 2= -1，i 叫虚数单位，i i 3332==-

2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3、区间 (1)闭区间

a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间 a ≤x< b, x ∈[a, b)

a< x ≤b, x ∈(a, b]

(4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]

x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)

4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。

例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：

所以x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件

注：如果A 成立，那么B 成立，即“A ?B ”，那么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但只有A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ?B ”，又有“B ?A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。

例3 已知集合M=｛0,1,2｝，则下列写法正确的是[ D ]

A 、 ｛1｝∈M

B 、 1M ?

C 、 1?M

D 、｛1｝?M 1.2 函数及其几何特性

一、定义：在一过程中，存在两个变量x 、y ，y 是按照某一对应规则f 随x 的变化而变化，y 就叫

做关于x 的函数（一元函数），表达式：y=f (x) x 叫自变量，定义域Df （x 取值范围） y 叫因变量，值域D R （y 取值范围） 二、求定义域

例1 求211

x x

y --=的定义域。 解：

}]1,0()0,1[110

1)2(0)1(2

-∈?≤≤-?≥-≠x x x x

例2 求2

1

arcsin

1++-=x x y 的定义域 解：

}]1,3[131

2

1

1)2(0

1)1(-∈?≤≤-?≤+≤-≥-x x x x 例3 求)

1lg(1

)(-=

=x x f y 的定义域

解：

}),2()2,1(0

1)2(20)1lg()1(∞+∈?>-≠?≠- x x x x

注：真数等于1时，对数值等于0。 三、图象 四、几何特性

1、单调性。对于y=f(x), x ∈Df, if y 随x 的增加而增加，则y=f(x)在Df 内单调增。

y 随x 的增加而减少，则y=f(x)在Df 内单调减。

2、有界性。对于y=f(x), x ∈Df, 对于任一x ∈Df ，满足A ≤f(x)≤B ，则y=f(x)在Df 内有界，A 叫下界，B 叫上界。

3、奇偶性。对于y=f(x), x ∈Df, 且Df 为对称区间, if f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。

f(-x)= -f(x)，则y=f(x)为奇函数。

如两者均不符合，则y=f(x)为非奇非偶函数。

注：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。 4、周期性。（三角函数的周期性）

对于y=f(x), x ∈Df, if 存在T>0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T 叫最小正周期。

例1 讨论1

313)(+-==x x x f y 的奇偶性（x ∈R ）

ab

b a b a b a b a b a a b

a b

a

a x x x x x x x x x x x x ==÷===-+-)()5()4()3()2(1

)1(解：)(131331311311

311313)(x f x f x x x

x x

x x

x

-=+--=+-=+-=+-=

--- ∴ 原函数是奇函数

例2 讨论)1ln()(2x x x f y ++==的奇偶性(x ∈R )。

解：

∴原函数是奇函数

1.3 五种基本的初等函数 一、幂函数

1、形如a x y =，a 为常数。

2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a 的取值而定。 如a 取以下值：

3、运算法则 （a, b 为正整数）

二、指数函数

1、形如0(>=a a y x 且)1≠a

2、x ∈R ，y>0

3、当x=0时，y=1，则图象一定过点（0，1）

4、几何特性。单调性 0

a>1 单调增

5、图象

)

()()

()1ln()1ln()1(1

ln )

1()1)(1(ln

)1ln()1ln()(21222222

2x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f -=--=++-=++=++=++++-+=-+=++-=--

6、运算法则（同幂函数） 三、对数函数

1、形如0(log >=a a y x 且)1≠a

2、x>0，y ∈R

3、当x=1时，y=0，则图象一定过点（0，1） 当x=a 时，y=1

4、几何特性。单调性

0

a>1 单调增

5、图象

6、两种特殊的对数

(1) 当a=10时，y=log10x =lgx (常用对数) (2) 当a=e 时，y=loge x =lnx (自然对数，e ≈2.718) 7、运算法则

x

a a y a a a a a a a x

y

a x x y x y

x y x xy ==-=+=log )4(log log )3(log log log )2(log log log )1(

四、三角函数（掌握其几何特性、特殊三角函数的图象、基本运算） 特殊角的三角函数值

曲线无限接近y 轴，但不与y 轴相交

图象：

sinx cosx

tanx

常用公式：

x

x

x x x x x x x x sin cos cot cos sin tan sin 1csc cos 1

sec =

=== x x x x x x x x x x x x x x 22

22222222sin 211cos 2sin cos 2cos sin 22csc cot sec tan 1cos -=-=-===+=+=+ 2cos 122cos 1222x x x x +=-= 两种特殊的三角形式求周期：

(1) y=Asin(ωx+θ), ω

π

2=T

(2) y=|sinx|, T=π 五、反三角函数

解：令 图象：

arctanx arccotx

通过以上五种基本函数有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、复合，就构成了初等函数。 1.4 复合函数、反函数、分段函数 一、复合函数

由y=f(u), u=g(x), 可得到y=f [g(x)]，叫做y 关于x 的复合函数，u 叫中间变量。

例1 已知1)1(+=x x

x f , 求f(x). 例2 已知f(x+1)=x(x-1), 求f(x)

解：设t

x t x 1

1=?= 解：令t=x+1, 则x=t-1

x

x f t t t t f +=

∴+=

+=∴11

)(11111

)( 23)(23)11)(1()(2

2+-=∴+-=---=∴x x x f t t t t t f 注：t 和x 都是代表变量，习惯性用x 表示自变量，因此最后答案直接用x 代替t.

例3 已知f(x-1)=x 2+x+1, 求)1

1

(

-x f 例4 已知f(x)的定义域为[0, 4]，求f(x 2)的解：令t=x-1, 则x=t+1 定义域。 3

)1

1(3)11()11(331)1()1()(222+-+-=-∴++=++++=∴x x x f t t t t t f 2

24040)

(22

≤≤-∴≤≤?≤≤=?=x x t t f y x t

例5 已知f(x+2)=x 2-2x+3, 求f [f(2)].

解法①：令t=x+2, 则x=t-2 解法②：由f(2)可知f(x+2)中x=0

f(t)=(t-2)2-2(t-2)+3=t 2-6t+11 ∴ f(2)=02-2×0+3=3

则f(2)=22-6×2+11=3 则由f [f(2)]=f(3)又可知x =1

y

y x y y e y y e y e y ye e y e ye y x x x x x x x -=?-=?-=

?-=?-=?=+1ln 1ln ln 1)1(所以f [f(2)]=f(3)=32-6×3+11=2 ∴ f [f(2)]= f(3)= 12-2×1+3=2

二、反函数

已知y=f(x)?x=F(y)即y=F(x), 则y=F(x)叫y=f(x)的反函数，可记作f -1(x).

1、反函数与原函数的图象关于直线y=x 对称。

2、两组反函数

(1) y=a x 与y=loga x , 指数函数与对数函数互为反函数。

x a a x a a a a y y a y a y x x

=?=?=?=log log log log log (2) y=sinx 与 y=arcsinx (-

2π≤x ≤2

π) 例：求x

x

e

e y +=1的反函数。 解：由原函数可得

即反函数为x

x y -=1ln

三、分段函数（关键在分段点）

1.5 几种简单经济函数的建立

价格P ，需求量D ，产量Q ，总收益R ，总成本C ，总利润L 本书中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q 一、需求函数：D=D(P) 二、总收益函数：

???=?=)(P D D D P R ??

?==?)

()

(D R R P R R 三、总成本函数：C=变动成本+固定成本 四、总利润函数：L=R-C

例：已知需求函数2

10D

P -=，求R(P), R(D). 解：P D D

P 2202

10-=?-

= R=P ×D=P ×(20-2P)=-2P 2+20P

D D D D D P R 102

1

)210(2+-=?-=?=

∴R(P)= -2P 2+20P

R(D)= D D 102

1

2+-

第二章 函数的极限、连续性

2.1 函数的极限 一、数列的极限

1、数列：按自然数的顺序排列的一列数，n a a a a 321,,. 1a 首项，n a 通项公式。

2、数列的极限：对于n a ，当n →(趋向于)∞时，if n a →A, 则A 叫n a 当n →∞时的极限。 记作：A a n n =∞

→lim

二、函数的极限

1、对于y=f(x), 当x →∞时，if f(x) →A, 则A 叫f(x)当x →∞时的极限，A x f x =∞

→)(lim

A x f x =∞

→)(lim 的充分必要条件：=+∞

→)(lim x f x A x f x =-∞

→)(lim ，即左右极限存在且相等。

例：判断x x arctan lim ∞

→是否存在。

解：由arctanx 的图象可知 当x →-∞时，2

arctan lim π

-

=-∞

→x x

当x →+∞时，2

arctan lim π

=

+∞

→x x

所以x x arctan lim ∞

→不存在。

2、对于y=f(x), 当x →x o 时, if f(x) →B, 则B 叫做f(x)当x →x o 时的极限，B x f x x =→)(lim 0

B x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件：=+→)(lim 0

0x f x x B x f x x =-→)(lim 0

0，即左右极限存在且相等。

例1 已知??

?

??>-=<-=1

112

1

1)(x x x x x x f ，判断)(lim 1

x f x →是否存在。

解：0)1(lim 0

)1(lim 11

=-=-+

-→→x x x x

∴)(lim 1

x f x →存在

例2 判断x

x

x 0

lim

→是否存在。 解：1lim lim

000

0-=-=-→-→x x x x x x 1lim lim 0000==+→+→x

x x x x x ∴x

x

x 0

lim

→不存在 三、函数的极限的计算

1、运算法则：已知B x g A x f x x x x ==∞→∞→)(lim ,)(lim )

()

(00

[][][])0()()(lim )5()(lim

)4()(lim )3()()(lim )2()()(lim

)1()()

()

()

()

(00

00

0≠=????

??==?=?±=±∞→∞→∞→∞→∞→B B A

x g x f A x f KA

x Kf B A x g x f B

A x g x f x x m

m

x x x x x x x x (K 是常数)

2、判别法则

(1)夹逼准则：在x o

if A x w x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00, 则1sin lim )(lim 00=?=→→x

x

A x f x x x

(2)单调有界函数必有极限e x

x x =+?∞→)1

1(lim

3

33sin lim 333sin 3lim 3sin lim 1000===→→→x

x

x x x

x x x x 例 11

1sin lim 1sin lim 2==∞→∞→x x x x x x 例 5

3

555sin 333sin lim 5sin 3sin lim

300=??=→→x x x x x x

x x

x x 例 1

cos 1

lim

sin lim cos 1

sin lim cos sin lim lim

400000=?=?==→→→→→x x x x x x x x x

x

tgx x x x x x 例 1sin 1

lim sin lim sin arcsin arcsin lim 6000===∴=?=→→→t t

t t t x x t x x x x x 原式令例 e

x x x

x x x =??

???? ??+=+→→1

01

0111lim )1(lim 7例 x x x x x n n n n n n n n =??=∞→∞→222sin 2lim 2sin 2lim 8例 2

2

2)2(2

)211(lim )2

11(lim )21(lim )2

1(lim 5---∞→-?-∞→∞→∞→=?

???

?

?????-+=-+=-+=-e x x x

x

x

x x

x x x x

x 例

e

e x x x x x x x x x

x ==++++=++=++

+∞→-+∞→∞→1

)

2

11()

211(lim )2

11(lim )

2

11(lim 922

2

2例 三、一般初等函数求极限

1、当x →x o 时，if f(x)在x o 有意义，则极限等于f(x o ).

f(x)在x o 无意义，则对f(x)进行恒等变换，将f(x)变换为在x o 有意义或公式的形式。

2、当x →∞时，利用公式或利用)0(01

lim

>=∞→P x P

x 来求极限。 4332lim )1)(3()1)(2(lim 322lim 111221=--=+-+-=-----→-→-→x x x x x x x x x x x x x 例 4

12

1lim )2)(2(2lim 4

2lim 24

1644

4164

16=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x 例 21111lim 11(lim )11()11)(11(lim 11lim 30

000=++=++=++-+-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例

2

1cos 11

sin lim

)

cos 1(sin lim )cos 1()cos 1)(cos 1(lim cos 1lim

422

022

202

0=+?

=+=++-=-→→→→x x x x x x x x x x x x

x x x x 例

21

1

1

11lim

)

(lim ))

)((lim

)

(lim 5=++=++=++++-+=-++∞

→+∞

→+∞

→+∞

→x

x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x 每项除以最高次数项例

0401241

235lim 1

241235lim 64

24

322423==--+--=--+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x x 例

4

22

)2

1()21(lim )2121(

lim )

2

2(

lim 10--∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e

e x

x x x x x x

x

x x x x

x 例525lim )(2

525lim 25)25)(25(lim 25lim 72222222222=

+

=-+++=-++-++--+=--+∞

→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 每项除以最高次例

???

??

????>∞<==++++++--∞→m n m n m n B A B x B x B A x A x A m m m n n n x ,,0,lim :0

110110 公式

四、分段函数求极限(以x →x o 为例)

1、如果x o 不是分段点，则按初等函数定。

2、如果x o 是分段点，则利用充分必要条件。

例1 已知??

?

??>-=<-==1

,11,

21

,

1)(x x x x x x f y ，求)(lim ),(lim ),(lim 1

23x f x f x f x x x →-→→

解：(1) 2)1(lim )(lim 3

3

=-=→→x x f x x

(2) 3)1(lim )(lim 2

2

=-=-→-→x x f x x

(3) 当x →1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件：

)(lim 0

)1(lim )(lim ,

0)1(lim )(lim 1

1

11

1

=∴=-==-=→→→→→++

--x f x x f x x f x x x x x

例2 已知??

?=≠==1

,01,

1)(x x x f y ，求)(lim ),(lim 1

x f x f x x →→

解：)110(1)(lim ,

1)(lim 1

≠→→==→→x x f x f x x 都属于或

2.2 无穷大量、无穷小量

一、定义：对于y=f(x), 当x →x o (x →∞)时

if f(x)→∞, 则称f(x)是当x →x o (x →∞)时的无穷大量。

if f(x)→0, 则称f(x)是当x →x o (x →∞)时的无穷小量。

注：当x →0时，x 1

sin 既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一个有界函数。

当x →∞时，x

1

sin 是无穷小量。

二、两者间的关系：当x 在同一变化趋势下时，两者互为倒数。

已知当x →x o 时，如果f(x)→∞(0)，则)(0)

(1

∞→x f 三、无穷小量的性质

1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。

2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。

三角函数的角度 →0时，用公式来求极限。

→∞时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。

??

?

??????

===??????

?==?=→∞→∞

→→∞→∞→01sin lim )(111sin lim 1sin lim )2()(1sin lim 0sin 1lim sin lim )1(0

0x x x x x x x

x x x x x x x x x x x 用公式计算公式

3、如果A x f x x =→)(lim 0

, 则在x o 的邻域内f(x)-A=ω(x)(无穷小量)，即f(x)与A 之间相差一个无穷

小量。

四、无穷小量的阶次的比较

已知x →x o (x →∞)时，f(x)→0, g(x)→0, 取

??

???∞===≠=∞→→.)()(,.)()(,0.

,1.,0)

()(lim )(0低阶比则高阶比则两者为等价无穷小量时则这两个无穷小量同阶x g x f x g x f A A x g x f x x x 例1 当x →0时，比较x x cos sin 2

1

与x 的阶次。

解：21

cos sin lim 21cos sin 21

lim 00=?=→→x x x x x

x x x

∴ 两者同阶

例2 当x →0时，比较ln(1+x)与x 的阶次。

两者为等价无穷小量

解∴===+=+=+=+→→→→→1

ln ln lim )111ln(lim )1ln(lim )1ln(1

lim )1ln(lim :01

01000e e x

x x x x x x x x x x x x

2.3 函数的连续性

一、定义：对于y=f(x)在x o 的邻域内有定义，当x 取x o+Δx 时，y=f(x o+Δx)， 则

Δy=f(x o+Δx)-f(x o ). if Δx →0, 则Δy →0, 即0lim 0

=?→?y x , 则称y=f(x)在x o 连续。

? if )()(lim 00

x f x f x x =→, 则y=f(x)在x o 处是连续函数。

由定义可得出函数连续的三个必要条件： (1) y=f(x)在x o 有意义 (2)当x →x o 时，极限存在 (3)极限等于f(x o ) 1、初等函数的连续性 在定义域内一定连续。 2、分段函数的连续性

(1)如果x o 不是分段点，则当初等函数看待。

(2)如果x o 是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。 例1 求)

1ln(3)(--=

=x x

x f y 的连续区间。

]3,2()2,1(303)3(1

01)2(20)1ln()1(: ∈∴???

??-≤?≥->?>-≠?≠-x x x x x x x 原函数的连续区间为解

例2 已知??

?

??>-=<-==1

,11,

21

,1)(x x x x x x f y ，讨论y=f(x)在x=1处的连续性。 解：(1)当x=1时，f(1)=2

(2)0

)(lim ,

01)(lim ,01)(lim 1

1

1

=∴=-==-=→→→+-x f x x f x x f x x x

处不连续在1)(2

)1(0)(lim 1

==∴=≠

=→x x f y f x f x

例3 已知??

?

??≥+<==0

,0,2sin )(x a e x x

x

x f y x ，求a 的值，使f(x)在(-∞,+∞)内连续。

a

a e x f x x

x f x

x x x x +=+===++-

-→→→→1lim )(lim 2

2sin lim )(lim :0

00解 ?a=1时，f(x)在(-∞,+∞)内连续

二、在闭区间连续函数的性质

1、如果y=f(x)在[a, b ]连续，则在[a, b ]内能取到最大值max 和最小值min 。

2、零点存在的原理

y=f(x)在[a, b ]连续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在x o ∈(a, b)，使f(x o )=0，x o 叫零点。 例：求证方程x 5-5x-1=0在(1, 2)内至少存在一个实数根。

证明：令f(x)= x 5-5x-1在[1, 2]连续

f(1)-5 f(2)=21

∴ 根据零点存在的原理，至少存在x o ∈(1, 2)，使f(x o )=0 ∴ 方程在(1, 2)内至少存在一个实数根。

)2()1(

f