全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题几何概型

几何概型

A组基础题组

1.已知f(x)=x

2+cos x,在区间(0,π)内任取一数x

,使得f '(x

)>0的概率为( )

A.π

6B.1

6

C.1

3

D.1

2

2.(2017湖南长沙四县3月联考)如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )

A.1-π

4B.π

12

C.π

4

D.1-π

12

3. (2018安徽合肥第一次质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C的方程为x2-y=0)的点的个数的估计值为( )

A.5 000

B.6 667

C.7 500

D.7 854

4. (2017吉林长春二模,5)如图,扇形AOB的圆心角为120°,点P在弦AB上,且AP=1

3

AB,延长OP交弧AB于点C.现向扇形AOB内投一点,则该点落在扇形AOC内的概率为( )

A.1

4B.1

3

C.2

7

D.3

8

5.设不等式组x+y≤2,

x-y≥-2,

y≥0

所表示的区域为M,函数y=1-x2的图象与x轴所围成的区域为

N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为( )

A.2

πB.π

4

C.π

8

D.π

16

6.已知在圆(x-2)2+(y-2)2=8内有一平面区域E:x-4≤0,

y≥0,

mx-y≤0,m≥0,

点P是圆内的任意一点,

而且点P出现在任何一处是等可能的.若使点P落在平面区域E内的概率最大,则

m= .

7. 如图,正四棱锥S-ABCD的顶点都在球面上,球心O在平面ABCD上,在球O内任取一点,则这点取自正四棱锥的概率为.

8.在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率

为.

9.已知关于x的一次函数y=kx+b(x∈R).

(1)设集合A={-1,1,2,3},从集合A中随机取一个数作为k,求函数y=kx+b是减函数的概率;

(2)实数对(k,b)满足条件k+b-1≤0,

0

-1≤b≤1.

求函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率.

10.如图,已知正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

的棱长为1,在正方体内随机取一点M.

(1)求四棱锥M-ABCD的体积小于1

6

的概率;

(2)求M落在三棱柱ABC-A

1B

1

C

1

内的概率.

B组提升题

组

1.(2018云南第一次统一检测)在平面区域x+y-4≤0,

x>0,

y>0

内随机取一点(a,b),则函数

f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数的概率为( )

A.1

4B.1

3

C.1

2

D.2

3

2.设有一个等边三角形网格(无限大),其中各个最小等边三角形的边长都是43 cm,现将直径为2 cm的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线没有公共点的概率为.

3.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是1

2

.

(1)求n的值;

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;

②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.

4.已知关于x的二次函数f(x)=b2x2-(a+1)x+1.

(1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次向上一面出现的点数,求y=f(x)恰有一个零点的概率;

(2)若a,b∈[1,6],求满足y=f(x)有零点的概率.

答案精解精析A组基础题组

1.C f '(x)=1

2-sin x,令1

2

-sin x>0,即sin x<1

2

,当x∈(0,π)时,0

6

或5π

6

概率为2×π

6

π

=1

3

.

2.A 鱼缸底面正方形的面积为22=4,圆锥底面圆的面积为π×12=π,所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π

4

,故选A.

3.B 由题图可知,空白区域的面积S

1=1

x2dx=1

3

x3

1

=1

3

,故阴影部分的面积S

2

=1- 1

3

=2

3

.所

以落入阴影部分的点的个数为2

3

×10 000≈6 667.故选B.

4.A 设OA=3,则AB=3由余弦定理可求得OP=则∠AOP=π

6

,所以扇形AOC的面

积为3π

4,扇形AOB的面积为3π,故所求概率为

3

4

π

3π

=1

4

.故选A.

5.B 如图,不等式组x+y≤2,

x-y≥-2,

y≥0

表示的区域为△ABC及其内部,函数y=1-x2的图象与x轴所

围成的区域为阴影部分,易知区域M的面积为2,区域N的面积为π

2

,由几何概型的概率公式

知所求概率为π

2

2

=π

4

.

6.答案0

解析如图所示,当m=0时,平面区域E(阴影部分)的面积最大,此时点P落在平面区域E 内的概率最大.

7.答案1

2π

解析设球的半径为R,则所求的概率为P=V

正四棱锥

V

球

=

1

3

×1

2

×2R×2R×R

4

3

πR3

=1

2π

.

8.答案4

5

解析要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+8

x

在(0,+∞)上恒成

立.又2x+8

x

≥216=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由几何概型的

概率计算公式可知所求概率为8-0

10-0=4

5 .

9.解析(1)从集合A中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种,满足函数y=kx+b是减函数的结果是k=-1,则所求概率为P=1

4

.

(2)因为k>0,所以函数y=kx+b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出(k,b)对应的平面区域如图中的梯形ABCD(不含b轴),

其面积是S

1=(1+2)×1

2

=3

2

,符合限制条件的(k,b)对应的平面区域如图中的三角形BOC,其面积

是S

2=1

2

,故所求概率P=S2

S1

=1

3

.

10.解析(1)设四棱锥M-ABCD的高为h,令1

3·S

四边形ABCD

·h=1

6

,

∵S

四边形ABCD =1,∴h=1

2

.

若四棱锥M-ABCD的体积小于1

6,则h<1

2

,即点M在正方体的下半部分,

∴P=1

2

V

正方体

V

正方体

=1

2

.

(2)∵V

三棱柱=1

2

×12×1=1

2

,

∴所求概率P

1=

V

三棱柱

V

正方体

=1

2

.

B组提升题组

1.B 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA,OB),

则S

△AOB =1

2

×4×4=8.函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数,则应满足a>0且

x=4b

2a

≤1,

即a>0,

a≥2b,可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC,BC,不包括边界OB),由

a=2b,

a+b-4=0,解得a=8

3

,b=4

3

,所以S

△COB

=1

2

×4×4

3

=8

3

,根据几何概型的概率计算公式,可知所求

的概率为8

3

8

=1

3

,故选B.

2.答案1

4

解析记事件A为“硬币落下后与格线没有公共点”,易知网格中最小等边三角形的中心到各边的距离均为2 cm,由题意,在等边三角形(该等边三角形是网格中最小的等边三角形)内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm,如图所示,则小等

边三角形的边长为2×1×3=23(cm),由几何概型的概率计算公式得P(A)=

3

4

×(23)2

3

4

×3)2

=1

4

.

3.解析(1)依题意共有(n+2)个小球,则从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球

的概率为n

n+2=1

2

,∴n=2.

(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,

故P(A)=8

12=2

3 .

②易知(a-b)2≤4,故待求概率的事件即为“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标, 则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},

由几何概型得概率P=4-1

4

π·22

4

=1-π

4

.

4.解析(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36个.

用A表示事件“y=f(x)恰有一个零点”,令Δ=[-(a+1)]2-4b2=0,则a+1=2b,则A包含的基本

事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个,所以P(A)=3

36=1

12

.

所以事件“y=f(x)恰有一个零点”发生的概率为1

12

.

(2)用B表示事件“y=f(x)有零点”,则B即为“a+1≥2b”.

试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6},构成事件B的区域为{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a-2b+1≥0},如图:

所以所求的概率为P(B)=1

2

×5×5

2

5×5

=1

4

.

所以事件“y=f(x)有零点”发生的概率为1

4

.

全国名校高三数学经典压轴题100例(人教版附详解)

好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? +

全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 数列中的不等关系

第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知 识来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和 n S 也可看做数列{}12:,, ,n n S S S S 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,, ,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发， 用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? =

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一 基本知识剖析 1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二 常见题型梳理 1.长度之比类型 例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率． 例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面 积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率． 2.面积、体积之比类型 例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。

全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)六

中学理科数学小题训练六 一、选择题： 1．设集合A={x|x 2 ﹣x ﹣6＜0，x ∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x ∈A}，则A ∩B 等于（ ） A ．{x|0＜x ＜3} B ．{x|﹣1＜x ＜0} C ．{x|﹣2＜x ＜0} D ．{x|﹣3＜x ＜3} 2．命题p ：?x0∈R ，不等式01cos 0 0<-+x e x 成立，则p 的否定为（ ） A ．?x0∈R ，不等式01cos 0 0≥-+x e x 成立 B ．?x ∈R ，不等式0 1cos <-+x e x 成立 C ．?x ∈R ，不等式01cos ≥-+x e x 成立 D ．?x ∈R ，不等式01cos >-+x e x 成立 3．在复平面内复数的模为 ，则复数z ﹣bi 在复平面上对应 的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）

A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺 5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（） A．0 B． C． D．1 6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（） A． B． C． D．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD， ∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点， 若在方向上的投影为，则= （） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图所示，函数离y轴 最近的零点与最大值均在抛物线上，则f （x）=（） A．B． C．D．

全国100所名校高考数学冲刺试卷(文科)解析版(一)

2016年全国100所名校高考数学冲刺试卷（文科）（一） 一、选择题 1．（5分）已知集合A={x|lgx≤1}，B={﹣2，5，8，11}，则A∩B等于（） A．{﹣2，5，8}B．{5，8}C．{5，8，11}D．{﹣2，5，8，11} 2．（5分）若复数z满足（1+i）?z=3﹣2i（i是虚数单位），则z等于（） A．B．C．D． 3．（5分）某市共有2500个行政村，根据经济的状况分为贫困村1000个，脱贫村900个，小康村600个，为了解各村的路况，采用分层抽样的方法，若从本市中抽取100个村，则从贫困村和小康村抽取的样本数分别为（） A．40、24 B．40、36 C．24、36 D．24、40 4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=﹣10，则输出结果为（） A．2 B．3 C．510 D．1022 5．（5分）若点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，F是抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）已知命题p：对?x∈R，x2≥0；命题q：若α为第一象限角，β为第二象限角，则α＜β，则以下命题为假命题的是． A．（￢p）∨（￢q）B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q） 7．（5分）《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步，问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽2016步，长2000步，则该田有（） A．167顷B．168顷C．169顷D．673顷 8．（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，=﹣3，则（） A．=﹣+B．=﹣+ C．=﹣D．=﹣ 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为64+16π，则实数a等于（）

全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 等差数列性质

第49炼 等差数列性质 一、基础知识： 1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示 2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形： （1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式 （2）n m a a d n m -= -：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3）1 1n a a n d -=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项 （1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *?≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项 （3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+?+=+ 注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立 ② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一” 4、等差数列通项公式与函数的关系： ()111n a a n d d n a d =+-=?+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可 通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。 5、等差数列前n 项和公式：12 n n a a S n += ?，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+?+=+可得：()12 p q n a a S n p q n += ?+=+，作用： 在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可

会面问题 利用概率论及MATLAB来求解

会面问题 甲乙两人相约某天9:00-10:00在某地会面商谈生意,双方约定先到者必须等候另一人20分钟,过时如果另一人仍未到则可离去,试求两人能够会面的概率。 1用所学概率论知识建模并求解； 2用Matlab 软件编程模拟实现这个过程，并与理论结果相比较。 解：用所学概率论知识建模并求解 将9点到10点看成是0到60分钟，则甲乙两人到达的时间概率分布可看做是分布，此时不妨设甲到达的时间为t1,乙到达的时间为t2，（0<=t1,t2<=60） 当t1，t2满足|t1-t2|<=20时，两人则可碰面。 下面画出图形便于形象理解。 如图红线与黄线所围中间部分即为两人会面的情况，根据均匀分布的概率分布，可知两人会面概率为S 围/S 总=5/9=0.5556. 用Matlab 软件编程模拟实现这个过程，并与理论结果相比较。 >>syms l; l=0; fori=1:100 a=60*rand(1,2); if (abs(a(1,1)-a(1,2))<=20) l=l+1; end end >>l/100 l 表示两者相遇的次数，经过计算，当实验次数为100次时，会面概率为0.4600； 0102030405060 010 20 30 40 50 60

下面我们增大实验次数， 实验次数为1000时，会面概率为0.5590； 实验次数为10000时，会面概率为0.5525； 实验次数为100000时，会面概率为0.5546； 实验次数为1000000时，会面概率为0.5552； … 从随机实验可以发现，当实验次数越来越大时，随机事件发生的概率就越来越稳定于一个值，而这个值与我们理论计算出来的值是一致的，因此从实验角度证明了概率论概率计算理论的正确性。

全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质 A组基础题组 1.y=|cos x|的一个单调增区间是( ) A.- B.[0,π] C. D. 2.下列函数中,周期为π的奇函数为( ) A.y=sin xcos x B.y=sin2x C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x 3.已知函数f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( ) A.x= B.x= C.x= D.x= 4.(2018江西宜春中学与新余一中联考)设函数 f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角 θ=( ) A.- B. C.- D. 5.(2017河北石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin, f '(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f '(x)的一个单调递减区间是( ) A. B.- C.- D.- 6.函数y=3-2cos的最大值为,此时x= . 7.比较大小:sin-sin-. 8.已知函数f(x)=cos,其中x∈∈且,若f(x)的值域是--,则m的最大值是.

9.已知函数y=cos. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数图象的对称轴及对称中心. 10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.

B组提升 题组 1.(2017湖北武汉武昌调研考试)若f(x)=cos 2x+acos在上是增函数,则实数a的取值范围为( ) A.[-2 +∞) B.(-2 +∞) C.(-∞ -4) D.(-∞ -4] 2.已知函数f(x)=2sin ωx在-上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) A.-∞ -∪[6 +∞) B.-∞ -∪∞ C.(-∞ -2]∪[6 +∞) D.(-∞ -2]∪∞ 3.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程; (2)讨论函数f(x)在上的单调性.

全国名校高考数学优质填空题120道(附详解)

高考数学基础训练题(1) 1．设集合 } 4|||{<=x x A ， } 034|{2>+-=x x x B ，则集合{ A x x ∈|且 B A x ?}= 。 2．下列说法中：(1)若22y x =，则y x =；(2)等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1； (3)2≥a 的否定是；(4)若3>+b a ，则1>a 或2>b 。其中不正确的有 。 3．设集合}2|||{<-=a x x A ，}12 12|{<+-=x x x B ，且B A ?，则实数a 的取值范围 是 。 4．已知二次函数)0(3)(2≠-+=a bx ax x f 满足)4()2(f f = ，则)6(f = 。 5．计算： 31 2 1log 24lg539--??- ? ?? = 。 6．已知函数1 )(2 ++=x b ax x f 的值域是[－1,4 ]，则b a 2 的值是 。 7．若函数 3 )2(2+++=x a x y ， ] [b a x ，∈的图象关于直线1=x 对称，则 =b 。 8．函数)(x f y = 的图象与x x g )4 1 ()(=的图象关于直线 y=x 对称，那么) 2(2x x f -的单调减区 间是 。 9．函数1 )(---= a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（-1,3），则实数a = 。

10．)(x f y = 是 R 上的减函数，且)(x f y =的图象经过点A （0,1）和B （3,-1）， 则不等式 1|)1(|<+x f 的解集为 。 11．已知函数?? ?>≤+=0,l o g ,1)(2x x x x x f ，若 1 ))((0-=x f f ，则 x 的取值范围 是 . 12．已知函数),1,1(,5sin )(-∈+=x x x x f 如果,0)1()1(2<-+-a f a f 则a 的取值范围 是____。 13．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负根，则a 的取值范围是 。 14．已知函数)(x f 满足：对任意实数21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f < ，且 )()()(2121x f x f x x f ?=+写出满足上述条件的一个函数： 。 15．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足 ) 1l g ()()(2+=--x x f x f ，则 )(x f = 。 16．已知函数x x f 2log )(=，2)(y x y x F +=，，则)1),4 1((f F 等于 。 17．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么x 的取值范围是 。 18．若函数? ??? ??+=x x x f 24 1log ,log 3min )(，其中{}q p ,min 表示q p ,两者中的较小者， 则2)(

概率论与数理统计§1.3古典概型与几何概型.

§ 13古典概型与几何概型 13.1 古典概型 1.定义 ⑴试验的样本空间只包含有限个元素； (2)试验中每个基本事件发主的可能性相同具有以上两个特点的邂称为等可能概型或古典概型.

2.古典概型中事件概率的计算公式 设试验￡的样本空间由《个样本点构成，A 为E 的任意一个事件，且包含&个样本点，则事件M发生的概率为： 厶4所包含样本点的个数 '■ n■样本空间中样本点总数? 称此为概率的古典定义. 例1将一枚硬币抛掷三次(1)设事件合为“恰有一次出现正面”，求P(4J?(2)设事件％为“至少有一次出 P(A,). Q 现正 解(1)设H为出现正面M为出现反面电多则S = [HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. 而A 严{HTT,THT,TTH}?得PG4J = 3 8? (2) A 2 = {HHH, HHr, HTH, THH, HTT, THT‘TTH }?因此P(/4 2)= 7 8. 见尸11例7

说明: 对于比较简单的试验,可以直接写出样本空间和审件,然后数出各自所含样本点的个数即可. 对于较复杂的试验,-般不再将样本空间中的元素——列出,而只需利用排列.组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数,再由公式即可求出的概率. [#列.fe令基机公式 排列.姐合基本公式 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有心种方法，第二步有兀2种方法, 则完成这件事共有心心种方法

加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有心种方法，第二种途径有宛2种方法,则完成这件事共有勺+Z/2种方法? 共有汹种排列方式. 有重复排列： 抽取次, 后放 回, 从含有畀个元素的集合中随机每次 取一个，记录其结果将记录结果排 成一列，

全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(知识点详解附专题训练) 数列求和之裂项相消法

第6节 数列求和之裂项相消法 【基础知识】 1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前错误！未找到引用源。项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似错误！未找到引用源。（其中错误！未找到引用源。是各项不为零的等差数列，错误！未找到引用源。为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）错误！未找到引用源。，特别地当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。； （21 k = ，特别地当错误！未找到引用源。时， =； （3）()() 221111212122121n n a n n n n ?? ==+- ?-+-+?? （4）()()( )()()1111 122112n a n n n n n n n ??==- ? ?+++++?? （5） )()1 1(11q p q p p q pq <--= 一般裂项模型： （1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan() 1cos(cos 1sin -+=+ （3） 1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （4）

)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 （7）)1 1(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++= （8） n a == 【规律技巧】 1. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项． 对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和． 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式． 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特

公开课几何概型教案

几何概型 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 2、过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； ' （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观： 本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、几何概率模型中基本事件的确定，几何“度量”的选择；将实际问题转化为几何概型. 三、教学过程 复习回顾 、 同学们，咱们前面学习了古典概型，现在回顾一下古典概型的特点及求概率的公式 特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)； (2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）. （一）问题引入 （1)若x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值不小于2”的概率。 （古典概型） ~ (2)若x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值不小于2”的概率。 （几何概型） 自主探究 试验1、取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率有多大 试验2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率有多大 试验3、一只蜜蜂在一个棱长为60cm的正方体笼子里飞，那么蜜蜂距笼边大

于10cm的概率有多大 . 试验1试验2试验3提炼概括 一个基本 事件… 取到线段AB上 某一点 豆子落在正方形（2a ×2a）内某一点 取正方体笼子内某 一点 在对应的整个图形上取一点 （随机地） 所有基本 事件形成的集合线段AB（除两端 外） 正方形（2 4a）面 正方体笼子（棱长 60）体积 《 对应的所有点形成一个可度 量的区域D 随机事件 A对应的集合线段CD内切圆（2a π）面 正方体笼子内小正 方体（棱长40）体 积 区域D内的某个指定区域d 随机事件A发生的 概率？() P A= 圆的面积 正方形的面积 2 2 44 a a ππ == 3 3 408 () 6027 P A()A P A 构成事件的区域 全部结果构成的区域 1、几何概型的概念： ] 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型． 古典概型几何概型 所有的试验结果有限个(n个)无限个 ` 每个试验结果的发生 等可能等可能 概率的计算P(A)=m/n 3、几何概型的概率计算公式：

全国名校高中数学优质试题(附详解)高一数学第一次月考试题及答案

高一数学单元测试题 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．如果全集U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，则(U A ) (U B )为( ) A ．{1,2} B ．{3,4} C ．{5,6} D ．{7,8} 2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(?U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3} 3．设全集U ＝Z ，集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{1,3,5} B ．{1,2,3,4,5} C ．{7,9} D ．{2,4} 4．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x ) g (x )＝ 2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0 C ．,0,(),0, x x f x x x ≥?=?-0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 15．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元． 三、解答题：（共75分） 16．(10分)已知全集U ＝R ，若集合A ＝{}310x x ≤<，B ＝{x |2＜x ≤7}． (1)求A B ，A B ，(U A ) (U B )； (2)若集合C ＝{x |x ＞a }，A ?C ，求a 的取值范围．(结果用区间或集合表示)

几何概型的五类重要题型

剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公 式:积等） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = .其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的． 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数 在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 下面举几个常见的几何概型问题. 一.与长度有关的几何概型 例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30× 31=10米， ∴3 13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 二.与面积有关的几何概型 例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率．

全国名校高中数学优质(附详解)专题 必修5数列单元质量检测题

必修5数列单元质量检测题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共计60分） 1.数列252211，，，， 的一个通项公式是（ ） A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D. 33n a n =+ 2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6- 3. 2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 335 4. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ） A.45 B.75 C. 180 D.300 5. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( ) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 6. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A. 21 B.2 C. 4 1 D.4 7. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列 ｛a n ＋b n ｝的前100项之和是( ) A.1000 B.10000 C.1100 D.11000 8.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于( ) A.97 B.95 C.93 D.91 9.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 10. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( ) A. 2 1 B. 31 C.2 D.3 11. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( ) A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列 12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ， 则5 5b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 17 11 二、填空题（每小题4分，共计16分） 13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛n a 1 ｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 16. 数列121，241，341 ，416 1，…的前n 项和为 . 三、解答题： 17.（本小题满分12分） 已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n . 18.（本题满分12分） 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围.

几何概型 会面问题

《送报纸问题》教学设计 一、教学背景 送报纸问题是普通高中课程标准试验教科书必修3.3.1例2中的问题，在先前的教学过程中，学生普遍反映理解有困难。具体体现为如何把有实际背景的应用题转化为数学问题，即数学建模。本节微课按几何概型问题求解步骤为主线，分散难点，引导学生学习。 二、教学目标 （1）掌握几何概型问题的求解步骤； （2）会处理以送报纸为典型的几何概型的会面问题； （3）掌握数学建模的一般步骤。 三、教学方法 本节微课以教师讲授为主，配合PPT的使用，适当引导 四、教学过程 （1）复习回顾 ①几何概型的特点 几何概型的特点有两个， 无限性:即基本事件有无限多个； 等可能性：即每个基本事件发生都是等可能的 ②几何概型的概率公式 若事件A是一个几何概型问题，那么事件A的概率为：

③几何概型问题的求解步骤 判定：判断事件是否是几何概型 转化：分别把基本事件、事件A转化成对应的区域 求解：代入概率计算公式计算出结果 【设计意图】复习几何概型的主干知识，重点是几何概型问题的求解步骤，为后续的例题讲解作铺垫，同时为把建模进行分解。 （2）例题讲解 问题：假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，问他在离开家前能得到报纸（称为事件A)的概率是多少？ ①我们先来判定一下该问题是不是几何概型问题 引入变量： 记送报人到达小明家的时间，记为x,x在6:30-7:30之间， 记小明离开家去上班的时间，记为y,y在7:00-8:00之间， 是几何概型问题： 无限性满足，因为x,y的取值都有无穷个。 等可能性也满足,因为x,y在各自的范围内都是是任意取值的。 ②求解步骤二：转化，把基本事件、事件A转化成对应的区域 转化基本事件对应的区域 将时间的范围转化成对应实数的区间。 基本事件对应的区域是边长为1的正方形。 找事件A对应的区域

高考数学复习点拨：约会型几何概型问题

高考数学复习总结归纳点拨 1 谈“约会型”概率问题的求解 由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。请看以下几例： 例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？ 解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，如图 由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会 面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A 因此，两人见面的概率167604560)(2 22=-=A P 点评：显然，“以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面y x ,必须满足15||≤-y x ，于是，结论也就顺其自然的产生了。 例2、A 、B 两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率； 解：以x 轴和y 轴分别表示A 、B 两列火车到达的时间 两列火车必须等待，则10||≤-y x ，如图 由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能 等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 因此，这两列火车必须等待的概率是361160 5060)(222=-=A P 点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A 、B 两列火车到达车站的时间分别用y x ,表示，结论很快产生。 例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？ 解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A 发生，