河北省2021年中考数学一轮复习训练：第四章 第四节 全等三角形
第四节全等三角形
基础分点练
（建议用时：30分钟）
考点1全等三角形的判定
1.[2020湖南永州]如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是()
A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA
2.[2020黑龙江齐齐哈尔]如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)
考点2全等三角形的判定与性质的综合
3.[2020石家庄藁城区二模]老师布置了下面的证明题:
如图(1),在△ABC中AB=AC,D,E是BC上两点,且BD=CE.
求证:AD=AE.
关于小明与小丽的证明方法,下面说法正确的是()
A.小明与小丽的证明方法都正确
B.小明与小丽的证明方法都不正确
C.小丽的证明方法正确,小明的证明方法不正确
D.小明的证明方法正确,小丽的证明方法不正确
4.[2020湖北黄石]如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则∠BPC等于()
A.135°
B.150°
C.120°
D.130°
5.[2020江西]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.
6.[2020江苏无锡]如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)AF∥DE.
7.[2020湖南衡阳]如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
8.[2019唐山路北区三模改编]如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以点A为圆心、AB的长为半径画弧;②以点C为圆心、CB的长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,交AC于点E,连接AD,CD.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若∠DAC=30°,∠BCA=45°,BC=2,求AC的长.
9.[2020石家庄模拟]在证明定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半”时,小明给出如下部分证明过程.
已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.
求证:.
证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF,
……
(1)补全求证;
(2)请根据添加的辅助线,写出完整的证明过程;
(3)若CE=3,DF=8,求AB的取值范围.
综合提升练
（建议用时：35分钟）
1.[2019唐山路南区三模]如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到两个全等三角形纸片的是()
A B C D
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为()
A.15
B.12.5
C.14.5
D.17
3.[2020湖北鄂州]如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA ①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD. 其中正确结论的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 4.[2020江苏南通]如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,点D是BC的中点,直线l经过点D,分别过点A,B作AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则 AE+BF的最大值为() A. B.2 C.2 D.3 5.[2020广西河池](1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由. 图(1) 图(2) 6.[2020江苏苏州]问题1:如图(1),在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一 点,PA=PD,∠APD=90°.求证:AB+CD=BC. 问题2:如图(2),在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求的值. 图(1) 图(2) 答案 第四节全等三角形 基础分点练 （建议用时：30分钟） 考点1全等三角形的判定 1.[2020湖南永州]如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( A) A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 2.[2020黑龙江齐齐哈尔]如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是AD=AC(答案不唯一,正确即可) .(只填一个即可) 考点2全等三角形的判定与性质的综合 3.[2020石家庄藁城区二模]老师布置了下面的证明题: 如图(1),在△ABC中AB=AC,D,E是BC上两点,且BD=CE. 求证:AD=AE. 关于小明与小丽的证明方法,下面说法正确的是( A) A.小明与小丽的证明方法都正确 B.小明与小丽的证明方法都不正确 C.小丽的证明方法正确,小明的证明方法不正确 D.小明的证明方法正确,小丽的证明方法不正确 4.[2020湖北黄石]如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则∠BPC等于( C) A.135° B.150° C.120° D.130° 5.[2020江西]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为82°. 6.[2020江苏无锡]如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF. 求证:(1)△ABF≌△DCE; (2)AF∥DE. (1)证明:∵AB∥CD, ∴∠B=∠C. ∵BE=CF, ∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE. 在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE. (2)证明:∵△ABF≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC, ∴∠AFE=∠DEF, ∴AF∥DE. 7.[2020湖南衡阳]如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F. (1)求证:DE=DF; (2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数. (1)证明:∵点D为BC的中点, ∴BD=CD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90°. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF, ∴DE=DF. (2)∵∠BDE=40°, ∴∠B=90°-∠BDE=50°,∴∠C=50°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°. 8.[2019唐山路北区三模改编]如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以点A为圆心、AB的长为半径画弧;②以点C为圆心、CB的长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,交AC于点E,连接AD,CD. (1)求证:△ABC≌△ADC; (2)若∠DAC=30°,∠BCA=45°,BC=2,求AC的长. (1)证明:由题意可得AB=AD,BC=CD, 又AC=AC, ∴△ABC≌△ADC. (2)∵AB=AD,BC=CD, ∴直线AC垂直平分线段BD, ∴∠BEC=∠BEA=90°. ∵∠BCA=45°,BC=2, ∴BE=CE=. ∵△ABC≌△ADC, ∴∠BAC=∠DAC=30°, ∴AE=BE=, ∴AC=AE+CE=+. 9.[2020石家庄模拟]在证明定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半”时,小明给出如下部分证明过程. 已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点. 求证:DE∥BC,且DE=BC. 证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF, …… (1)补全求证; (2)请根据添加的辅助线,写出完整的证明过程; (3)若CE=3,DF=8,求AB的取值范围. (1)DE∥BC,且DE=BC (2)∵点E是AC的中点, ∴AE=CE, 又∵EF=ED,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS), ∴AD=CF,∠A=∠ECF, ∴AD∥CF,∴BD∥CF. ∵点D是AB的中点, ∴AD=BD,∴BD=CF, ∴四边形BDFC是平行四边形, ∴DE∥BC,DF=BC. 又∵DE=FE, ∴DE=BC. (3)解:∵DF=8,∴BC=8. ∵CE=3,∴AC=6, ∴BC-AC 综合提升练 （建议用时：35分钟） 1.[2019唐山路南区三模]如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到两个全等三角形纸片的是( C) A B C D 2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为( B) A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 3.[2020湖北鄂州]如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA ①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD. 其中正确结论的个数为( B) A.4 B.3 C.2 D.1 4.[2020江苏南通]如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,点D是BC的中点,直线l经过点D,分别过点A,B作AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则 AE+BF的最大值为( A) A. B.2 C.2 D.3 5.[2020广西河池](1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由. 图(1) 图(2) (1)证明:在△ACE和△BCE中, ∵AC=BC,∠1=∠2,CE=CE, ∴△ACE≌△BCE. (2)AE=BE. 理由:如图,在CE上截取CF=DE. ∵在△ADE和△BCF中,AD=CB,∠3=∠4,DE=CF, ∴△ADE≌△BCF, ∴AE=BF,∠AED=∠CFB. ∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°, ∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,∴AE=BE. 6.[2020江苏苏州]问题1:如图(1),在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一 点,PA=PD,∠APD=90°.求证:AB+CD=BC. 问题2:如图(2),在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求的值. 图(1) 图(2) 问题1: 证法一:∵∠B=90°,∴∠APB+∠BAP=90°. ∵∠APD=90°,∴∠APB+∠CPD=90°, ∴∠BAP=∠CPD. 在△ABP和△PCD中, ∴△ABP≌△PCD(AAS), ∴AB=PC,BP=CD,∴AB+CD=PC+BP=BC. 证法二:由证法一,可设∠BAP=∠CPD=α. 在Rt△ABP中,BP=PA·sin α,AB=PA·cos α. 在Rt△PCD中,CD=PD·sin α,PC=PD·cos α. 又∵PA=PD,∴AB=PC,BP=CD,∴AB+CD=BP+PC=BC. 问题2:如图,分别过点A,D作BC的垂线,垂足分别为E,F. 由“问题1”可知AE+DF=EF, 在Rt△ABE和Rt△DFC中, ∠B=∠C=45°, ∴AE=BE,DF=CF,AB==AE,CD==DF, ∴BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),AB+CD=(AE+DF), ∴==. 7.[2020唐山二模改编]已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点D为BC的中点. (1)如图(1),若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF. ①试探究BE和AF的数量关系. ②四边形AEDF的面积是定值吗?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. (2)如果点E,F分别是AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图(2)说明理由. 图(1) 图(2) 解:(1)①如图(1),连接AD. 图(1) ∵∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点, ∴∠EBD=∠FAD=45°,AD=BC=BD,AD⊥BC, ∴∠BDE+∠EDA=90°. 又∠EDA+∠ADF=90°, ∴∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中, ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴B E=AF. ②四边形AEDF的面积是定值. ∵△BDE≌△ADF, ∴S△ADF=S△BDE, ∴S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE=S△ABD=××4×4=4. (2)BE=AF. 理由:如图(2),连接AD. 图(2)∵∠ABD=∠BAD=45°, ∴∠EBD=∠FAD=135°. ∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°, ∴∠EDB=∠FDA. 在△EDB和△FDA中, ∴△EDB≌△FDA(ASA), ∴BE=AF.