2018年秋人教版九年级数学上第24章圆解答题培优试题(带答案)

第24章圆解答题培优试题

1．已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．

（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；

（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD 的长．

2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．

（1）求证：OD为△ABC的中位线；

（2）若AC＝6cm，求点O到DE的距离．

3．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O 于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC＝3AE，求tan C．

5．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b

和c是关于x的方程的两个实数根．

（1）求△ABC的周长．

（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．

6．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．

（1）求⊙O的面积；

（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．

7．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，

（1）求等边三角形的高；

（2）求CE的长度；

（3）若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．

8．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．

9．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．

（1）求证：∠ACB+∠BAD＝90°；

（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求证：AC＝2DE．

10．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB

＝2，EF＝，＝120°．

（1）求出圆洞门⊙O的半径；

（2）求立柱CE的长度．

11．如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C，过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P，弦CE交AB于点F，连接BE．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若PC＝PF，试证明CE平分∠ACB．

12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D 作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝8，AE＝6，求BF的长．

13．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD 延长线上的一点，AP＝AC，且∠B＝2∠P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD＝，求⊙O的直径；

（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB 边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）AC＝2，AB＝6，求BE的长．

15．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．

（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；

（Ⅱ）若⊙O半径为2，TC＝，求AD的长．

16．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；

（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O 的切线，证明：AB＝4PD．

参考答案1．（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，

∴PD⊥l，

∵l∥BC，

∴PD垂直平分弦BC，

∴，

∴∠BAD＝∠DAC，

即AD平分∠BAC；

（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠BCD，

在△ADC和△CDE中

∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，

∴△ADC∽△CDE，

∴，

即，

得DC＝4．

2．解：（1）连接CD，

∵BC是圆的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴CD⊥AB，

又∵AC＝BC，

∴AD＝BD，

又∵OC＝OB，

∴OD为△ABC的中位线．

（2）连接OD，

∵AD＝BD，OB＝OC，

∴DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO，

∴点O到直线DE的距离为3．

3．（1）证明：连接OD，如图，∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC∥BE，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

在△ODC和△OAC中

，

∴△ODC≌△OAC，

∴∠ODC＝∠OAC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CF是⊙O的切线；

（2）解：∵∠F＝30°，

∴∠FOD＝60°，

∴∠1＝∠2＝60°，

∵四边形EBOC是平行四边形，

∴OC＝BE＝8，

在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD

＝2××4×4﹣

＝16﹣π．

4．解：（1）连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，点D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∵AB＝AC，AC＝3AE，

∴AB＝3AE，CE＝4AE，

∴BE＝＝2AE，

在Rt△BEC中，tan C＝＝＝．

5．解：（1）若b、c中有一边等于3，

则方程可化为，

解得；

原方程可化为，

解得x1＝3，x2＝，

所以三角形的周长为3+3+＝；

若b＝c，则△＝，

解得m＝﹣4或2，

当m＝﹣4时，方程为x2﹣4x+4＝0，得x1＝x2＝2，

所以三角形的周长为2+2+3＝7；

当m＝2时，方程为x2+2x+1＝0，得x1＝x2＝﹣1；（不合题意，舍去）

综上可知△ABC的周长为7或7．

（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．

∵△ABC的三边均为整数，

∴AB＝AC＝2，BC＝3，

BE＝BC＝．AE＝＝＝，

设AO＝R，在Rt△BOE中，R2＝（）2+（﹣R）2，

∴R＝，

∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．

6．解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∴AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10．

∴⊙O的面积＝π×52＝25π；

（2）作直径DD′⊥AB，BH⊥CD于H，如图，则＝，∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴DB＝AB＝5，

易得△BCH为等腰直角三角形，

∴CH＝BH＝BC＝3，

在Rt△BDH中，DH＝＝4，

∴CD＝CH+DH＝3+4＝7，

∵DD′是⊙O的直径，

∴∠DCD′＝90°，

∴CD′＝＝，

综上所述，CD 的长为或7．

7．解：（1）如图，作AM ⊥MC 于M ．

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠MAC ＝∠MAB ＝30°，

∴CM ＝AC ＝2，

∴AM ＝＝＝2．

（2）∵CF 是⊙O 直径，

∴CF ＝CM ＝2，连接EF ，则∠CEF ＝90°，

∵∠ECF ＝90°﹣∠ACB ＝30°，

∴EF ＝CF ＝

，

∴CE ＝＝＝3．

（3）由图象可知，α＝60°或120°或180°或300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．

8．解：如图，作直径AD ，连接CD ．

∴∠ACD＝90°．

∵∠B＝60°，

∴∠D＝∠B＝60°．

∵⊙O的半径为6，

∴AD＝12．

在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，

∴CD＝6．

∴AC＝6．

9．（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．

∵AF为⊙O的直径，

∴∠ABF＝90°，

∴∠AFB+∠BAD＝90°，

∵∠AFB＝∠ACB，

∴∠ACB+∠BAD＝90°．

（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．∵∠AOB＝2∠ACB，

∠ADC＝2∠ACB，

∴∠AOB＝∠ADC，

∴∠BOD＝∠BDO，

∴BD＝BO，

∴BD＝OA，

∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，

∴DE＝AH，

∵OH⊥AC，

∴AH＝CH＝AC，

∴AC＝2DE．

10．解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．

∵的度数为120°，AO＝BO，

∴∠BOH＝×120°＝60°，

∴AH＝BH＝，

在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，

∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；

（2）作OM⊥EC于M，连接OC．

∵Rt△BOH中，OH＝1，

∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，

∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，

在Rt△OMC中，CM＝＝，

∴CE＝ME+CM＝1+＝，

∴立柱CE的长度为．

11．证明：（1）连接OC，如图，

∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠2，

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OC⊥PC，

∴∠PCB+∠BCO＝90°，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，即∠3+∠BCO＝90°，

∴∠3＝∠PCB，

而∠1＝∠3，

∴∠1＝∠PCB，

∵PC＝PF，

∴∠PCF＝∠PFC，

而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，∴∠BCF＝∠ACF，

即CE平分∠ACB．

12．（1）证明：连接OD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠ABC＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，又DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，

∴△FOD∽△FAE，

∴＝，即＝，

解得，BF＝4．

13．（1）证明：连接OA、AD，如图，∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC，

∴∠ADC＝2∠P，

∵AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP，

∴∠ADC＝2∠ACP，

∵CD为直径，

∴∠DAC＝90°，

∴∠ADC＝60°，∠C＝30°，

∴△ADO为等边三角形，

∴∠AOP＝60°，

而∠P＝∠ACP＝30°，

∴∠OAP＝90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴OP＝2OA，

∴PD＝OD＝，

∴⊙O的直径为2；

（3）解：作EH⊥AD于H，如图，

∵点B等分半圆CD，

∴∠BAC＝45°，

∴∠DAE＝45°，

设DH＝x，

在Rt△DHE中，DE＝2x，HE＝x，

在Rt△AHE中，AH＝HE＝x，

∴AD＝x+x＝（+1）x，

即（+1）x＝，

解得x＝，

∴DE＝2x＝3﹣．

14．（1）证明：∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠OAD，

∴∠CA D＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ACB＝∠ODB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ODB＝90°，

∵OD是半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴，

∵AC＝2，AB＝6，

∴设OD＝r，则BO＝6﹣r．

∴，

解得，r＝1.5，

∴AE＝3，

∴BE＝3．

15．解：（Ⅰ）连接OT，如图1：

∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，

∴∠ACT＝∠OTC＝90°，

∴∠CAT+∠CTA＝∠CTA+∠ATO，

∴∠CAT＝∠ATO，

∵OA＝OT，

∴∠OAT＝∠ATO，

∴∠DAB＝2∠CAT＝50°，

∴∠CAT＝25°，

∴∠ATC＝90°﹣25°＝65°；

（Ⅱ）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：

∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，

∴∠OEC＝∠ECT＝∠OTC＝90°，

∴四边形OECT是矩形，

∴OT＝CE＝OD＝2，

∵OE⊥AC，OE过圆心O，

∴AE＝DE＝AD，

∵CT＝OE＝，

在Rt△OED中，由勾股定理得：ED＝，